多项式与符号运算共32页文档
多项式的运算
多项式的运算在数学的广袤天地中，多项式是一个非常重要的概念，而多项式的运算更是我们解决众多数学问题的有力工具。
首先，咱们来聊聊什么是多项式。
简单说，多项式就是由几个单项式相加或相减组成的式子。
比如 3x ＋ 2y 5 就是一个多项式，其中 3x、2y 和－5 就是单项式。
多项式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
咱们一个一个来看。
多项式的加法和减法相对来说比较直观。
在进行加法或减法运算时，我们只需要将同类项（就是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项）进行合并就可以了。
比如说，计算（2x²＋ 3x 1) ＋（x² 2x＋ 5) ，先把同类项找出来，2x²和 x²是同类项，3x 和－2x 是同类项，－1 和 5 是同类项。
然后分别把同类项相加，得到 3x²＋ x ＋ 4 。
减法也是同样的道理，比如计算（4x² 3x ＋ 2) （2x²＋ x 1) ，还是先找同类项，然后同类项相减，得到 2x² 4x ＋ 3 。
接下来是多项式的乘法。
这就稍微有点复杂了，但只要掌握好方法，也不难。
比如说计算（x ＋ 2)（x 3) ，我们可以使用“ FOIL 法则”，也就是先把第一个括号里的 x 乘以第二个括号里的每一项，得到 x² 3x ，再把第一个括号里的 2 乘以第二个括号里的每一项，得到 2x 6 ，最后把这两个结果相加，得到 x² x 6 。
如果是更复杂一点的多项式相乘，比如（2x ＋ 3)（x² 2x ＋ 1) ，那就先把第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，然后合并同类项。
2x 乘以 x²得到 2x³，2x 乘以－2x 得到－4x²，2x 乘以1 得到 2x ；3 乘以 x²得到 3x²，3 乘以－2x 得到－6x ，3 乘以 1 得到3 。
多项式运算初中数学知识点之多项式的四则运算法则
多项式运算初中数学知识点之多项式的四则运算法则多项式是数学中一个重要的概念，也是初中数学中需要掌握的知识点之一。
在多项式的学习中，四则运算是必不可少的一部分。
本文将介绍多项式的四则运算法则，以及它们的应用。
一、多项式的基本概念首先，我们来回顾一下多项式的基本概念。
多项式是由一系列代数式通过加法和减法运算组合而成的表达式。
它的形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0其中，P(x)为多项式的表示形式，an, an-1, …, a1, a0为常数项，n为多项式的次数，x为变量。
二、多项式的四则运算法则1. 多项式的加法运算多项式的加法运算规则非常简单，只需要将对应的系数相加即可。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的和为：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 + 2x^2 + 2x + 4x + 1 + 3= 5x^2 + 6x + 42. 多项式的减法运算多项式的减法运算也遵循类似的规则，即将对应的系数相减。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的差为：P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 - 2x^2 + 2x - 4x + 1 - 3= x^2 - 2x - 23. 多项式的乘法运算多项式的乘法运算是比加法和减法复杂一些的运算。
多项式的乘法运算需要使用分配律的原理，将每一项相乘后再进行合并。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x + 2 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (3x + 2) * (2x^2 + 4x + 3)= 3x * 2x^2 + 3x * 4x + 3x * 3 + 2 * 2x^2 + 2 * 4x + 2 * 3= 6x^3 + 12x^2 + 9x + 4x^2 + 8x + 6= 6x^3 + 16x^2 + 17x + 64. 多项式的除法运算多项式的除法运算是最为复杂的一种运算，需要使用长除法的方法进行计算。
多项式的运算
多项式的运算多项式是代数中的基本概念之一，它由常数、变量和指数幂的乘积组成。
在数学中，多项式的运算是解决代数问题的重要手段之一。
本文将介绍多项式的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
一、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算，其操作规则比较简单。
