塑性力学第四章

1 1 1 1 又由于ε r = ε θ = − 2 ε z = − 2 ε , ε θz = 2 γ θz = 2 γ
故
⎛ 2 1 2⎞ εi = ⎜ε + γ ⎟ 3 ⎠ ⎝
（2）
（二）对于理想塑性材料： σi = σs （3） 将（2）、（3）代入式（1），得到
σ=
σs
⎛ 2 1 2⎞ ⎜ε + γ ⎟ 3 ⎠ ⎝
2G
2σ i
（因 σ i = Eε i = 2(1 + μ )Gε i ，而塑性状态 μ = 0.5） 当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke 定律，但是不能写成全量形式，只能写成增 量形式。 1 − 2μ 1
dε ii = E dσ ii , deij = 2G dS ij
§4-3
全量型本构方程
1 2） ε ij = 2 (u i , j + u j ,i )
3）
2 σi ⎧ S = ⎪ ij 3 ε eij ⎪ i ⎨ ⎪σ = E ε kk kk ⎪ 1 − 2μ ⎩
σi =
3 S ij S ij 2
，ε i
=
2 eij eij 3
4） σ ij li = f j 5）
ui = ui
200 100
2
1
随动强化
3
ε / 10 − 3
等向强化
解：（1）随动强化 ε P = 0.002 时，相应的应力和应变分别为
σ = 246.5MPa , ε = 0.003232
塑性模量的表达式为
E P = mn ε
( )
P n −1
P ε 在 = 0.002 时的背应力为
b=∫
0.002
0
mn ε
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2
( )
0 <σ ≤σs
n
σ >σs
式中 σ s = 200 MPa , E = 200GPa , m = 300 MPa , n = 0.3 。 P ε = 0.002 ，然后卸载并方向加 拉伸加载至 载，针对下面两种情况，求出方向加载中的 应力—应变关系。 （1）随动强化；（2）等向强化。
σ / MPa
⎛ σ + 200 ⎞ + 0.004 − ⎜ − ε = ε +ε = ⎟ 200000 300 ⎠ ⎝
e P
σ
1 0 .3
§4-4
全量理论的基本方程 及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上 给定面力 f i ，在位移边界 Su 上给定 ui ，要求 物体内部各点的应力 σ ij 、应变ε ij 、位移 ui 。 确定这些未知量的基本方程组有： 1） σ ij ,i + f j = 0
Δσ ε = 0.003232 + = 0.000767 E
由此可得强化（硬化）函数为
k ε P = σ s + m(ε P ) n
( )
当应力σ < −246.5MPa ，材料进入压缩硬化， 等向硬化的加载条件为
σ = −k
(∫ dε ) = −σ
P
P n − m ( ε ) s
于是，应力—应变关系为
3 εi ε ij = S ij 2 σi
1 − 2μ ε ii = σ ii E
（1）
3(1 − 2 μ ) 第一式，且 μ = 0.5, ε ij = eij ，
故
或
2 σi S ij = ε ij 3 εi
1 2 又因为 S z = σ z − σ m = σ z − σ z = σ , Sθz = τ θz = τ 3 3 σi σi 其展开式为 σ = ε i ε ,τ = 3ε i γ
k , ki i , jj ij , j i
或
在弹性状态时，上式右端等于零，可得 到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上 式右端作为已知项，又可以解出第二次近似 解。重复以上过程，可得出所要求精度内接 近实际的解。在小变形情况下，可以证明解 能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已 能给出较为满意的结果。
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转， 在 γ 的比值保持不变条件下进入塑性状态
ε
到 εs = 力。
σs
E
,γ s =
τs
G
，用全量理论求筒中的应
解：（一）由全量理论
3ε i eij = S ij , σ i = Φ (ε i ) 2σ i
第二式可以写为 σ m = 3Kε m 其中 K = E
2G ′ = S ij S ij ekl ekl = J2 = ′ J2
1 （ 2G ′
即ψ
）
1 2 σi 2σ i 3 = 3 2 3ε i εi 4
3 σi = SijSij 2
2 , εi = eijeij 3
1 , J2 = SijSij 2
1 ′ , J2 = eijeij 2
以μ = 0.5 代入 σ i = Eε i (1 − ω ) 得到 σ i = 3Gε i (1 − ω ) 则
