【精准解析】云南省昆明市东川区明月中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题

2019年春季学期高二年级期中考试文科数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的相关信息填写在答题卡上;2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I 卷（选择题）一、选择题:共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}|1,|21xM x x N x =<=>，则M N ⋂=A.∅B.{}|01x x << C.{}|0x x < D.{}|1x x <【答案】B 【解析】试题分析：由题意{}0N x x =，所以{|01}M N x x ⋂=<<．故选B ．考点：集合的运算．2.函数()()2log 23x f x x -=-的定义域是()A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.()()2,33,⋃+∞ D.()3,+∞【答案】C 【解析】【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由{2030x x ->-≠，得2x >且3x ≠．∴函数()()2log 23x f x x -=-的定义域是()()2,33,⋃+∞．故选C ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】()i 1i 1i -=+，其共轭复数为1i -，在第四象限.点睛：本题主要考查复数的概念及运算，考查复数与复平面点一一对应关系.在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.4.设a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是（）A.若a α⊥，a β⊥则//αβB.若a β⊥，b β⊥，则//a bC.若b β⊥，a β⊆则a b ⊥r rD.若//a β，b β⊆，则//a b【答案】D 【解析】【分析】根据空间线面、面面的平行垂直关系，对选项进行逐一分析，可得到答案.【详解】选项A ．若a α⊥，a β⊥，则//αβ,正确.选项B ．若a β⊥，b β⊥，则//a b ,正确.选项C ．若b β⊥，a β⊆,则a b ⊥r r，正确.选项D.若//a β，b β⊆，则a 与b 可能平行，也可能异面，所以不正确.故选：D【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系，属于基础题.5.已知实数x ，y 满足条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则2z x y =-的最大值为（）A.8B.6C.8- D.92-【答案】B 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得：目标函数2z x y =-在点()2,2-出取得最大值：()2226z =-⨯-=.本题选择B 选项.6.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值是（）A.24B.6C.2D.120【答案】A 【解析】【分析】根据判断条件，执行循环，直至跳出循环，输出结果.【详解】执行循环得：14,111,112;24,122,213;s i s i <=⨯==+=<=⨯==+=34,236,314;s i <=⨯==+=44,6424,415;s i ==⨯==+=因为54>，所以结束循环，输出24s =故选：A.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A. B.32C. D.16【答案】D 【解析】分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，分别求出它的底面面积和高，代入体积公式，即可求解．详解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，如图所示，，其中底面面积为14242S =⨯⨯=，高为4h =，所以该三棱柱的体积为4416V Sh ==⨯=，故选D ．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．8.设向量a ，b 满足=1a b = ，12a b ⋅= ，则+2a b =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据22+2=(+2)a b a b，利用数量积运算公式，即可求得答案.【详解】 =1a b = ，12a b ⋅= ，∴2222221+2=(+2)=+4+4=+4+4=1+4+4=72a b a b a a b b a a b b ⋅⋅⨯，+2a b.故选D.【点睛】本题考查利用向量的数量积计算向量的模的方法，考查基础知识和基本运算能力.9.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为()A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】分别令1001,e,e ex =-，根据()f x 的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知()11f =，令1e x =，()11e 11e f f ⎛⎫=-+>= ⎪⎝⎭，由此排除C 选项.令ex =，()()1e 111ef f =+>=，由此排除B 选项.由于()1001001e 1000e f -=->，排除D 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.10.已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A.2πB.2πC.50πD.200π【答案】C 【解析】分析：长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可求出球的直径，然后求出球的表面积.详解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，∴长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为916252++=∴球的半径为522，则这个球的表面积是24502ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C.点睛：本题主要考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，意在考查计算能力与空间想象力，注意球的直径与长方体的对角线的转化是解答本题的关键.11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线的渐近线于,A B 两点，若OAB ∆（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.3C.D.2【答案】B 【解析】试题解析：：双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线为b y x a =±，令x ＝c ，得,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由△OAB （O 为坐标原点）是等边三角形，得AF =，从而3b a =，故3c e a ==，故选B ．考点：本题考查了双曲线的离心率点评：解本题的关键是求出A 点的坐标，根据正三角形的性质求出a ，b 间的关系，再求出双曲线的离心率．12.已知函数()1ex f x x =+，若对任意R x ∈，()f x ax >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(),1e -∞- B.(]1e,1- C.[)1,e 1- D.()e 1,-+∞【答案】B 【解析】当0x =时，10,a >∈R；当0x >时，min 1(1xa xe <+；当0x <时，max 1(1x a xe>+；令x y xe =，则(1)01x y x e x '=+=⇒=-，所以当0x >时，x y xe =单调递增，(0,),x y xe =∈+∞111,1x a xe+>≤；当0x <时，x y xe =在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，1x y xe e -=≥-，111,1x e a e xe +≤->-；综上实数a 的取值范围是(]1,1e -，选B.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.第II 卷（非选择题）二、填空题：13.341(x x-展开式中常数项为．【答案】4-【解析】试题分析：431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()431241441C 1C ,rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3r =得常数项为()33441C 4T =-=-.考点：二项式定理.14.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b，则23a b +＝．【答案】(-4,-8)【解析】【详解】由a b ∥，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，求出，然后根据平面向量的坐标运算()232(1,2)3(2,4)4,8a b +=+--=--．15.已知函数()sin ,0,02y x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>≤≤⎪⎝⎭的部分图象如图，则ωϕ-=_______.【答案】0【解析】【分析】根据周期可得ω，根据最高点以及02πϕ≤≤可得ϕ，从而可得答案.【详解】由图象可知314T=-，所以8T =，所以28πω=，解得4πω=，又(1)1f =，所以sin(1)14πϕ⨯+=，所以242k ππϕπ+=+，k Z ∈，所以24k πϕπ=+，k Z ∈，因为02πϕ≤≤，所以4πϕ=，所以0ωϕ-=.故答案为：0.【点睛】本题考查了由三角函数的图象求参数，考查了三角函数的性质，属于基础题16.已知函数3log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，且关于x 的方程()30f x x a ++=有两个实数根，则实数a 的取值范围是_______.