人教版数学教材全解
初中数学人教版9年级上册教材全解
第二十一章一元二次方程【抛砖引玉】韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达的小传韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了“代数学之父”之称.他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著.韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.下面是关于韦达的一则趣事：韦达的“魔法”在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。
可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”.原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权.另外，韦达还设计并改进了历法.所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底.【先睹为快】本章主要包括一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法及一元二次方程的实际应用三个知识点.主要学习用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，根的判别式以及根与系数的关系，用一元二次方程来解决实际问题.【众说纷纭】老师：怎样才能学好一元二次方程？学生1:我认为，一元二次方程与前面学过的一元一次方程、二元一次方程组很类似，几元就是指几个未知数，几次就是指未知数的次数是几.只要前面这两种方程学好了，学一元二次方程就简单了.学生2:你们知道什么是方程根吗?告诉大家，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根.一元二次方程的根就是使这个一元二次方程左右边相等的未知数的值.学生3:那一元二次方程根的情况是有时有两个根，有时没有实数根吧?老师：你们理解的对.但是我们要注意一点，一元二次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的最高次数是2，三是整式方程.学生1:知道怎么解一元二次方程吗？有三种方法哦，一是配方法、二是公式法，三是因式分解法.学生2:是啊，是啊，三种方法还适合不同的方程形式，有时运用因式分解法好，有时运用配方法好，这一章要学习的内容还挺有意思的，我们共同来期待吧!21.1 一元二次方程【解读课标】1.理解一元二次方程的概念及一般形式，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 【洞悉课本】知识点1 一元二次方程（重点）一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.友情所示：从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.(2)未知数的最高次数是2,即未知数的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之，是一元二次方程，那么它就一定满足以上三个条件.例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）.A.2210x x +=B.20ax bx c ++= C.(1)(2)1x x -+=D.223250x xy y --=【解题思路】根据一元二次方程的定义, 把一个整式方程经化简后含一个未知数且未知数的最高次数为2就是一元二次方程.A 项分母中含有未知数；B 项中未强调a ≠0；D 项中含有两个未知数；把C 项展开整理为x 2-x-3=0，符合一元二次方程的概念.【答案】C. 【方法归纳】判断一个方程是否为一元二次方程，首先要将方程化简，使方程右边为0，然后观察它是否具备一元二次方程的三个条件：（1）只含有一个末知数，（2）末知数的最高次数是2，（3）整式方程，这三个条件缺一不可. 【举一反三】1.(★)下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ). A.3(x +1)2=2(x +1) B.2112x x+-=0 C.（a -1）x 2+bx +c =0 D.x 2+2x =x 2-1 2. (★★) 方程(m +2)x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则( ).A.m =±2B.m =2C.m =-2D.m ≠±2 知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，可以化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 【友情提示】一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式，它的左边是未知数的二次三项式，且其中a 通常写成大于0的形式，而右边是0.一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.例2 把下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.（1）x（x+6）=5；（2）（x+1）（x-4）=-4；（3）（2x+1）2=4x．【解题思路】首先对三个方程进行适当的整理，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数和常数项.【解】（1）x（x+6）=5，去括号，得x2+6x=5，移项，得x2+6x-5=0．其中二次项系数为1，一次项系数6，常数项-5.（2）（x+1）（x-3）=-4，去括号，得x2-4x+x-4=-4，移项，合并同类项，得x2-3x=0.其中二次项系数为1，一次项系数-3，常数项0.（3）（2x+1）2=-7，去括号，得4x2+4x+1=4x，移项，合并同类项，得4x2+1=0．其中二次项系数为4，一次项系数0，常数项1.【方法归纳】一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b=0；若没有出现常数项c，则c=0.【举一反三】3.(★) 一元二次方程3x2+2x－5=0的一次项系数是．4.(★★)把方程5x（x+1）=2（x+5）2+x2-3化成一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．小强的解题过程如下：解：去括号，得5x2+5x=2（x2+25）+x2-3，移项，得5x2+5x-2x2-50-x2+3=0，合并，得2x2+5x-47=0．所以二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是-47．小强的解题过程有错误吗？若有，请指出错在什么地方，并给出正确的解题过程．知识点3 一元二次方程的解（根）（难点）一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.判定一个数是不是一元二次方程解的方法是：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则这个数是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.