2.1.4_多项式的乘法(2)
多项式的乘法
多项式的乘法在代数学中，多项式的乘法是一项基本的运算。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式。
本文将介绍多项式乘法的定义、运算法则以及一些实例应用。
一、多项式乘法的定义多项式乘法是指将两个或多个多项式相乘的过程。
一个多项式可以写成如下形式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ... , a_1, a_0为常数系数，x为自变量，n为多项式的次数。
对于两个多项式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) * (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0)二、多项式乘法的运算法则多项式乘法遵循以下运算法则：1. 每一项的指数相加：两个同类项的指数相加，如x^m * x^n =x^{(m+n)}。
2. 常数系数相乘：两个同类项的常数系数相乘，如a_i * b_i。
3. 扩展运算：将每个项与另一个多项式的所有项进行相乘。
多项式的每一项都与另一个多项式的所有项进行相乘，并将结果相加。
三、多项式乘法的实例应用多项式乘法在数学和科学领域有广泛的应用。
以下是一些实例：1. 几何应用：在几何学中，多项式乘法用于计算多项式函数的图像和方程。
例如，通过将两个多项式相乘，可以得到一个表示曲线的方程。
2. 物理学应用：多项式乘法用于描述物理现象中的变化。
例如，通过将时间和速度的多项式相乘，可以得到物体的位移多项式。
3. 统计学应用：多项式乘法被用于计算和分析统计数据。
例如，在回归分析中，通过将自变量和系数的多项式相乘，可以找到一个最佳拟合的多项式函数。
教学课件：七下湘教.4多项式的乘法(第2课时多项式与多项式相乘)
2.1 整式的乘法
2.1.4
多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
学习目标
1 理解并经历探索多项式乘多项式法则的过程，能熟练应用
多项式乘多项式的法则解决问题.（重点）
2 培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的
能力.
知识回顾
单项式乘单项式
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂
解：(1)去括号，得x2-5x+6+18=x2+10x+9.
移项、合并同类项，得15x=15.
解得x=1.
(2)去括号，得9x2-36＜9x2+9x-54.
移项、合并同类项，得9x＞18.
解得x＞2 ．
课堂小结
多项式乘多项式
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每
一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2
2
22 x 7 xy 14 y .
当x=1，y=-2时，
原式=22×1-7×1×（-2）-14×(-2)2
=22+14 -56
=-20.
随堂训练
5.已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，
也不含x项，求系数a，b的值．
解： (ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
பைடு நூலகம்
（2） ( + )
= ( + )( + )
= + + +
= + +
= − +
知识讲授
注意：
1.运算要按一定顺序，做到不重不漏.
部审湘教版七年级数学下册2.1.4第2课时《多项式与多项式相乘》说课稿
部审湘教版七年级数学下册2.1.4 第2课时《多项式与多项式相乘》说课稿一. 教材分析部审湘教版七年级数学下册2.1.4 第2课时《多项式与多项式相乘》是本册教材中的一个重要内容。
这部分主要介绍了多项式与多项式相乘的法则，并通过实例让学生掌握这些法则。
教材通过由浅入深的顺序，让学生在理解多项式乘法的过程中，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了整式的基本知识，对乘法运算也有一定的理解。
但是，对于多项式与多项式相乘的法则，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，通过引导和激励，帮助他们理解和掌握这一部分的内容。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握多项式与多项式相乘的法则，能够熟练地进行多项式乘法的计算。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生解决问题的能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考和合作探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：多项式与多项式相乘的法则，多项式乘法的计算方法。
2.教学难点：理解多项式相乘的法则，能够灵活运用这些法则进行计算。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用引导式教学法，通过问题引导和实例分析，让学生在解决问题的过程中理解和掌握多项式与多项式相乘的法则。
同时，我还将运用多媒体教学手段，通过动画和图形的展示，让学生更直观地理解多项式乘法的过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出多项式与多项式相乘的需要，激发学生的兴趣。
2.新课导入：介绍多项式与多项式相乘的法则，并通过实例进行分析。
3.课堂讲解：通过多个实例的分析和练习，让学生理解和掌握多项式与多项式相乘的法则。
4.课堂练习：让学生进行多项式乘法的练习，巩固所学的知识。
5.课堂小结：对所学内容进行总结，强化学生对多项式与多项式相乘法则的理解。
七. 说板书设计板书设计将包括多项式与多项式相乘的法则，以及实例的展示。
多项式的乘法和除法
多项式的乘法和除法多项式是数学中常见且重要的一种代数表达形式。
在代数学中，多项式是由一系列的项组成的，每个项包含了一个系数和一个变量的幂次。
