概率与分布列
概率及分布列.
六.平均(非平均分组问题除法策略例6.(1 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?(2将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法?(3某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为______七.元素相同问题隔板策略例七.有10个相同的球,分给7个不同的盒子,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案?练习:1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法?2. x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数.3.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解的组数八.实际操作穷举(着色策略例八.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有____ 种?2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有____种.九.定序问题倍缩(空位、插入策略例9.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法练习:10人身高各不相等,排成前后两排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法十.排列组合混合问题先选后排策略例11.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种1、设ξ是服从二项分布B(n,p的随机变量,又E(ξ=15,D(ξ=454,则n与p的值为(A.60,34B.60,14C.50,34 D.50,142、已知袋中装有6个白球、2个黑球,从中任取3个球,则取到白球个数ξ的期望E(ξ=(A.2B.5928 C.6128 D.943、已知随机变量X的分布列为:则E(6X+8等于____.4、已知随机变量ξ的分布列如下:其中a,b,c成等差数列,若E(ξ=13,则D(ξ的值是____.5、设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k= ck(k+1,k=1,2,3,c为常数,则P(0.5<ξ<2.5=____.6、随机变量ξ的分布列如下:则:(1x=____;(2P(ξ>3=____;(3P(1≤ξ<4=____.7、设p为非负实数,随机变量X的概率分布列为:则EX的最大值为____;DX的最大值为____.8、某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X.9、某次选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答一、二、三轮的问题的概率分别为45,35,25,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1求该选手被淘汰的概率;(2该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望10、从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛.(1求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率;(2设ξ为参加辩论比赛的女生人数,求ξ的分布列及数学期望.11、某商店储存的 50 个灯泡中,甲厂生产的灯泡占 60%,乙厂生产的灯泡占40%,甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%,乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%.(1若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等,则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?(2若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等,这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ,求E(ξ的值.12、已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为—,某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该次实验是失败的.(1第一小组做了3 次实验,记该小组实验成功的次数为X,求X 的概率分布列及数学期望;(2第二小组进行实验,到成功了4 次为止,求在第4 次成功之前共有 3 次失败的概率.13、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.(1求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;(2求中奖人数ξ的分布列及数学期望E(ξ.14、一个袋中装有6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1若从袋中每次随机抽取1 个球,有放回的抽取2 次,求取出的两个球编号之和为6 的概率;(2若从袋中每次随机抽取2 个球,有放回的抽取3 次,求恰有2 次抽到6 号球的概率;(3若一次从袋中随机抽取3 个球,记球的最大编号为X,求随机变量X 的分布列.。
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
分布列计算公式
分布列计算公式分布列是概率论中的一个重要概念，特别是在高中数学的概率统计部分经常会用到。
那咱们就来好好聊聊分布列计算公式。
在学习分布列的时候，我想起曾经教过的一个学生小明。
小明这孩子特别聪明，但是对于分布列的计算一开始总是有点迷糊。
咱们先来说说啥是分布列。
简单来说，分布列就是把随机变量的所有可能取值以及对应的概率都罗列出来。
比如说，扔一个骰子，随机变量 X 表示骰子的点数，那么 X 就可能是 1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率就是 1/6，这就是一个简单的分布列。
那分布列的计算公式是啥呢？一般来说，如果随机变量 X 有 n 个可能的取值 x1, x2,..., xn，对应的概率分别是 p1, p2,..., pn，那么这个分布列就可以写成 P(X = xi) = pi （i = 1, 2,..., n）。
这里要注意，所有的概率 pi 之和必须等于 1 ，这是个关键的点哦！咱们就拿小明做过的一道题来说吧。
有一个抽奖活动，盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机抽取 3 个球，设随机变量 X 表示抽到红球的个数，求 X 的分布列。