1. 加法对于两个多项式的加法，只需要将相同次数的项的系数相加，保留相同的指数。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相加得到：(A + B) = (3x^2 + 2x^2) + (5x + 4x) + (2 + 1)(A + B) = 5x^2 + 9x + 32. 减法多项式的减法与加法类似，只需将减数中各项的系数取相反数，然后按照加法的规则进行计算。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相减得到：(A - B) = (3x^2 - 2x^2) + (5x - 4x) + (2 - 1)(A - B) = x^2 + x + 1二、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项分别相乘，并将同类项合并。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x + 1将两个多项式进行乘法运算得到：(A * B) = (3x^2 * 2x) + (3x^2 * 1) + (5x * 2x) + (5x * 1) + (2 * 2x) + (2 * 1)(A * B) = 6x^3 + 3x^2 + 10x^2 + 5x + 4x + 2(A * B) = 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2三、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，在实际计算中可采用长除法的方法进行。
例如：被除多项式：6x^3 + 16x^2 + 9x + 2除数多项式：2x + 1进行除法运算得到：3x^2 + 7x + 1____________________2x + 1 | 6x^3 + 16x^2 + 9x + 2- (6x^3 + 3x^2)_______________13x^2 + 9x + 2- (13x^2 + 6.5x)______________2.5x + 2- (2.5x + 1.25)___________0.75通过长除法运算可以得到商多项式为：3x^2 + 7x + 1，余数为0.75。
多项式的基本运算知识点
多项式的基本运算知识点多项式是数学中的一个重要概念，在代数学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍多项式的基本运算知识点，包括加法、减法、乘法和除法。
一、多项式的表示形式多项式由各项的系数和指数构成，一般形式为：P(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0，其中 a_n、a_{n-1}、...、a_2、a_1、a_0 分别表示多项式的系数，n 表示最高次项的指数。
二、多项式的加法运算多项式的加法运算是指将两个或多个多项式相加得到一个新的多项式。
例如，对于多项式 P(x) = 3x^2 + 4x - 2 和 Q(x) = 2x^2 - 5x + 1，它们的加法运算可以表示为 P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x - 2) + (2x^2 - 5x + 1) = 5x^2 - x - 1。
三、多项式的减法运算多项式的减法运算是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
例如，对于多项式 P(x) = 3x^2 + 4x - 2 和 Q(x) = 2x^2 - 5x + 1，它们的减法运算可以表示为 P(x) - Q(x) = (3x^2 + 4x - 2) - (2x^2 - 5x + 1) = x^2 + 9x - 3。
四、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个或多个多项式相乘得到一个新的多项式。
例如，对于多项式 P(x) = 3x^2 + 4x - 2 和 Q(x) = 2x + 1，它们的乘法运算可以表示为 P(x) * Q(x) = (3x^2 + 4x - 2) * (2x + 1) = 6x^3 + 11x^2 - 4x - 2。
五、多项式的除法运算多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式或一个除法式。
例如，对于多项式 P(x) = 6x^3 + 11x^2 - 4x - 2 和 Q(x) = 2x + 1，它们的除法运算可以表示为 P(x) / Q(x) = (6x^3 +11x^2 - 4x - 2) / (2x + 1)。
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
多项式课件
高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。
数学多项式的基本运算
数学多项式的基本运算多项式是数学中常见的一种代数表达式，由一系列按照特定次数降序排列的各项相加或相减而得。
本文将介绍多项式的基本运算，包括加法、减法和乘法。
一、多项式的加法多项式的加法是指将两个或多个多项式按照相同的变量次数相加得到一个新的多项式。
具体步骤如下：1. 确定每个多项式中变量的最高次数，该次数决定了最终结果的位数。
2. 对于每个次数，将相同次数的项相加得到新的项。
3. 若某个次数在其中一个多项式中不存在，则将另一个多项式的对应次数的项直接加入到结果中。
例如，考虑如下的两个多项式：多项式 A：3x^3 + 2x^2 - 5x + 1多项式 B：2x^3 - 4x^2 + 3x - 1按照加法规则，我们可以将各项相加得到：(A + B) = (3x^3 + 2x^2 - 5x + 1) + (2x^3 - 4x^2 + 3x - 1)= (3x^3 + 2x^3) + (2x^2 - 4x^2) + (-5x + 3x) + (1 - 1)= 5x^3 - 2x^2 - 2x因此，多项式A与多项式B的和为5x^3 - 2x^2 - 2x。