多项式的乘法和除法是数学中常用的运算方法，用于求解各种实际问题以及推导出更复杂的表达式。
一、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘的运算。
多项式的乘法有以下几个要点：1. 每个项与其他多项式的每个项进行乘法运算，然后将结果相加。
例如，对于多项式A和多项式B相乘，结果可以表示为A *B = (a0 * b0) + (a1 * b0 + a0 * b1) + (a1 * b1) + ...2. 在乘法运算中，需要使用代数学中的乘法法则，即将两个项的系数相乘，将两个项的幂次相加。
例如，对于两个项：a * xn 和b * xm，它们相乘的结果为：(a * b) * xn+m。
3. 多项式乘法的结果是一个新的多项式，其中包含了之前的多项式的所有项的乘积和。
在计算过程中，需要将同类项进行合并，即将具有相同幂次的项的系数相加。
举例来说，我们有两个多项式：A = 2x^2 + 3x + 1 和 B = 4x + 1。
我们可以按照上述步骤进行乘法运算：A *B = (2x^2 * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 1) +(1 * 4x + 1 * 1)= 8x^3 + 2x^2 + 12x^2 + 3x + 2x^2 + 3x + 4x + 1= 8x^3 + 16x^2 + 10x + 1根据上述计算，我们得到了多项式 A 和 B 相乘的结果为 8x^3+ 16x^2 + 10x + 1。
二、多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
多项式的除法有以下几个要点：1. 除法的核心思想是通过多项式的乘法来逆转乘法运算。
具体而言，如果多项式 A 除以多项式 B 的结果为多项式 C，那么 C 与B 相乘的结果应该等于 A。
多项式的乘法运算法则
多项式的乘法运算法则多项式是代数学中常见的一种表达形式，它由若干项组成，每一项包括系数和指数。
在代数运算中，多项式的乘法是一项重要的操作，为了准确进行多项式的乘法运算，需要遵守一定的法则。
本文将介绍多项式的乘法运算法则，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 同底数乘法法则当多项式相乘时，若底数相同，则指数相加。
例如，对于多项式a^n和b^n，其中a和b为常数，n为指数，它们的乘积为a^n * b^n，底数相同，指数相加。
2. 分配律法则多项式的乘法运算满足分配律法则，即对于多项式a、b和c，有(a + b) * c = a * c + b * c。
这条法则可以用来将多项式的乘法运算转化为加法运算，简化计算过程。
3. 合并同类项法则在多项式相乘的过程中，会出现相同底数和指数的项，按照合并同类项法则，可以将它们合并成一项。
例如，对于多项式a^n * a^n，可以合并为a^(2n)。
此外，还可以将系数相同的项合并，如2a^n * 3a^n 可以合并为6a^n。
4. 零乘法则多项式与零相乘的结果为零，即0 * a^n = 0。
这是因为零乘以任意数都得到零。
5. 多项式的高次幂法则当多项式的指数为整数时，其高次幂为其自身的连乘积。
例如，(a * b)^n = a^n * b^n。
6. 反义词乘法法则反义词的乘积为负数，即a * (-a) = -a^2。
7. 多项式的乘方法则当多项式自身进行乘方运算时，可以将指数相乘。
例如，(a^n)^m = a^(n*m)。
通过掌握以上多项式的乘法运算法则，可以更加准确地进行多项式的乘法运算。
在实际的应用中，多项式的乘法运算常见于方程式的求解、函数的拟合等数学问题，因此具备良好的乘法运算技巧对于解决实际问题非常重要。
总结起来，多项式的乘法运算法则包括同底数乘法法则、分配律法则、合并同类项法则、零乘法则、多项式的高次幂法则、反义词乘法法则以及多项式的乘方法则。
掌握这些法则，并能够熟练运用，将有助于提高解决多项式相关问题的能力。
部审湘教版七年级数学下册教学设计2.1.4 第1课时《单项式与多项式相乘》教学设计
部审湘教版七年级数学下册教学设计2.1.4 第1课时《单项式与多项式相乘》教学设计一. 教材分析《单项式与多项式相乘》是湘教版七年级数学下册第2.1.4节的内容，本节课主要让学生掌握单项式与多项式相乘的法则，并能灵活运用解决实际问题。
教材通过例题和练习题，引导学生探究并发现单项式与多项式相乘的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了单项式和多项式的相关知识，对基本的代数运算有所了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握单项式与多项式相乘的法则，能正确进行计算。
2.过程与方法目标：通过探究单项式与多项式相乘的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：单项式与多项式相乘的法则。
2.教学难点：如何引导学生发现并运用单项式与多项式相乘的规律。
五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导，激发学生的思考，让学生主动探究单项式与多项式相乘的规律。
2.小组讨论：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
3.案例分析：教师出示实际问题，引导学生运用所学知识解决，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示单项式与多项式相乘的例题和练习题。
2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生的知识点。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，回顾单项式和多项式的相关知识，引导学生进入本节课的主题。
2.呈现（10分钟）教师出示单项式与多项式相乘的例题，引导学生观察并思考：如何进行计算？3.操练（10分钟）教师引导学生进行小组讨论，共同解决例题。
在讨论过程中，教师适时给予提示和指导。
湘教版数学七年级下册_《多项式的乘法(第2课时)》同步练习