首先，X 可能的取值是 0、1、2、3 。
当 X = 0 时，也就是一个红球都没抽到，概率就是从 3 个白球中选3 个的组合数除以从 8 个球中选 3 个的组合数。
当 X = 1 时，就是抽到 1 个红球 2 个白球，这时候就要算从 5 个红球中选 1 个，从 3 个白球中选 2 个的组合数，然后除以从 8 个球中选 3 个的组合数。
以此类推，算出 X = 2 和 X = 3 时的概率。
在这个过程中，小明一开始总是弄混组合数的计算，不是少乘了个系数，就是分母的总数搞错了。
我就一遍遍地给他讲，还让他自己多动手算几遍。
通过这道题，小明终于搞清楚了分布列计算公式的运用。
其实啊，分布列的计算就是要细心，把每种情况都考虑清楚，按照公式一步一步来，可不能马虎。
再比如说，在一个班级里，随机抽取学生参加比赛，设随机变量 Y 表示被抽取的男生人数。
高中理科数学各类型 概率统计、分布列解答题
高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ． 附：（其中为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度． 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度 分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
分布列知识点与应用举例
分布列知识点与应用举例分布列是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了一组可能值的出现概率。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的概率分布，并使用它们来描述和解决各种问题。
下面是一些常见的概率分布及其应用的举例。
1.二项分布二项分布是最常见的概率分布之一，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在实际应用中，二项分布经常被用来描述二元事件的概率，比如投硬币、赌博、产品缺陷等。
举个例子，假设一个投硬币游戏中硬币正面的概率为0.5，现在进行了100次投掷，我们想知道正面出现60次的概率。
这个问题可以用二项分布来解决。
2.正态分布正态分布又称为高斯分布，它是概率论中最重要的概率分布之一，也是自然界和社会现象中许多变量的分布模型。
正态分布的概率密度函数呈钟形，对称地分布在平均值周围。
在实际应用中，正态分布经常被用来描述连续型变量的分布，如身高、体重、考试分数等。
举个例子，假设一些班级的考试分数服从正态分布，平均分数为80分，标准差为10分，我们想知道成绩在70分至90分之间的学生所占的比例。
这个问题可以用正态分布来解决。
3.泊松分布4.指数分布指数分布是一种连续型的概率分布，描述了独立均匀分布的随机变量第一次成功所需时间的概率分布。
指数分布的概率密度函数随着时间的增长而减小。
在实际应用中，指数分布经常被用来描述一些随机事件的持续时间，如等待时间、故障间隔时间等。
举个例子，假设一些网站的平均用户等待时间为5分钟，我们想知道一个用户等待时间小于10分钟的概率。
这个问题可以用指数分布来解决。
总之，概率分布在实际应用中有着广泛的应用。
通过了解和应用不同的概率分布，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
以上只是一些常见的概率分布及其应用的举例，实际应用中还有很多其他的概率分布，每个分布都有其自身的特点和适用领域。
高中数学 概率与分布列归类(学生版)
高中数学 概率与分布列归类目录【题型一】 超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】超几何分布型分布列总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，m=0,1,2⋯,k，其中k为M与n的较小者，Pξ=m=C m M C n-mN-MC n N，称ξ服从参数为N,M,n的超几何分布，记作ξ~H N,M,n，此时有公式Eξ=nM N。
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-kN-MC n N，k=m，m+1，m+2，⋯，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_.E(X)=np.1(2023·湖北·模拟预测)某区域中的物种P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i (i =1,2,⋯,20).设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N ，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E (X i +X j )=E (X i )+E (X j )，D (X i +X j )=D (X i )+D (X j )；(ⅰ)证明：E (X )=E (X 1)，D (X )=120D (X 1)；(ⅱ)该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i (i =1,2,⋯,20).数据x i (i =1,2,⋯,20)的平均值x=40，方差s 2=1.176.采用x和s 2分别代替E (X )和D (X )，给出M ，N 的估计值.2(23·24高三上·江苏南通·阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X 个红球，则分得X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.3(2024·广东广州·二模)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据x i,y i(i=1,2,⋯,20)，其中x i，和y i，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得∑20i=1x i-x2=80,∑20i=1y i-y2=9000,∑20i=1x i-xy i-y=800.(1)求样本x i,y i(i=1,2,⋯,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=∑ni=1x i-xy i-y∑ni=1x i-x2∑ni=1y i-y2,2≈1.414【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p0<p<1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率pξ=k =C k n p k1-p，称ξ服从参数为n,p的二项分布，记作ξ~B n,p，Eξ=np，D i= n-k k=0,1,2,⋯,nnpq.1(2024·云南昆明·一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,⋯,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.2(2024·全国·模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A ，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B ，求P B A ，P B ；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．