2014届步步高大一轮复习讲义4.1

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数2014高考会这样考 1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式．复习备考要这样做 1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石．1． 角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角． 2． 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (4)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3． 任意角的三角函数(1)任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .三个三角函数的初步性质如下表：(2) 4． 三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .(Ⅱ)(Ⅲ) (Ⅳ)为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段[1． 对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2． 对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围． 如tan α＝yx 有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z .3． 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．1． 若点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________________．答案 (－1，3) 解析 ∵x ＝|OP |cos 2π3＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1， y ＝|OP |sin2π3＝ 3.∴点P 的坐标为(－1，3)． 2． (2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8 解析 因为sin θ＝y 42＋y 2＝－255，所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.3． 下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45° (k ∈Z )B ．k ·360°＋94π (k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π (k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 4． 已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角答案 C解析 若cos θ>0，tan θ<0，则θ在第四象限； 若cos θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限，∴选C.5． 已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.题型一 角的有关问题例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．思维启迪：利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限．解 (1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)所有与67π角终边相同的角的集合是{θ|θ＝67π＋2k π，k ∈Z }，∴所有与θ3角终边相同的角可表示为θ3＝27π＋23k π，k ∈Z .∴在[0,2π)内终边与θ3角终边相同的角有27π，2021π，3421π.(3)∵2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π<2α<4k π＋π，k π<α2<k π＋π4，k ∈Z .∴2α在第一或第二象限或终边在y 轴非负半轴上，α2角终边在第一或第三象限．探究提高 所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k ·360°＋α，k ∈Z ；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k 的奇、偶情况进行讨论．已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 解 (1)所有与角α有相同终边的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°≤0°， 得－765°≤k ×360°≤－45°，解得－765360≤k ≤－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N . 题型二 三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． 思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x ，再求sin α＋1tan α的值．解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10.∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66. 探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P 点所在的象限，确定r ，最后根据定义求解．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t ) (t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.题型三 三角函数线、三角函数值的符号例3 (1)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号；(2)已知cos α≤－12，求角α的集合．思维启迪：由θ所在象限，可以确定sin θ、cos θ的符号；解三角不等式，可以利用三角函数线．解 (1)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π (k ∈Z )， －1≤sin 2θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin 2θ)>0. ∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)<0，∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是负号．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．探究提高 (1)熟练掌握三角函数在各象限的符号． (2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤： ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．(1)y ＝sin x －32的定义域为________． 答案 {x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z }解析 ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、 OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为 {x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z }．(2)已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，cos θ)在第几象限？解 方法一 由sin 2θ<0，得2k π＋π<2θ<2k π＋2π (k ∈Z )，k π＋π2<θ<k π＋π (k ∈Z )．当k 为奇数时，θ的终边在第四象限； 当k 为偶数时，θ的终边在第二象限．又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y 轴)，所以θ的终边在第二象限． 所以tan θ<0，cos θ<0，点P 在第三象限． 方法二 由|cos θ|＝－cos θ知cos θ≤0，① 又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0，②由①②可推出⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，因此θ在第二象限，P (tan θ，cos θ)在第三象限． 题型四 扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维启迪：(1)弓形面积可由扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数． 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3 (cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝⎛⎭⎫C 2＋α2＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.探究提高 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm ；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)设扇形的圆心角为θ rad ，则扇形的周长是2r ＋rθ. 依题意：2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝(π－2) rad. ∴扇形的面积S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r (0<r <10)． ∴扇形的面积S ＝12lr ＝12(20－2r )r＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25.∴当r ＝5时，S 有最大值25，此时l ＝10，α＝lr ＝2 rad.因此，当α＝2 rad 时，扇形的面积取得最大值．数形结合思想在三角函数线中的应用典例：(12分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．审题视角 (1)求定义域，就是求使3－4sin 2x >0的x 的范围．用三角函数线求解． (2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，θ2是第几象限角？首先应予以确定．②sin θ2，cos θ2，tan θ2不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小． 规范解答 解 (1)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.[2分] 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[4分] (2)∵θ是第二象限角，∴π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ， ∴θ2是第一或第三象限的角．[6分] (如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得： ①当θ2是第一象限角时，sin θ2＝AB ，cos θ2＝OA ，tan θ2＝CT ，从而得，cos θ2<sin θ2<tan θ2；[8分]②当θ2是第三象限角时，sin θ2＝EF ，cos θ2＝OE ，tan θ2＝CT ，得sin θ2<cos θ2<tan θ2.[10分]综上可得，当θ2在第一象限时，cos θ2<sin θ2<tan θ2；当θ2在第三象限时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.[12分] 温馨提醒 1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图像，也可以用三角函数线．用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点：①不能确定θ2所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活．方法与技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．失误与防范1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于()A.55 B.255C．－55D．－255答案 B解析由三角函数的定义，得sin α＝2(－1)2＋22＝255.2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是() A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0答案 B解析在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A、C、D，故选B. 3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为() A．2 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C. 4． 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2. 其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确．sin α>0，α的终边也可能在y 轴的非负半轴上．④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝x r ＝xx 2＋y 2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．答案 二解析 点P 在第三象限，∴tan α<0，cos α<0. ∴α在第二象限．6． 设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________． 答案104解析 设P (m ，5)到原点O 的距离为r ， 则m r ＝cos α＝24m ， ∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝104. 7．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是___________________________．答案 ⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12. ∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .三、解答题(共22分)8． (10分)已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m 3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.9．(12分)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 B解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12. 2． 已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π4答案 D 解析 由sin3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角， ∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.3． 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m ，3m ) (m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________. 答案 25解析 由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.5． 函数y ＝2cos x －1的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 6． 一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________．答案 (7＋43)∶9解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r . 则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r .又S 扇＝12αR 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 三、解答题7． (13分)已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。