《多项式的乘法（第2课时）》同步练习一．选择题1.下列各式中，计算结果是x2+7x-18的是（）A．（x-2）（x+9）B．（x+2）（x+9）C．（x-3）（x+6）D．（x-1）（x+18）2．使（x2+px+8）（x2-3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（）A．p=0，q=0 B．p=3，q=1 C．p=-3，q=-9 D．p=-3，q=13．若x+m与2-x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．14．如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（）A．p=5，q=6 B．p=1，q=-6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=-65．若（x2+px+q）（x-2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p=2q B．q=2p C．p+2q=0 D．q+2p=06．根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）=a2+3b2C．（b+3a）（b+a）=b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a-b）=a2+2ab-3b2二．填空题7．已知a2-a+5=0，则（a-3）（a+2）的值是________．8．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______。
9．已知多项式x2+ax-4（a为常数）是两个一次多项式x+1和x+n（n为常数）相乘得来的，则a=________.三．解答题10.已知x+5与x-k的乘积中不含x项，求k的值．11.已知：x+y=5，xy=6，求（x-4）（y-4）的值．12．小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x-a）（3x+b），得到的结果为6x2-13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2-x-6．（1）式子中的a，b的值各是多少？（2）请计算出原题的答案。
《多项式的乘法》教案
《多项式的乘法》教案第一课时教学目标知识与技能1.知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式.2.会进行单项式乘多项式的计算.过程与方法1.通过面积的计算领会用长方形面积图或乘法的分配律说明单项式与多项式相乘的法则.2.经历探究单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思维和语言表达能力. 情感、态度与价值观1.理解整式的乘法运算的原理，体会乘法分配律的作用和转化思想.2.注意学生学习积极性，主动性的调动，增强学生学习数学重点难点重点单项式与多项式相乘的法则.难点单项式的系数的符号是负号时的情况.教学设计一、回顾交流，课堂演练1．口述单项式乘以单项式法则．2．口述乘法分配律．3．课堂演练，计算：（1）（－5x ）·（3x ）2（2）（－3x ）·（－x ）（3）31xy ·32xy 2 （4）－5m 2·（－31mn ）（5）－51x 2y 4－2x 2y ·（－21x 2y 2） 二、创设情境，引入新课 小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了61a 米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？【学生活动】小组合作，讨论．【情境问题】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n （单位：元/台）销售A 牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x ，y ，z ，请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．方法一：首先计算出这三家超市销售A 牌空调的总量（单位：台），再计算出总的收入（单位：元）．即：n （x +y +z ）．方法二：采用分别计算出三家超市销售A 牌空调的收入，然后再计算出他们的总收入（单位：元）．总结规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．例题解析：例10 计算：2112412()（）（）；x y xy x ∙-+ 2212442()（）（）.b b ab -∙- 例11 求 22212442（）-（）x x y y x x y ∙-∙-的值，其中x =2，y =-1. 三、范例学习，应用所学1、计算：（－2a 2）·（3ab 2－5ab 3）．解：原式=（－2a 2）（3ab 2）－（－2a 2）·（5ab 3）=－6a 3b 2+10a 3b 32、化简：－3x 2·（13xy －y 2）－10x ·（x 2y －xy 2） 解：原式=－x 3y +3x 2y 2－10x 3y +10x 2y 2=－11x 3y +13x 2y 23、解方程：8x （5－x ）=19－2x （4x －3）40x －8x 2=19－8x 2+6x40x－6x=19 34x=19x=19 34四、随堂练习，巩固深化计算：（1）5x2·（2x2－3x3+8）（2）－16x·（x2－3y）（3）－2a2·（12ab3+b3）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2五、课堂总结，发展潜能1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．第二课时教学目标知识与技能1．经历探索多项式乘法的法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算．2．进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力．过程与方法在解决问题的过程中，注重与他人合作，培养学生的语言表达能力．情感、态度与价值观培养学生语言表达能力，以及与他人沟通、交往的能力．重点难点重点掌握多项式的乘法法则并加以运用.难点探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”和“符号”的问题．