二、多项式的减法多项式的减法是指将一个多项式与另一个多项式相减得到一个新的多项式。
具体步骤如下：1. 确定每个多项式中变量的最高次数，该次数决定了最终结果的位数。
2. 对于每个次数，将相同次数的项相减得到新的项。
3. 若某个次数在其中一个多项式中存在而在另一个多项式中不存在，则将该项的系数取相反数后加入到结果中。
例如，考虑如下的两个多项式：多项式 A：4x^3 - 2x^2 + 5x - 1多项式 B：2x^3 + 3x^2 - 3x + 1按照减法规则，我们可以将各项相减得到：(A - B) = (4x^3 - 2x^2 + 5x - 1) - (2x^3 + 3x^2 - 3x + 1)= (4x^3 - 2x^3) + (-2x^2 - 3x^2) + (5x + 3x) + (-1 - 1)= 2x^3 - 5x^2 + 8x - 2因此，多项式A与多项式B的差为2x^3 - 5x^2 + 8x - 2。
多项式的运算与应用
又 f (x) 除以 x－2 的余式为 4，故由余式定理知 f (2) = 4
代入 x = 1 及 x = 2
得
f f
(1) a b 2 ，即 (2) 2a b 4
a b 2
2a
b
4
，可解得
a b
2 0
所以 f ( x) ( x 1)( x 2)q( x) 2x
r
(ax
b)
1 a
q(
x)
r
所以 f (x) 除以 ax－b 的商式是 1 q( x)，余式仍然是 r。 a
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5 p.86
若多项式 f ( x) 2x3 x2 3x 4 a( x 1)3 b( x 1)2 c( x 1) d， 其中 a，b，c，d 是常数，试求： (1) a，b，c，d 之值。
(2) 题目条件表示 x4 与 x3 的系数皆为 0
因此 a 2 0，且 b 1 0，故 a 2，b 1
故此多项式为 x2 (2)2 1 3 x2 2 即常数项为 2
多项式的定义 p.76 ~ p.78
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两多项式相等： 当两多项式相对应的每一单项的系数都相同，则称这 两个多项式相等。
将此式改写成
f (x)
2g(
x )
1 2
q(
x)
r(
x)
这表示 f (x) 除以 2g(x) 的商式是 1 q( x) ， 2
余式仍然是 r (x)
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多项式的基本概念与运算知识点总结
多项式的基本概念与运算知识点总结一、多项式的基本概念多项式是代数学中的一个重要概念，它由若干项组成，每一项由系数与变量的乘积构成。
其中，系数可以是实数或复数，变量通常表示为x。
多项式可以写成一般形式：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an至a0是系数，x是变量。
二、多项式的分类根据多项式的次数，可以将多项式分为以下几类：1. 零多项式：所有项的系数都为零的多项式，记作f(x) = 0。
2. 一次多项式：次数最高项的次数为1的多项式，形如f(x) = ax + b，其中a和b为实数，a不为零。
3. 二次多项式：次数最高项的次数为2的多项式，形如f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为实数，a不为零。
4. 高次多项式：次数超过二次的多项式称为高次多项式。
三、多项式的运算1. 加法运算：将同类项合并，即将相同次幂的项的系数相加。
2. 减法运算：将减数的各项系数取相反数，然后按照加法运算的方法进行运算。
3. 乘法运算：将每一个项的各项相乘，然后按照次数的大小合并同类项。
四、多项式的乘法公式1. 平方法：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
2. 差方法：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
3. 和差方法：(a + b)(a - b) = a² - b²。
五、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式相乘的形式。
常见的因式分解方法有以下几种：1. 公因式提取法：将多项式中的公因式提取出来，然后写成因式相乘的形式。
2. 分组提取因式法：将多项式中的项以合适的方式进行分组，然后利用公式进行因式分解。
3. 特殊因子公式法：根据特定的多项式形式，利用已知的因式公式进行因式分解。
4. 二次三项式公式法：对二次三项式进行因式分解时，通常使用求根公式等方法。
数学-多项式的加减与乘除
数学-多项式的加减与乘除一、多项式的定义与性质1.多项式的概念：若干个单项式的和称为多项式。
2.单项式的概念：数与字母的乘积称为单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
3.多项式的项：组成多项式的各个单项式称为多项式的项。
4.多项式的系数：多项式中，数与字母相乘前面的数称为系数。
5.多项式的度：多项式中，最高次单项式的次数称为多项式的度。
6.多项式的系数与度：一个多项式的系数有有限个，次数也有界限。
二、多项式的加减法1.同类项的概念：字母相同且相同字母的指数也相同的项称为同类项。