友情所示：一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c＝0（a≠0）成立，则m 一定是ax2+bx+c＝0的根.例3 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）.A.1B.﹣1C.0D.无法确定【解题思路】根据一元二次方程根的定义，只要将方程中的未知数换成相应的根，就可以使问题得到解决.据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1.【答案】 B【方法归纳】在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题. 【举一反三】5.(★) 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是___________（只需写出一个方程）6.(★★) 已知a 是方程012=-+x x 的一个根，则aa a ---22112的值为（ ）. AB ．251±- C ．－1D ．1【走出误区】易错点1一元二次方程的概念理解不透彻例1方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）. A ．m =±2 B ．m =2 C ．m =-2 D ．m ≠±2【解题思路】因为方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，所以220.m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得m =2．故选B ．【答案】B【误区分析】错解原因误认为未知数x 的次数是2就可以，忽视了二次项系数m +2≠0这一隐含条件．易错点2 不能准确确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项例2 写出方程3x 2+2x=5二次项系数、一次项系数及常数项. 【解题思路】求一元二次方程的项及各项的系数时，应先把方程化为一般形式后再确定，并注意要带上符号.【解】把3x 2+2x=5化为一般形式为3x 2+2x-5=0，其中二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-5.【误区分析】错解的原因在于未将原方程化为一般形式，忽略了项的系数符号以及混淆了项与项的系数的概念. 【对接中考】【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的判别、一元二次方程的根以及根的应用为主，试题难度不大，属于简单题，且试题的类型通常以选择题、填空题为主. 【中考典例】例 （2016·宜宾）已知2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，则m 的值是 ( ).A ．-3B ．3C ． 0D ．0或3【解题思路】把2=x 代入原方程可得到一个关于m 的一元一次方程，再求解，应选A. 【答案】A ．【方法归纳】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法. 【真题演练】1．（2016•牡丹江★★）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（ ）.A.2018B.2008C.2014D.20122．（2016贵州省黔西南州★★）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab 的值是 ． 【小试身手】1. (★)下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ）. A.02112=-+x xB.()()12132+=+x x C.02=++c bx ax D.122-=+x x x2. (★★)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为（ ）.A ．﹣1B ．0C ．1D ．23. (★)方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4. (★)请你写出一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，这个一元二次方程是 .5. (★★)已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222n mn m ++的值为 ．6. (★★)当m 为何值时，关于x 的方程22(9)(3)20m x m x m -+-+=（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？7. (★★)教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项. 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答. （1）下列式子中，有哪几个是方程2122x x -=所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） . ①21202x x --= ②21202x x -++= ③224x x -= ④2240x x -++= 2323430x x --= （2）方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？【教材习题解答】P （4）1.（1）3x 2-6x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1. 解析: 直接把一次项6x 移到左边即可.（2）4x 2+5x-81=0，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81. 解析:直接把常数项81移到左边即可.（3）x 2+5x=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0. 解析:直接把x(x+5)去括号即可.（4）2x 2-4x+2=0，二次项系数为2，一次项系数为-4，常数项为2. 解析:根据多项式乘以多项式的法则把左边展开：(2x-2)(x-1)=0，得2x 2-4x+2=0.（5）x 2+10=0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10. 解析:把左边去括号，同时右边的5x-10移到左边，合并同类项即可.（6）x 2+2x-2=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2. 解析:左、右两边分别去括号，再把右边的移到左边.(3x-2)(x+1)=x(2x-1)，去括号得3x 2+3x-2x-2=2x 2-x ，移项、合并同类项得x 2+2x-2=0.2.（1）设这个圆的半径为Rm ，由圆的面积公式得3.14R 2=6.28，所以3.14R 2-6.28=0 解析:根据圆的面积公式得到方程.（2）设这个直角三角形较长的直角边为xcm ，由三角形的面积公式得21x(x-3)=9，整理得21x 2-23x-9=0. 解析：直接根据三角形的面积公式构造方程. 3.-4，3 解析: 分别把-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4代入到方程x 2+x-12=0的左边，看是否与右边相等，如果相等，则是原方程的根；若不相等，则它不是原方程的根.4.