3(2023·广东肇庆·二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X .(1)当n =6时，求P X ≤2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望E Y 和方差D Y 均存在，则对任意正实数a ，有P Y -E Y <a ≥1-D Ya 2.根据该不等式可以对事件“Y -E Y <a ”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.【题型三】正态分布型(1)若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为f x =12π⋅σe -x -μ22σ2，x ∈R (其中μ,σ是参数，且σ>0，-∞<μ<+∞)。
概率与分布列
概率、随机变量与分布列1，学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()E X.2.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.3.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.4.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望5.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).6.（2012年高考（广东理））某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.7.（2010广东理数）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．8.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
常见离散型随机变量分布列示例
常见随机事件的概率与分布列示例1、耗用子弹数的分布列例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P 0.9 0.09 0.009 0.0001说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，541.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然，5=ξ还有一种算法：即0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．分析：发生事件A的次数()p n B ,~ξ，所以，),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p kn k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住np q )(+与np q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的．3、根据分布列求随机变量组合的分布列例 已知随机变量ξ 的分布列为ξ－2 －1 0 1 2 3P121123 124 121 122 121 分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==的分布列． 解： 由于ξ η 211=对于不同的ξ 有不同的取值x y 21=，即2321,121,2121,021,2121,121665544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ，所以1η 的分布列为1η－121- 021 132 P121123 124 121 122 121 22ξ η =对于ξ 的不同取值－2，2及－1，1，2η分别取相同的值4与1，即2η 取4这个值的概率应是ξ 取－2与2值的概率121与122合并的结果，2η 取1这个值的概率就是ξ 取－1与1值的概率123与121合并的结果，故2η 的分布列为 2η0 1 4 9P124 124 123 121 说明：在得到的1η 或2η 的分布列中，1η 或2η 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．4、成功咨询人数的分布列例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kk k ξ，分布列为ξ 0 1 2 3P641 649 6427 6427说明：次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．5、盒中球上标数于5关系的概率分布列例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．解：分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况．设随机变量为ξ ，它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为P x P ==)(1ξ （取出的球号码小于5）＝105， P x P ==)(2ξ （取出的球号码等于5）＝101， P x P ==)(3ξ （取出的球号码大于5）＝104． 故ξ 的分布列为ξ1x 2x 3xP21101 52小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11=∑=ni ip进行检验．6、求随机变量的分布列例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为ξ3 4 5P101103 106 说明：对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P 所以ξ 的分布列为ξ0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．8、关于取球的随机变量的值和概率例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．解： 设集合},,{321x x x M =，其中1x 为“取到的球为红色的球”，2x 为“取到的球为白色的球”，3x 为“取到的球为黑色的球”． 我们规定：)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ，即当i x x =时，i x =)(ξ，这样，我们确定)(x ξ 就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ∈，而随机变量ξ 本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得ξ 分别取1，2，3三个值的概率，即.2163)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．。