教学设计一、创设情境，操作感知【动手操作】首先，在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图所示的四部分，标上字母．拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如下图．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，然后再求这四块长方形的面积．求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，它们的和为S=mn+nb+am+ab．依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．例题解析：例12 计算：(1)(2x+y)(x-3y)；(2)(2x+1)(3x2-x-5)；(3)(x+a)(x+b).例13 计算：1)(a+b)(a-b)；(2)(a+b)2 ；(3)(a-b)2.【探究时空】一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？二、法则应用下面我们利用法则来做计算．计算（1）（3x+1）（x+2）（2）（x-8y）（x-y）（3）（x+y）（x2-xy+y2）解：（1）（3x+1）（x+2）（2）（x-8y）（x-y）= 3x2·x+（3x）·2+1·x+1×2 =x2-xy - 8x + 8y2= 3x2+6x+x+2 =x2-9xy+8y2= 3x2+7x+x+2（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3注：不要漏掉任何一项，注意符号巩固练习1．（1）（2x+1）（x+3）：（2）（m+2m）（m-3m）=2x2+7x+3 =m2-m（3）（a-1）2（4）（a+3b）（a-3b）=a2-2a+1 =a2-9b2（5）（2x2 -1）（x-4）（6）（x2+3）（2x-5）= 2x3+8x2+x-4 =2x3-5x2-6x-15三、课堂总结，发展潜能1．多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．。
多项式的乘法
多项式的乘法多项式的乘法是代数学中非常重要的运算之一。
在代数学中，多项式是由一系列的项组成的表达式，每一项都包含了一个系数和一个变量的幂。
多项式的定义我们先来了解一下多项式的定义。
一个多项式可以表示为以下形式：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxn其中，P(x)是多项式的表达式，a₀, a₁, a₂, … ，an是系数，x是变量，n是多项式的阶数。
每一项由系数和变量的幂组成。
系数可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
多项式的乘法规则多项式的乘法遵循以下规则：1.两个多项式相乘，等于将每个项相乘后再将结果相加。
2.两个项相乘，得到的结果是系数的乘积和指数的和。
3.乘法运算要注意指数的和并进行合并。
设有两个多项式：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxnQ(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bmxm这两个多项式的乘积为：P(x) * Q(x) = (a₀ * Q(x)) + (a₁x * Q(x)) + (a₂x² * Q(x)) + ... + (a nxn * Q(x))通过按照规则2，我们可以对每一项进行乘法运算，得到新的多项式。
多项式的乘法示例让我们通过一个示例来理解多项式的乘法。
假设有两个多项式：P(x) = 3x² + 2x + 1Q(x) = 2x + 1我们需要计算这两个多项式的乘积。
按照乘法规则，我们先将P(x)的每一项与Q(x)进行乘法运算，然后将结果相加。
P(x) * Q(x) = ((3x² * Q(x)) + (2x * Q(x)) + (1 * Q(x)))按照乘法规则2，我们有：3x² * Q(x) = (3x² * (2x + 1)) = 6x³ + 3x²2x * Q(x) = (2x * (2x + 1)) = 4x² + 2x1 * Q(x) = (1 * (2x + 1)) = 2x + 1将上述结果相加，我们得到最终的乘积多项式：P(x) * Q(x) = (6x³ + 3x²) + (4x² + 2x) + (2x + 1) = 6x³ + 7x² + 4x + 1所以，多项式P(x)和Q(x)的乘积为6x³ + 7x² + 4x + 1。
湘教版七年级数学下册第二章《多项式的乘法》课件
m
am
mn
b
ab
nb
a
n
做一做
2
1
1234
（a+n）（b+m）= a(b+m)+ n(b+m) = ab + am + nb + nm
3 4
多项式× 多项式
分配律
单项式× 分配律
多项式
单项式× 单项式
说一说
多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？
（1）多项式与多项式相乘的结果中,要把同类项合并； （2）在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项 式的项数的积。
(2)(x+y)(x2-xy+y2) (2) (x+y)(x2-xy+y2)
= x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3
例3. 观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： (x+2)(x+3)=x2+5x+6； (x+4)(x+2)=x2+6x+8； (x+6)(x+5)=x2+11x+30.
A、bc-ab+ac+c2
B、ab-bc-ac+c2
c
C、a2+ab+bc-ac
×② 3 a 2 b1 - a b 2 c= - 3 a 3 b 33a2b-3a3b3ca
×③ - 3 a 2a 2 + 2 a - 1= - 3 a 4 + 6 a 3 - 3 a 2-3a4-6a3+3a2
例2. 先化简，再求值：yn(yn +9y-12)-3(3yn+1-4yn)， 其中y=-3,n=2.