求解方法和弹性问题一样，可以用两种 基本方法：按位移求解或按应力求解。在全 量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依 留申提出的弹性解法显得很方便。
将 S ij = 2G (1 − ω )eij代入用位移表示的平衡 微分方程得： E G⎞ ⎛ K = ⎜ K + ⎟u + Gu − 2G (ωe ) + f = 0 其中 3(1 − 2μ ) 3⎠ ⎝
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。 一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
1 − 2μ θ = θ = ε ii = σ ii E
e
,
θP =0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即， e ij = ψ S ij
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对 于同一种材料来说，应力强度是应变强度的 (ε i ) 确定函数 σ i = Φ，是与Mises条件相应的。 （ σ i = Eε i (1 − ω ) ，单拉时 σ = Eε (1 − ω ) ）
ε
ii
全量型塑性 本构方程为
e ij
1 − 2μ σ = E 3ε i S ij = 2σ i = Φ (ε
⎛ σ + 107 ⎞ + 0.004 − ⎜ − ε = ε +ε = ⎟ 200000 300 ⎠ ⎝
e P
σ
1 0.3
（2）等向强化 当应力从σ = 246.5MPa 开始减小到 σ = −246.5MPa 材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保 P ε 持不变为 = 0.002 ，仅产生弹性应变，因此， 在 σ = −246.5MPa 时，对应的应变为
Δσ ε = 0.003232 + = 0.00123 E
当应力σ < −153.5MPa ，将产生压缩塑性变形， P ( ε − 0.002) < 0 在此阶段，塑性应变增量为 其绝对值是 0.002 − ε P ，累积塑性应变为
∫ dε
P
= 0.002 + 0.002 − ε = 0.004 − ε
S ij = 2G (1 − ω )eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若 材料为理想弹塑性，且 μ = 0.5 。设拉力为P， 扭矩为 M ，筒的平均半径为r，壁厚为t。于 是筒内应力为均匀应力状态，有
P M ,τ θz = σz = 2πrt 2πr 2t
§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个 要素： 1、初始屈服条件；
由于在塑性变形状态应力和应变不存在 一一对应的关系。因此，必须用增量形式来 表示它们之间的关系。只有在知道了应力或 应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全 量的关系。由此可见，应力与应变的全量关 系必然与加载的路径有关，但全量理论企图 直接建立用全量形式表示的，与加载路径无 关的本构关系。所以全量理论一般说来是不 正确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分 总是可能的。但要在积分结果中引出明确的
ε ,τ =
σs
⎛ 2 1 2⎞ 3 ⎜ε + γ ⎟ 3 ⎠ ⎝
γ
（4）
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时 各应变分量同时达到屈服，即 ε = ε s , γ = γ s ， 又 3G G 3G 分别代入（4）得到
εs = σs
,γ s =
τs
=
σs 1
=
σs
3G
σ=
σs
σs
⎛ ⎛ σ ⎞ 2 1 ⎛ σ ⎞ 2 ⎞ 3G ⎜⎜ s ⎟ + ⎜ s ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 3G ⎠ 3 ⎝ 3G ⎠ ⎟ ⎠ ⎝
G⎞ ⎛ K + ⎜ ⎟u k ,ki + Gu i , jj + f i = 2G (ωeij ), j 3⎠ ⎝
§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
Hale Waihona Puke 目前已经证明，全量理论在小变形并且 是简单加载的条件下与实验结果接近，可以 证明是正确的。 一、简单加载 0 ( ) σ = α t σ ij 物体内 在简单加载的情况下， ij 每一点的应力和应变的主方向都保持不变。 其主值之比也不改变。在应力空间中，应力 点的轨迹是直线。 依留申在1943年继续解决了在什么条件