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
概率与分布列
概率与分布列（深圳）17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这个社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这个时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别相关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：解：（1闲方式的概率为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式相关”． ………………………13分（广州）17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）． （温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，能够求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 62(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==. 所以随机变量随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分（揭阳）17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相对应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相对应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率． 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；-------4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----------6分……………………10分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P .则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P .共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ，则A 包含的基本事件有 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分故所求的概率31()155P A ==.-------------------------------------------------12分（东莞）18．（本小题满分14分）甲，乙两人实行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛实行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 解 （1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =．…………………6分 （2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………12分（仲元）9．某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区展开支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师，向乙地派出3名A 校教师和3名B 校教师．因为客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A 校教师派往甲地人数ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E ，有以下两种情况：①互换的是A 校的教师，记此事件为1E ，则1133111563()10C C P E C C =⋅=；②互换的是B 校的教师，记此事件为2E ，则1132211561()5C C P E C C =⋅=．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为12311()()()1052P E P E P E =+=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为2,3,4．113311563(2)10C C P C C ξ==⋅=；11113332111156561(3)2C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=；113211561(4)5C C P C C ξ==⋅=．故ξ的分布列为：数学期望3234102510E ξ=⨯+⨯+⨯=．11． 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（Ⅰ）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．（Ⅱ）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥， 所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），…9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），……10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ．…12分21．（06安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。
概率与分布列
概率与分布列概率与分布列是统计学中非常重要的两个概念。
概率是指某个事件发生的可能性，而分布列则是表示事件发生的可能性分布情况。
在现实生活和科学研究中，我们经常会遇到需要计算概率和分布列的情况，因此掌握这两个概念是必不可少的。
一、概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
其中，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生，而0和1之间的数则表示该事件有一定概率发生。
我们可以通过概率的计算来预测事件的发生情况，从而更好的做出决策。
例如，我们可以通过掷骰子的概率来预测在6次掷骰子中，得到6点的次数有多少。
假设我们用P(x)表示得到x点的概率，那么掷一次骰子得到6点的概率是1/6，即P(6)=1/6。