【答案】1[,)3-+∞【解析】因为方程()30f x x a ++=有两个实数根，所以()f x 的图象与函数3y x a =--的图象有两个交点，如图所示，可知31a -≤，所以13a ≥-，故答案为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：本题考察了函数的图象与方程的关系，把方程根的问题，转化为函数图象的交点问题求解，结合图形求解；方程()30f x x a ++=有两个实数根，转化为()f x 的图象与函数3y x a =--的图象有两个交点，作出函数图象，关键是临界位置的取舍.三、解答题:共6题，17题10分，18到22每题12分，共70分.17.设ABC ∆的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且4cos ,25B b ==.（1）当π6A =时，求a 的值；（2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．【答案】（1）53a =（2）a c +=【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值．试题解析:解：（1）43cos ,sin 55B B =∴= .由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A Bπ==可得.53a ∴=.（2）ABC ∆ 的面积13sin ,sin 25S ac B B ==，33,1010ac ac ∴==.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得4=22228165a c ac a c +-=+-,即2220a c +=.∴()()22220,40a c ac a c +-=+=，∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果18.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d ≠，且8a 是5a 与13a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()11n n n b n N a a *+=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）21nn +【解析】【分析】(1)由题意求出等差数列的公差，即可求出结果；(2)用裂项相消法求和即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，8a 是5a 与13a 的等比中项.28513=a a a ∴即()()()21117412a d a d a d +=++0d ∴=或2d =；0d ≠ 2d ∴=21n a n ∴=-(2)由（1）知21n a n =-()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭123n nT b b b b ∴=++++ 1111111111112133557212122121n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ .【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，属于基础题型.19.某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）求频率表分布直方图中a 的值；（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.【答案】(1)a=0.005;(2)74.5;(3)见解析.【解析】【详解】试题分析：（１）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．试题解析：解：（1）由题意得10a +0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a =0.005．（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5（3）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯==1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为51153=.考点：①频率分布直方；②平均数的求法；③古典概率．20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点.（1）证明：//EF 平面11BCC B .（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）313065【解析】【分析】（1）先连接1AC ，1BC ，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，求出直线的1B F 的方向向量1B F 与平面AEF 的法向量，由向量夹角公式求出向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】（1）证明：如图，连接1AC ，1BC .在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点.又因为F 为AB 的中点，所以1//EF BC .又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B .（2）解：以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()0,0,6A ，()10,4,0B ，()2,0,3E ，()0,2,6F ，所以()10,2,6B F =-，()2,0,3AE =- ，()0,2,0AF =.设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则23020n AE x z n AF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令3x =，得()3,0,2n = .记1B F 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos ,B F n B F n B F n θ⋅==65=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定、以及线面角的向量求法，熟记线面平行的判定定理以及空间向量的方法即可，属于常考题型.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为63，且经过点()3,1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()6,0P 的直线l 交椭圆于AB 两点，Q 是x 轴上的点，若ABQ ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，求直线l 的方程.【答案】（1）221124x y +=；（2）360x y ±-=【解析】【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得a,b ，（2）将等腰三角形转化为AB 的中垂线方程过Q 点，且Q 点到直线l 距离等于AB 一半，先设直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式可得AB 长以及AB 中点，根据点斜式求AB 的中垂线方程，求与x 轴交点得Q 点坐标，根据点到直线距离公式列方程解得直线斜率，即得直线方程.【详解】（1）由22633c e a b a ==⇒=，设椭圆方程为222213x y b b +=则222311,4b b b +==，椭圆方程为221124x y +=（2）设AB 的中点坐标()00,x y ，()()1122,,,A x y B x y ，:6l x ty =+则由2211246x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22312240t y ty +++=由>0∆得26t >，0263t y t -=+，0021863x ty t =+=+AB 的中垂线方程为2261833t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，所以212,03Q t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭点212,03Q t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭到直线l 的距离为23t +，23AB t =+，所以6=29,3t t ==±直线l 的方程为360x y ±-=22.已知()ln ()x f x e a x a R =-∈.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若1a =-时，若不等式()(1)f x e m x >+-对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()0e a x y a --+=；（2）1m e ≤+【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，（2）先构造函数()()ln 1,x F x e x e m x =+---再通过二次求导得导函数单调递增，且()()''1F x F >，再讨论()'1F 与零的大小，结合()10F =确定实数m 的取值范围.详解：（1）由()ln x f x e a x =-，则()'x a f x e x=-，()'1f e a =-．切点为()1,e ，所求切线方程为()()1y e e a x -=--，即()0e a x y a --+=（2）由()ln xf x e a x =-，原不等式即为()ln 10xe x e m x +--->记()()()ln 1,10xF x e x e m x F =+---=依题意有()0F x >岁任意[)1,x ∈+∞恒成立，求导得()()()211','11,''x x F x e m F e m F x e x x=+-=+-=-，当1x >时，()''0F x >，则()'F x 在()1,+∞上单调递增，有()()''1F x F >若1m e ≤+，适合题意若1m e >+，则()'10F <，又()1'ln 0ln F m m=>，故存在()11,ln x m ∈使()'0F x =当11x x <<时，()'0F x <，得()F x 在()11,x 上单调递减，在()()10F x F <=，舍去，综上，实数m 的取值范围是1m e ≤+.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。