2.多项式加减法的原则：同类项相加（减）时，只把系数相加（减），字母与字母的指数不变。
3.多项式加减法的步骤：a.找出同类项b.合并同类项c.化简结果三、多项式的乘法1.多项式乘以单项式：将单项式的系数与多项式的每一项相乘，字母与字母的指数相加。
2.多项式乘以多项式：a.先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项b.合并同类项c.化简结果四、多项式的除法1.多项式除以单项式：将多项式的每一项除以单项式的系数，字母与字母的指数不变。
2.多项式除以多项式：a.用多项式的每一项除以另一个多项式的每一项b.求商和余数c.化简结果五、多项式的应用1.解一元二次方程：利用因式分解法将方程化为两个一元一次方程，求解得到方程的解。
2.解二元一次方程组：利用加减消元法、代入消元法或矩阵法求解方程组的解。
3.函数的图像：利用多项式函数的表达式，绘制函数的图像，分析函数的性质。
六、多项式的恒等变形1.合并同类项：将多项式中的同类项合并，化简结果。
2.因式分解：将多项式分解为几个单项式的乘积，提取公因式，化简结果。
3.展开与简化：将多项式展开，化简结果，使其更简洁。
七、多项式的实际应用1.物理问题：利用多项式表示物体运动的速度、加速度等物理量，解决物理问题。
2.化学问题：利用多项式表示化学反应的平衡常数、反应速率等，解决化学问题。
3.经济问题：利用多项式表示成本、利润等经济指标，解决经济问题。
数学多项式运算
注意事项：除式 不能为零，否则 除法无意义
多项式的简化
合并同类项：将多项式中的同类项合并，简化表达式 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，简化表达式 应用公式：利用多项式的运算公式，如平方差公式、完全平方公式等，简化表达式 分解因式：将多项式分解为几个因式的乘积，简化表达式
多项式的因式分解
运算过程中的符号处理
符号的表示：使用 特定的符号表示多 项式的各项和系数
符号的运算：遵循 数学中的运算规则， 如加法、减法、乘 法、除法等
符号的简化：通过 合并同类项、提取 公因式等方式简化 多项式
符号的错误处理：注 意符号的错误使用， 如漏写、错写、多写 等，避免影响运算结 果
避免运算错误的方法与技巧
例子：多项式加法 如(x+y)+(x-y)=2x， 多项式减法如(x+y)(x-y)=2y
注意事项：在进行多 项式的加减法运算时 ，需要注意符号的变 化和系数的加减
多项式的乘法
定义：多项式与 多项式的乘法， 即将两个多项式 的每一项相乘， 然后合并同类项
法则：多项式与 多项式的乘法法 则，即将两个多 项式的每一项相 乘，然后合并同 类项
定义：将多项式 分解为几个因式 的乘积
方法：采用十字 相乘法、公式法、 分组分解法等
例子：x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = (x+1)(x+2)(x+4)
应用：简化多项 式运算，提高计 算效率
多项式的根与因式定理
多项式的根：多项式等于0时的解 因式定理：多项式可以分解为若干个因式的乘积 根与因式的关系：多项式的根是因式的解 因式分解的方法：如欧拉公式、韦达定理等
THANK YOU
多项式的基本性质与应用
多项式的基本性质与应用一、多项式的定义与表示1.多项式是由常数、变量及它们的运算符（加、减、乘、除）组成的表达式。
2.多项式中的每个单项式称为多项式的项。
3.多项式中最高次数的项的次数称为多项式的次数。
4.多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n，其中a0, a1, …, an为常数，x为变量。
二、多项式的基本性质1.多项式中，每个单项式的系数都是实数或复数。
2.多项式的系数可以为正、负或零。
3.多项式的次数非负。
4.多项式的每一项都有对应的次数。
5.两个多项式相加或相减时，对应的项才能相加或相减。
6.两个多项式相乘时，每个项都要与其他多项式的每个项相乘。
三、多项式的运算1.加法：将两个多项式的同类项相加。
2.减法：将两个多项式的同类项相减。
3.乘法：将两个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。
4.除法：用一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
四、多项式的应用1.解方程：将方程转化为多项式的形式，然后通过运算求解。
2.求解不等式：将不等式转化为多项式的形式，然后通过运算求解。
3.函数图像：将多项式表示为函数，然后绘制其图像。
4.最大公因式：找出两个或多个多项式的最大公因式，用于简化运算。
5.因式分解：将多项式分解为几个因式的乘积，便于理解和运算。
6.代数恒等式：运用多项式的运算性质，证明恒等式。
五、多项式的特殊形式1.一次多项式：次数为1的多项式，形式为P(x) = ax + b。
2.二次多项式：次数为2的多项式，形式为P(x) = ax^2 + bx + c。
3.三次多项式：次数为3的多项式，形式为P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
4.常数多项式：次数为0的多项式，形式为P(x) = a0。
六、多项式的项的性质1.同类项：具有相同变量的指数的项。
2.单项式：只有一个项的多项式。
3.多项式：有两个或多个项的代数表达式。
七、多项式的系数1.常数项：没有变量的项，其系数为常数。
第4讲 多项式与符号运算