数学公式知识：多项式的加减乘除及其因式分解
数学公式知识：多項式的加减乘除及其因式分解多项式是数学上重要的一类函数形式，由多项式的系数和次数组成。
其中，系数可以是实数、复数或其他某些域中的元素，而次数通常是自然数。
在代数学中，多项式的加减乘除以及因式分解都是非常重要的知识点。
一、多项式的加减多项式的加减是指将两个或多个多项式相加或相减的过程。
同样次数的项可以直接相加和相减，而不同次数的项需要进行配对后再进行运算。
例如，将多项式f(x) = 3x^2 + 5x + 2和g(x) = 2x^2 +3x +1相加，则有：f(x) + g(x) = (3x^2 + 5x + 2) + (2x^2 + 3x + 1)= 5x^2 + 8x + 3将这两个多项式相加后，得到的结果多项式的最高次数为2，其系数为5。
因此，图中的结果多项式可以简化为5x^2 + 8x + 3。
同样的，两个多项式进行减法的步骤也类似，例如，将多项式f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 3x - 1和g(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 2相减，则有：f(x) - g(x) = (4x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (2x^3 - x^2 - 4x + 2)= 2x^3 + 3x^2 + 7x - 3通过以上的计算表明，多项式的加减法不难掌握，只需要注意相同次数项的加减运算与不同次数的项配对就可以。
二、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式进行相乘的运算。
怎么相乘？这里我给出一个例子：将多项式f(x) = 3x^2 + 2x + 1和g(x) = x + 2相乘，则有：f(x) × g(x) = （3x^2 + 2x + 1)×(x + 2)= 3x^3 + 8x^2 + 7x + 2通过以上计算表明，多项式的乘法是将两个多项式的单项式逐一进行相乘，并将值相加得到的新多项式。
在这个过程中，需要注意每一个项中的系数和指数和进行相乘。
2.1.4 多项式的乘法第2课时 多项式与多项式相乘
图2.1-2
[答案] = 5 − 3 + − 2 π = 15 − π 2 + 2 − 2
能力提升
11.现有若干张如图2.1-3所示的正
方形和长方形卡片，如果要拼一
个长为 2 + 、宽为 + 2 的
长方形，一共需要类、类、
类卡片多少张？
[答案] 9张
D. + 4 − 5 = 2 + 9 − 20
2.在下列各式中，计算结果等于 2 − 5 − 6的是( A ) .
A. − 6 + 1
B. − 2 + 3
C. + 6 − 1
D. − 2 − 3
3.下列各式的计算：
① 2 + 1 2 − 1 = 42 − − 1；
湘教版七年级数学下册课件
第2章 整式的乘法
2.1.4 多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
自主学习
自主导学
多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用
另一个多项式
一个多项式的每一项分别乘______________的每一项，再把所得的
积相加
_________.
典例分享
例 计算：
图2.1-3
提示：长为2 + 、宽为 + 2的长方形面积为
2 + + 2 = 22 + 5 + 2 2 . 图形面积为2 ，图形面积为
2 ，图形面积为.所以需要类卡片2张，类卡片2张，类卡片5张，
共2 + 2 + 5 = 9（张）
中考链接
12.（2022·临沂）计算 + 1 − 的结果是( B ) .
湘教版数学七年级下册2.1.4多项式的乘法(2)同步练习
初中数学试卷湘教版版七年级下册数学 2.1.4 多项式的乘法（ 2 ）同步练习一、选择题 (本大题共8 小题 )1. 若(x+3)(x+m)=x 2 +kx-15, 则 m-k 的值为 ( )2. 方程 (x-3)(x+4)=(x+5)(x-6) 的解是()A.x=9B.x=-9C.x=6D.x=-63. 以下计算正确的选项是()A.(a+5)(a-5)=a 2-5B.(x+2)(x-3)=x 2-6C.(x+1)(x-2)=x 2-x-2D.(x-1)(x+3)=x 2 -3x-34. 若(x+m)(x-5) 的积中不含 x 的一次项 ,则 m 的值为 ( )D.5 或 -55. 若 6x 2 -19x+15 ＝ (ax+b)(cx+d) ，则 ac+bd 等于 ( )6. 设 M=(x-3)(x-7),N=(x-2)(x-8), 则M 与N的关系为( )A.M<NB.M>NC.M=ND. 不可以确立7.一个长方形的长 2xcm, 宽比长少 4 cm, 若将长和宽都增加 3 cm, 则面积增大了__________cm2,若 x=3, 则增添的面积为__________cm2 .以下选项正确的选项是（）。