在6次掷骰子中，得到6点的次数可以是0次、1次、2次、3次、4次、5次或6次，因此我们可以用如下公式计算得到6点的次数的概率分布情况：P(0)=（5/6）^6≈0.33P(1)=6×（1/6）×（5/6）^5≈0.41P(2)=15×（1/6）^2×（5/6）^4≈0.22P(3)=20×（1/6）^3×（5/6）^3≈0.07P(4)=15×（1/6）^4×（5/6）^2≈0.01P(5)=6×（1/6）^5×（5/6）≈0.001P(6)（得到6点6次）≈10^-6可以看出，得到6点的概率最大的情况是1次，其概率为0.41。
而得到6点的概率最小的情况则是6次，其概率非常小，只有10^-6。
二、分布列分布列是指将所有可能的事件及其概率列出来的表格。
在实际生活中，我们经常需要根据分布列来做出决策。
例如，我们可能需要根据某个产品的销售情况来预测未来的销售情况，并决定是否生产更多的产品来满足市场需求。
当我们需要绘制分布列时，通常需要知道每个事件发生的概率以及事件的数量。
例如，我们可以用下表表示掷骰子得到不同点数的概率分布情况：|点数|概率||---|---||1|1/6||2|1/6||3|1/6||4|1/6||5|1/6||6|1/6|在分布列中，我们可以看出掷骰子得到不同点数的概率分布情况，并且可以根据分布列来预测某个事件的发生情况。
分布列公式
分布列公式
分布列公式是EX=np，分布列表示概率在所有的可能发生的情况中的分布。
A、B、C、D分别表示四个不同的事件，P为对应的概率，（0≤p≤1）对于任意一个分布列，所有概率之和为1，也写作100%。
概率亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。
该常数即为事件A出现的概率，常用P(A)表示。
分布列概率公式
分布列概率公式好的，以下是为您生成的关于“分布列概率公式”的文章：咱先来说说啥是分布列概率公式哈。
简单来讲，这玩意儿就是在概率学里头帮咱们搞清楚各种可能情况出现的概率到底是多少的工具。
就拿我之前教过的一个班来说吧。
有次课堂上，我让同学们做一个小游戏，就是扔骰子。
咱假设骰子六个面分别标着1 到6 这几个数字。
那扔一次骰子，出现 1 的概率是 1/6，出现 2 的概率也是 1/6，以此类推。
这其实就是最简单的一种概率分布。
那分布列概率公式到底咋用呢？比如说，有个抽奖活动，奖券号码从 1 到 100，只有抽到特定的几个号码才能中奖。
那咱们就得算算每个号码中奖的概率是多少，这时候分布列概率公式就派上用场啦。
咱再深入一点，假如说有个袋子，里面装着红、蓝、绿三种颜色的球，红球有 3 个，蓝球 2 个，绿球 1 个。
那从袋子里随机摸一个球，摸到红球的概率就是 3/6，摸到蓝球的概率是 2/6，摸到绿球的概率是1/6。
如果咱们把这些概率整理成一个表格，这就是一个简单的分布列。
其实在生活里，分布列概率公式的应用可多了去了。
就像买彩票，虽然中奖的概率低得可怜，但咱也能通过这个公式大概算算自己的“幸运指数”。
还有像考试的时候，蒙个选择题，ABCD 四个选项，每个选项正确的概率理论上都是 1/4。
再比如说，学校组织运动会，报名参加跑步比赛的同学有 10 个。
其中小明平时跑步速度特别快，他夺冠的可能性比较大，咱们假设他夺冠的概率是 0.3，其他同学夺冠的概率分别是 0.1、0.15 等等。
这也能弄出个概率分布列来。
回到学习上，同学们刚开始接触这个分布列概率公式的时候，可能会觉得有点头疼，这很正常。
就像当初我学的时候，也迷糊了好一阵子。
但只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能搞明白了。
比如说，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个白球，3 个黑球，每次随机取出一个球，不放回，求取到白球和黑球的概率分布。
这时候咱们就得好好想想了，第一次取到白球的概率是 5/8，取到黑球的概率是 3/8。
第1讲 概率、随机变量及其分布列
1．(2020·开封市模拟考试)为应对新冠肺炎疫情，许多企业在
非常时期转产抗疫急需物资．某工厂为了监控转产产品的
质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有
放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率
为
()
A．0.998 816
B．0.999 6
C．0.057 624
D．0.001 184
重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝
20 64
＝
5 16
.
故选A.
[答案] A
返回
解题方略
古典概型的概率公式 P(A)＝mn ＝A中所基含本的事基件本总事数件数.
返回
[跟踪训练]
1．(2020·济南模拟)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运
行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征
返回
2．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反
面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是________，“至少
有2枚反面朝上”的概率是________．
解析：列举基本事件如下：(正，正，正)，(正，正，
反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，
正，反)，(反，反，正)，(反，反，反，)，共8个，“恰
2.离散型随机变量及其分布列 (1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及 其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性； (2)了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重 复试验的模型及二项分布，理解超几何分布及其导出过程，并 能解决一些简单的实际问题； (3)理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算 简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； (4)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
概率统计与分布列计算
概率统计与分布列计算概率统计是数学统计的一个重要分支，用来研究随机现象发生的规律性。
在概率统计中，常用到的一个重要概念是概率分布。
概率分布是指随机变量取各个取值的概率，并且这些概率之和为1、概率分布可以分为离散分布和连续分布两种类型。
首先，我们来介绍离散概率分布。
离散概率分布指的是随机变量只能取到一些特定的值，而不能取到其它的值。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
伯努利分布是最简单的离散分布，它只有两个取值，常用来描述只有成功和失败两种结果的随机试验。
记随机变量X取值为1表示成功，取值为0表示失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
则伯努利分布的概率分布列为：P(X=x)=p^x(1-p)^(1-x)，其中x=0或1二项分布是多次独立重复进行伯努利试验的概率分布。