x4 8x3 10
和
2 x2 x 3
的乘积
命令如下： p1=[1,8,0,0,-10]; p2=[2,-1,3]; c=conv(p1,p2) c= 2 15 -5 24 -20
10 -30
3 多项式除法
函数[q，r]=deconv(p1，p2)用于多项式p1和p2作除法运算，其 中q返回多项式p1除以p2的商式，r返回p1除以p2的余式。这里， q和r仍是多项式系数向量。
p1=[1,8,0,0,-10]; p2=[2,-1,3]; [q,r]=deconv(p1,p2) q= 0.5000 4.2500 1.3750 r= 0 0 0 -11.3750 -14.1250
多项式的求导
对多项式求导数的函数是： p=polyder(p1)：求多项式p1的导函数。 p=polyder(p1,p2)：求多项式p1和p2乘积的导函数。 [p,q]=polyder(p1,p2)：求多项式p1和p2之商的导函数，p、 q是导函数的分子、分母。
符号表达式运算
1 符号表达式四则运算 符号表达式的加、减、乘、除和幂运算可分别由函数symadd、 symsub、symmul、symdiv和sympow来实现。例如 f='2*x^2+3*x-5' f= 2*x^2+3*x-5 g='x^2-x+7' g= x^2-x+7 symadd(f,g) %加法运算 ans = 3*x^2+2*x+2 sympow(f,'2*x') %乘幂运算 ans = (2*x^2+3*x-5)^(2*x)
6 排序
对向量元素的进行排序是一种经常性的操作，MATLAB提供了sort函 数对向量x进行排序。 y=sort(x)：返回一个对x中元素按升序排列后的向量y。 [y，i]=sort(x)：返回一个对x中的元素按升序排列的向量y，而i记录y中 元素在x中的位置。
多项式的运算与应用
2x3 2x2 6x x2 2x 5 x2 x 3
x 2 餘式
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乙、多項式的四則運算
(三)多項式的除法(長除法)
f (x) 2x3 3x2 8x 5 除以 g(x) x2 x 3
an為f(x)的首項係數（或領導係數）
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甲、多項式的基本觀念
(一)多項式的定義
f x an xn an1xn1 a1x a0
(3)項： anxn﹐an1xn1﹐…﹐a1x﹐a0分別為此多項式的 n次項﹐n1次項﹐…﹐1次項﹐常數項﹒
(4)整係數多項式： an﹐an1﹐…﹐a1﹐a0都是整數 （或有理數﹑實數）的多項式 f(x)
稱為整係數（或有理係數﹑實係數）多項式
課本頁次：60
甲、多項式的基本觀念
(一)多項式的定義
f x an xn an1xn1 a1x a0
(5)多項式的值： f(x)中的 x 代表 特定數值 a時，
稱 f(a)為f(x)在 x=a 的值
(6)常數多項式： 只有一個非零常數項a0時﹐ 稱為零次多項式。如：3﹐ 2 0也是一個多項式﹐稱為零多項式 不規定它的次數
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例2 已知f(x) = 3x3 + 4x 5﹐g(x) = x2 3x +1﹐求
(2) f(x) － g(x)﹐
並整理成降次排列的多項式﹒
解:
直式算法：（缺項補0） 分離係數法：（缺項補0）
同次項的位置上下對齊 略去文字符號x
3x3 +0x2 +4x 5
－)
x2 3x +1
多项式的基本运算
多项式的基本运算在数学的广袤领域中，多项式就像是一座精巧构建的大厦，而多项式的基本运算则是搭建这座大厦的基石。
理解和掌握多项式的基本运算，对于我们深入探索数学的奥秘至关重要。
首先，让我们来聊聊多项式的加法。
多项式的加法其实非常直观，就像是把同类的“积木”堆放在一起。
比如说，我们有两个多项式：3x²＋ 2x ＋ 1 和 2x² 3x ＋ 5 。
要将它们相加，我们只需要把同类项的系数相加即可。
在这个例子中，x²的系数分别是 3 和 2 ，相加得到 5x²；x的系数分别是 2 和－3 ，相加得到 x ；常数项 1 和 5 相加得到 6 。
所以，这两个多项式相加的结果就是 5x² x ＋ 6 。
接下来是多项式的减法。
它和加法有些类似，但要注意符号的变化。
还是用上面的例子，如果要计算 3x²＋ 2x ＋ 1 减去 2x² 3x ＋ 5 ，我们把减号后面的多项式的每一项都乘以－1 ，然后按照加法的规则进行运算。
也就是变成 3x²＋ 2x ＋ 1 加上－2x²＋ 3x 5 ，最终得到 x²＋5x 4 。
再说说多项式的乘法。
这就像是把一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项都相乘，然后把所得的结果相加。
例如，（x ＋ 2)（x3) ，我们先用第一个多项式的 x 乘以第二个多项式的 x 和－3 ，得到x² 3x ；再用 2 乘以第二个多项式的 x 和－3 ，得到 2x 6 。
最后把这两个结果相加，得到 x² x 6 。
多项式的乘法还有一种特殊情况，就是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式是（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²。
比如说，（3x ＋ 2)（3x 2) ，就可以直接得到 9x² 4 。