A. 12x-3；33B. 24x-3；24C. 24x-3；33D. 12x-3；248.图(1) 是一个长为 2m, 宽为 2n(m>n) 的长方形 ,用剪刀沿图中虚线 (对称轴 ) 剪开 ,把它分红四块形状和大小都相同的小长方形,而后按图 (2) 那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是()B.(m+n) 2C.(m-n) 2D.m 2-n 2二、填空题 (本大题共 6 小题 )9. 当 x=-7 时 ,代数式 (2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1) 的值为.10. 若 (x+a)(x+b)=x 2 -6x+8, 则 ab= .11. 已知 (x 2 +px+8)(x 2-3x+q) 的睁开式中不含 x2 项和 x3项 ,则 p+q 的值为.12. 先化简，再求值：（ 2a-3 ）（ 3a+1 ） -6a （a-42 ），此中 a=．1713. 小青和小芳分别计算同一道整式乘法题：(2x+a)(3x+b), 小青因为抄错了第一个多项式中a的符号 ,获得的结果为6x 2-13x+6, 小芳因为抄错了第二个多项式中x 的系数 ,获得的结果为2x 2 -x-6, 则这道题的正确结果是__________.14.察看以下各式：(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x 2+x+1)=x3-1,(x-1)(x 3+x 2 +x+1)=x4-1,请你猜想 (x-1)(x n +x n-1 + +x 2+x+1)=__________.(n为正整数)剖析：三、计算题 (本大题共 4 小题 )15. (1) 化简 (x+1) 2-x (x+2).(2) 先化简 ,再求值 .(x+3)(x-3)-x(x-2), 此中 x=4.16. . 已知 |2a+3b-7|+(a-9b+7) 21 2 1ab+b 21 a+b) 的值 . =0 ，试求 ( a - )(4 2 217. 如图 ,学校的课外生物小组的实验园地是一块长35 米 ,宽 26 米的长方形 ,为了行走方便和便于管理 ,现要在中间修筑相同宽的道路,路宽均为 a 米 ,余下的作为栽种面积,求栽种面积是多少？参照答案：一、选择题 (本大题共8 小题 )1. A剖析：依据多项式乘多项式的运算法例进行计算，依据系数关系解答。
多项式的运算
多项式的运算多项式是数学中常见的代数表达式，由一系列的变量和常数相加减组成。
在代数中，多项式的运算包括加法、减法、乘法以及除法等操作。
本文将介绍多项式的基本概念和常见的运算方法。
一、多项式的定义多项式是由单项式相加减而成的代数表达式。
单项式是只由一个变量项相乘而得的代数表达式，如2x、3xy²等。
而多项式则由多个单项式相加减组成。
一个一元多项式的一般形式可以表示为：P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀其中，P(x) 表示多项式函数，aₙ是系数，x是变量，n是整数且大于等于零的次数。
aₙxⁿ 称为多项式的首项，a₀称为常数项。
二、多项式的加法与减法多项式加法和减法的运算规则相同。
对于两个多项式P(x) 和Q(x)，其相加减的过程是将对应的单项式进行相加减，并合并同类项。
例如，对于多项式 P(x) = 3x² + 2x + 1 和 Q(x) = 2x² + x - 3，它们的相加结果为：P(x) + Q(x) = (3x² + 2x + 1) + (2x² + x - 3)= 5x² + 3x - 2同样地，对于多项式的减法 P(x) - Q(x) 的操作也是类似的。
三、多项式的乘法多项式的乘法是将每个项与另一个多项式的每个项相乘，然后合并同类项的结果。
考虑两个多项式 P(x) = 2x³ - x² + 3x + 1 和 Q(x) = x² - 2x + 2：P(x) × Q(x) = (2x³ - x² + 3x + 1) × (x² - 2x + 2)= 2x⁵ - 5x⁴ + 6x³ + 2x² - 4x + 2四、多项式的除法多项式的除法是通过除以另一个多项式，得到商式和余式。
对于两个多项式 P(x) 和 D(x)，P(x) ÷ D(x) 的结果可以表示为：P(x) = Q(x) × D(x) + R(x)其中，Q(x) 为商式，R(x) 为余式，且 R(x) 的次数小于 D(x)。
多项式的乘法(第课时)PPT课件
课堂练习
2、先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其 中 a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21.
第（3）小题的直观意义如图
课堂练习
1、计算：
(1) (1－x)(0.6－x)；(2) (2x+y)(x－y)；(3) (x + y)(x2－xy + y2).
解：(1) 原式 = 1×0.6－1×x－x · 0.6 + x · x = 0.6－x－0.6x + x2 = 0.6－1.6x + x2.
(2) 原式 = 2x·x－2x · y + y · x－ y · y = 2x2－2xy + xy－y2 = 2x2－xy－y2.
课堂练习
(3) (x + y)(x2－xy + y2).
解：原式 = x · x2－x · xy + xy2 + x2y－xy2 + y · y2 = x3－x2y + xy2 + x2y－xy2 + y3 = x3 + y3.
2.1.4 多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
湘教版数学七年级下册
教学目标
1.在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多 项式乘法运算. 2.经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式 相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过 程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 3.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心. 【教学重点】熟悉多项式与多项式乘法法则. 【教学难点】理解多项式与多项式相乘的算理.