记随机变量X为n次试验中成功的次数，则二项分布的概率分布列为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中取k次成功的组合数。
泊松分布是描述单位时间或单位空间中事件发生的次数的概率分布。
如果一个事件在单位时间内或单位空间中发生的次数近似服从泊松分布，那么该事件的平均发生率就是泊松分布的参数。
泊松分布的概率分布列为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中λ为平均发生率，k为随机变量X的取值。
除了离散概率分布外，还有连续概率分布。
连续概率分布指的是随机变量可以取任意的实数值。
常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
均匀分布是最简单的连续分布，其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，其中a为随机变量X的最小取值，b为最大取值。
正态分布也称为高斯分布，是自然界中许多现象呈现的分布。
f(x)=(1/(σ√(2π)))·e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为平均数，σ为标准差。
指数分布用于描述事件发生的时间间隔，其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，其中λ为事件发生率。
概率及其随机变量的分布列讲义
概率、随机变量及其散布列1．概率（ 1）认识随机事件发生的不确立性和频次的稳固性，认识概率的意义，认识频次与概率的差别。
（ 2）认识两个互斥事件的概率加法公式。
（ 3）理解古典概型及其概率计算公式。
（ 4）认识几何概型的意义。
（ 5）认识条件概率。
2．两个事件互相独立， n 次独立重复试验（ 1）认识两个事件互相独立的观点；（ 2）理解 n 次独立重复试验的模型并能解决一些实质问题； 3．失散型随机变量及其散布列（ 1）理解取有限个值的失散随机变量及其散布列的观点。
（ 2）理解二项散布，并解决一些简单问题。
4．失散型随机变量的均值、方差（ 1）理解取有限个值的失散型随机变量的均值、方差的观点；（ 2）能计算简单失散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实质问题。
【中心重点打破】重点考向 1：古典概型考情聚焦： 1． 古典概型是高考重点考察的概率模型，常与计数原理、摆列组合联合起来考察。
2． 多以选择题、填空题的形式考察，属简单题。
考向链接： 1． 有关古典模型的概率问题，重点是正确求出基本领件总数和所求事件包括的基本领件数，这经常用到计数原理与摆列、组合的有关知识。
2． 在求基本领件的个数时，要正确理解基本领件的组成，这样才能保证所求事件所包括的基本领件数的求法与基本领件总数的求法的一致性。
3． 关于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。
例 1：从 {1,2,3,4,5} 中随机选用一个数为a ，从{1,2,3} 中随机选用一个数为b ，则 b>a的概率是（）（A ）4(B)3 （C ）2(D)1 5555【命题立意】本题考察古典概型，娴熟掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的重点。
【思路点拨】先求出基本领件空间包括的基本领件总数n ，再求失事件“ b a ”包括的基本领件数 m ，从而( ) m。
P A n【规范解答】 选 D 。
{( a,b) | a {1,2,3,4,5}, b {1,2,3}} ，包括的基本领件总数n 15。
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课题概率与分布列
一、知识要点：
1．古典概型，几何概型，以排列、组合为基础的概率问题，
2．互斥事件、相互独立事件，n 次独立重复事件，统计知识求概率及分布列
3．超几何分布，二项分布问题，与统计相结合的分布问题，与独立事件相关的分布问题
二、典型例题
（一）相互独立事件的概率问题
例1.某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加,否则都不参加．设每人成绩合格的概率都
是2
3
，求：
（1）三人中至少有1人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数η的分布列和数学期望．
练习：
1.甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为0.7 ,每人各投篮3次，每人恰好都投中2次的概率是多少？
2.加工某种零件经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为
9
10
、
8
9
、
7
8
，且各道工序互不影响，
（1）求该种零件的合格率；
（2）从该种零件中任取3件，求恰好取到1件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率；（二）二项分布问题
例2．检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级．每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格．设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立．根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气
质量为A、B、C三级的频率依次为
3
4
，
1
8
，
1
8
.
(1)在该市的教室中任取一间，估计该间教室空气质量合格的概率；
(2)如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为X，并以空气质量为A 级的频率作为空气质量为A级的概率，求X的分布列及期望值．
练习：
1.甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率为
2
3
，乙胜的概率为
1
3
.
(1)若采取3局2胜制，求选手甲获胜的概率；
(2）若采取5局3胜制，求选手甲获胜的概率；
(3)若采取5局3胜制，且已知甲已输掉第一局的情况下，甲最终获胜的概率.
2．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）ξξ
用表示需要补种的坑数,求的分布列
（三）超几何分布
例3.从4名男生和2名女生中，任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数；
（1）求ξ的数学期望；（2）求所选3人中女生人数1
ξ≤的概率；
（四）综合运用
例4.(2010·湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．
练习：（本小题满分12分）某班同学利用寒假进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.
（五）实际运用
例5.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.。