完全平方公式有（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²和（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²。
初中数学多项式的运算
初中数学多项式的运算多项式是数学中一个非常重要而且广泛应用的概念。
它可以用于表示各种各样的数学关系和函数，从而解决实际问题。
多项式的运算是学习数学的基础，本文将介绍多项式的基本运算和相关概念。
一、多项式的定义和基本概念多项式由常数项、一次项、二次项等按照一定规则排列组合而成。
它的一般形式可以表示为：$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，$x$为变量，$n$为非负整数，$n$称为多项式的次数，$a_n$称为多项式的首项系数。
二、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算。
对于两个多项式$P(x)$和$Q(x)$，它们的加法运算可以表示为：$P(x)+Q(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+...+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)$。
减法运算可以表示为：$P(x)-Q(x)=(a_n-b_n)x^n+(a_{n-1}-b_{n-1})x^{n-1}+...+(a_1-b_1)x+(a_0-b_0)$。
在进行加法和减法运算时，需要将同类项进行配对，并根据指数规则进行合并。
三、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
对于两个多项式$P(x)$和$Q(x)$，它们的乘法运算可以表示为：$P(x) \cdotQ(x)=a_m \cdot b_n \cdot x^{m+n}+...+a_1 \cdot b_1 \cdot x^2+a_1 \cdotb_0 \cdot x+a_0 \cdot b_0$。
在进行乘法运算时，需要将每一项按照指数大小排列，并根据指数规则进行合并。
四、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式得到商式和余式。
对于一个多项式$P(x)$除以一个非零多项式$Q(x)$，可以表示为：$P(x) = Q(x) \cdot g(x) + R(x)$，其中$g(x)$为商式，$R(x)$为余式。
多项式的加减乘除运算
多项式的加减乘除运算在代数学中，多项式是由常数和变量通过加法、减法和乘法运算而得到的一种表达式。
多项式的加减乘除运算是基本的代数运算规则，本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面来探讨多项式的运算方法。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是指将两个或多个多项式按照相同项的系数进行相加。
例如，给定两个多项式：P(x) = 2x^2 + 3x - 5 和 Q(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以将它们相加得到：P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 5) + (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 5x - 4。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是指将两个多项式相互抵消得到的结果。
与加法类似，减法运算也是将多项式按照相同项的系数进行运算。
例如，给定两个多项式：R(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 S(x) = 2x^2 + x - 3，我们可以将它们相减得到：R(x) - S(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + x - 3) = x^2 + x + 4。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式按照相应项的系数和指数进行相乘，然后将所有结果相加。
例如，给定两个多项式：A(x) = 2x^2 + 3 和 B(x) = x + 1，我们可以将它们相乘得到：A(x) * B(x) = (2x^2 + 3) * (x + 1) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 3。
四、多项式的除法运算多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式得到商和余数的过程。
例如，给定两个多项式：C(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 D(x) = x + 1，我们可以将C(x)除以D(x)得到商和余数：C(x) ÷ D(x) = (3x^2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) = 3x + 1，余数为0。
总结多项式的加减乘除运算是代数学中基本的运算方式，通过对多项式的各个项进行相应的运算，我们可以得到各种多项式表达式的结果。