七年级数学下册2、1、4多项式的乘法第2课时多项式与多项式相乘习题新版湘教版
(1)若A＝x－2，B＝x＋3，则B是否是A的“友好多项式”？ 请说明理由； 解：B是A的“友好多项式”． 理由如下：(x－2)(x＋3)＝x2＋3x－2x－6＝x2＋x－6， x2＋x－6的项数比A的项数多不超过1项， 则B是A的“友好多项式”．
(2)若A＝x－2，B是A的“特别友好多项式”， ①请举出一个符合条件的二项式B＝ __x_＋__2_(_答__案__不__唯__一__)_．
XJ版七年级下
第2章 整式的乘法
2．1.4 多项式的乘法 第2课时 多项式与多项式相乘
提示：点击 进入习题
1B 2C 3D 4C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5B 6C 7C 8A
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提示：点击 进入习题
9B
10 A
11 2
12 见习题
答案显示
13 见习题 14 见习题 15 见习题 16 见习题
提示：点击 进入习题
17 见习题
(2)已知等式(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，请你画出一个相 应的几何图形加以说明(仿照图①和图②画出图形即 可)．
【点拨】画出两邻边长分别为x＋1和x＋3的长方形， 利用数形结合进行解答．
解：(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3， 相应的几何图形如图所示．
14．计算：3(2x－1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)．
*10.用下列各式分别表示图中阴影部分的面积，其中表示 正确的有( ) ①at＋(b－t)t； ②at＋bt－t2； ③ab－(a－t)(b－t)； ④(a－t)t＋(b－t)t＋t2. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】如图①所示，阴影部分的面积为at＋(b－t)t， 故①正确；如图②所示，阴影部分的面积为at＋bt－ t2，故②正确；如图③所示，阴影部分的面积为ab－ (a－t)(b－t)，故③正确；如图④ 所示，阴影部分的面积为 (a－t)t＋(b－t)t＋t2，故④正确． 【答案】A
多项式的乘法与因式分解
多项式的乘法与因式分解多项式是代数学中一种重要的数学对象，它经常用于描述数学模型、函数关系以及解决实际问题。
多项式的乘法和因式分解是解决多项式相关问题的基本操作。
本文将介绍多项式的乘法和因式分解的基本概念、方法和应用。
一、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘得到一个新的多项式。
多项式的乘法可以通过分配律和合并同类项的原则来实现。
例如，考虑两个多项式的相乘：(2x+3)(x+5)根据分配律，可以展开该式子：2x(x+5) + 3(x+5)再根据合并同类项的原则，得到最终的乘积表达式：2x^2 + 10x + 3x + 15简化表达式，得到最终的结果：2x^2 + 13x + 15多项式的乘法除了基本的分配律和合并同类项的操作外，还可以应用更复杂的技巧，如使用卡特兰恒等式、配方法等来实现乘法操作。
这些技巧可以在解决多项式乘法相关问题时起到重要的作用。
二、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，每个乘积都是一个因子。
多项式的因式分解在求解多项式的根、化简表达式以及解决实际问题时都有重要的应用。
在因式分解中，常见的因式包括常数因子、一次因子和二次因子。
具体的因式分解方法包括公因式法、配方法、分组法和特殊公式法等。
1. 公因式法公因式法是通过提取多项式中的公因子来进行因式分解的方法。
如果一个多项式中的每一项都有一个相同的因子，那么可以将这个公因子提取出来。
例如：8x^2 + 12x = 4x(2x + 3)2. 配方法配方法是通过将多项式中的某些项进行配对，再进行因式分解的方法。
通过合理选择配对的方式，可以将原多项式分解为若干个乘积的形式。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)3. 分组法分组法是通过将多项式中的项进行分组，再进行因式分解的方法。
通过合理分组，可以将原多项式分解为若干个乘积的形式。
例如：x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^3 + x^2) + (2x + 2) = x^2(x + 1) + 2(x + 1) = (x^2 + 2)(x + 1)4. 特殊公式法特殊公式法是通过运用特殊公式进行因式分解的方法。
七年级关于多项式的知识点
七年级关于多项式的知识点多项式是初中数学的重要内容之一，是代数学的基本概念之一，包含了很多重要的知识点。
在初中阶段，学生需要了解多项式的定义、基本性质、加减乘除运算以及一些解多项式的基本方法。
本文将细致讲解关于多项式的知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、多项式的定义多项式是由称为“项”的式子相加或相减而得到的代数式，其中每一项又由常数乘上一个或多个变量的乘积构成。
具体的定义可表示为：$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$$其中，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$ 是已知的任意定值，称为多项式的系数；$x$ 则是多项式的未知数，称为变量；$x^n,x^{n-1},...,x,x^0$ 是 $x$ 的各次幂，称为各项式的项次。
例如，$2x^3-3x^2+5x-7$ 就是一个三次多项式，其中各项的系数分别为 2，-3，5 和 -7。
二、多项式的基本性质(1) 多项式加法的性质多项式加法是指将两个多项式相加，将它们各项次相同的项相加，不同项次的则不加，最终得到的结果就是一个多项式。
例如，$(2x^2+3x+1)+(x^2-2x+4)=3x^2+x+5$。
其中，左边的式子是两个二次多项式相加，结果是一个二次多项式。
(2) 多项式乘法的性质多项式乘法是将两个多项式进行乘法运算，然后将各项次相同的项相加，得到的结果就是一个多项式。
例如，$(2x+1)(x-4)=2x^2-7x-4$。
其中，左边的式子是两个一次多项式相乘，结果是一个二次多项式。
(3) 多项式的次数多项式的次数是指多项式中各项式中最高的次数。
例如，$2x^3-3x^2+5x-7$ 的次数是 3。
(4) 多项式的系数多项式的系数是指各项式中的数值，也就是常数 $a_i$，$i=0,1,2,...,n$。
例如，$2x^3-3x^2+5x-7$ 的系数分别是 2，-3，5 和 -7。
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= x2-6x+9.
2. 计算： （1）(x+2y) ； （2）(m-2n)(2m+n)； （3）(3a+2b)(3a-2b)； （4）(3a-2b)2.
2
解（1）(x+2y)2 = x2+4xy+4y2
（2） (m-2n)(2m+n) = 2m2-3mn-2n2 （3） (3a+2b)(3a-2b) = 9a2-4b2 （4）(3a-2b)2
（3） (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab+b2
练习
1. 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）(3a-b)(2a+b)=3a · 2a+(-b)·b = 6a2-b2；
答：不对，错在“漏乘”. 正确答案为：6a2+ab-b2.
（2）(x+3)(1-x)=x ·1+x· x+3-3· x= x2 -2x+3.
本课内容 本节内容 2.1
整式的乘法
——2.1.4 多项式的乘法
问题 & 探索
(a+b)(m+n)
am
bm m
m+n
= am
am
+ an + bm + bn
a+b
an
+
bm
an
bn
n
+
+
bn
问题 & 探索
2
1 1
2 3 4
(a+b)(m+n)= am+an +bm+bn
3 4
多项式的乘法法则：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= 9a2-12ab+4b2.
中考 试题
例1
计算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2).
解析
原式 = a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a = 5a-6.
活动& 探索
2 填空： 5 x __ 6 ( x 2)(x 3) x __
( x 2)(x 3) x __ __ 1 x (-6) 2 ( x 2)(x 3) x (-1) __ x (-6) __ 2 6 ( x 2)(x 3) x (-5) __ x __
（3）(x+a)(x+b) 解 (x+a)(x+b) = x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x +ab
例 计算： （1）(a+b)(a-b)； （2）(a+b) ； （3）(a-b)2.
2
解（1）(a+b)(a-b) = a2-ab+ba-b2 = a2-b2 （2） (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2
2
观察上面四个等式，你能发现什么规律？ 你能根据这个规律解决下面的问题吗？
口答：
ab (a b) x _____ ( x a)(x b) x _____
2
（－ 2） （－ 35） ( x－7)( x＋5) x __ x __
2
小结：
1.运用多项式的乘法法则时，必须做 到不重不漏. 2.多项式与多项式相乘，仍得多项式. 3.注意确定积中的每一项的符号，多 项式中每一项都包含它前面的符号， “同号得正，异号得负”. 4.多项式与多项式想乘的展开式中， 有同类项要合并同类项.
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
例 计算： （1）(2x+y)(x-3y)； （2）( 2x+1)(3x -x-5)； （3）(x+a)(x+b).
2
（1） (2x+y)(x-3y)
解
(2x+y)(x-3y)
= 2x ·x + 2x · (-3y)+ y · x+y· (-3y) = 2x2-6xy+yx-3y2 = 2x2-5xy-3y2
（2） ( 2x+1)(3x -x-5)； 解 (2x+1)(3x -x-5) = 6x -2x –10x+3x -x-5 = 6x3 + x2-11x - 5．
3 2 2 2
2
（3）(x+a)(x+b) 解 (x+a)(x+b)
= x +bx+ax+ab
=x2+(a+b)x +ab
2
第（3）小题的直观意义如图
多项式与多项式相乘，先用一个 多项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加.
它利用了乘法运算的什么性质？
事实上，由代数式运算时，是把m+n看成一个整 体，利用乘法分配律得到a(m+n)+b(m+n)，继续利 用乘法分配律，就得到结果am + an + bm+bn.
• 归纳得出:
多项式与多项式相乘,先用一个多 项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再 把所得的积相加. ( a+b) (m+n) = a (m+n) +b (m+n) = am+an+bm+bn
答：不对. 正确答案为：-x2-2x+3
2. 计算： （1）(x-2)(x+3)； （2）(x+1)(x+5)； （3）(x+4)(x-5)； （4）(x-3)2.
解（1）(x-2)(x+3) = x2+x-6
（2）(x+1)(x+5) = x2+6x+5 （3）(x+4)(x-5) = x2-x-20 （4） (x-3)2