解析：设长方形的宽为xcm ，则长方形的长是(x+1)cm ，由题意得x(x+1) =132，即x 2+x-132=0.5.解析：设长方形的长为xcm ，则长方形的宽是(0.5-x)cm ，由长方形的面积公式x(0.5-x)=0.06，整理得x 2-0.5x+0.06=0.6.解析:设有x 人参加聚会，根据题意可知(x-1)+(x-2)+…+2+1=10，即102)1(=-x x ，整理得010222=--xx . 7.解析:由题意可知，22-c=0，所以c=4，所以原方程x 2-4=0，所以x=±2，即这个方程的另一个根是-2.21.2 降次----解一元二次方程【解读课标】1.理解并掌握一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，会选择适当的方法解一元二次方程；2.会用b 2-4ac 判断一元二次方程根的情况； 3.理解一元二次方程的根与系数的关系；4.通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想. 【洞悉课本】知识点1 配方法解一元二次方程（难点）配方法就是通过将原方程配成完全平方式来解一元二次方程的方法.配方法的理论依据是完全平方公式.配方法的步骤是：1. 移项：使含未知数的项在左边，常数项在右边；2. 化二次项系数为1：两边同除以二次项系数；3.配方：方程两边都加上一次项系数的一半，写成2()x m n +=的形式；4.求解：利用平方根定义直接开平方（n ＜0无解）.友情所示：（1）配方法是一种很重要的数学方法，但使用起来较复杂，故没有特别说明，一般不使用.但此方法非常重要，以后有着广泛的应用，必须掌握它.（2）运用上面的步骤时，一定要注意先化二次项系数为1，配方时，要注意方程两边都加上一次项系数的一半，不能只加一边.例1 解方程 ：22520x x -+=．【解题思路】根据配方法解题的一般步骤，按照解题步骤一步步来，就可以顺利解出来.【解】移项，得2x 2-5x=2， 二次项系数化为1，得2512x x -=-， 配方，得2225551244x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即259()416x -=，5344x -=±．解得12122x x ==，．【方法归纳】配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案. 【举一反三】1.(★) 用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ）. A.()221x += B.()221x -= C.()229x += D.()229x -= 2. (★★) 配方法解方程x 2－4x ＋1=0知识点2 一元二次方程根的判别式（难点）一般地，式子b 2-4ac 叫做方程20ax bx c ++=(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母△来表示，即△=b 2-4ac.用根的判别式可不用解方程直接判断一元二次方程的根的情况.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 的符号来判定：（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根.友情所示：①应用根的判别式要准确确定a 、b 、c 的值；②根的判别式只适用于一元二次方程.例2 不解方程，判断下列方程根的情况.（1）3x 2+8x=3 （2）x 2+4=4x （3）t 2-t+2=0【解题思路】确定各方程中a 、b 、c 的值，将它们代入△=b 2-4ac.由△的符号确定方程根的情况.【解】(1)原方程可化为3x 2+8x-3=0.∵△=b 2-4ac=82-4×3×（-3）=100＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可化为x 2-4x+4=0.∵△=b 2-4ac=（-4）2-4×1×4=0，∴原方程有两个相等的实数根.（3）∵△=b 2-4ac=（-1）2-4×1×2=-7＜0，∴原方程没有实数根. 【方法归纳】根的判别式是用来判断一元二次方程根的情况的，再应用它来解题时要把方程化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值，最后计算出b 2－4ac 的值. 【举一反三】3.(★)一元二次方程0412=++x x 的根的情况是（ ）. A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定4. (★★)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ).A.a ＜2B.a ＞2C.a ＜2且a ≠1D.a ＜－2 5.(★★)若方程2x kx 9=0++有两个相等的实数根，则k= .知识点3 公式法解一元二次方程（难点）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b-4ac ≥0时，方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可以写为方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）推导过程如下：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0直接开平方，得：x+2b a =±2a ，即x=2b a-∴x 1=2b a -，x 2=2b a-【友情提示】公式法是在配方法的基础上推理得到的方法，公式法使解方程的过程简单化，体现了优化思想.公式法可以称为“解一元二次方程的万能公式”. 例3 用公式法解方程：2314x x -=．【解题思路】将方程整理成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，将它们代入△=b 2-4ac 计算出数值，当b 2-4ac ≥0时，直接代入公式求解.【解】原方程可化为23410x x --=． 因为341a b c ==-=-，，．241612280b ac -=+=>，所以x ==12x x ==．【方法归纳】公式法是解一元二次方程最常用的方法，它的一般步骤是：（1）把方程化成一元二次方程的一般形式，（2）写出方程各项的系数，（3）计算出b 2-4ac 的值，看b 2-4ac 的值与0的关系，若b 2-4ac ＜0，则此方程没有实数根， 当b 2-4ac ≥0时， 代入求根公式计算出方程的根.【举一反三】6.(★) 方程2x 2＋5x －3＝0的解是 .7.(★★)解下列方程:（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0 （3）2314x x -=．知识点4 因式分解法解一元二次方程（重点）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.友情所示：分解因式法是解一元二次方程较简洁的方法，关键是化方程右边为0，左边能分解因式.但使用起来有一定的局限性，一般方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，当c=0时用因式分解法比较简单.例4 解方程：（1）x 2-12x=-36 （2）)32(4)32(2+=+x x【解题思路】 (1)移项后用完全平方公式分解因式；（2）先把方程右边的代数式移到左边，使右边为0，再把左边进行因式分解.【解】（1）移项，得x 2-12x+36=0，所以（x-6）2=0，即x 1=x 2=6. （2）移项，得0)32(4)32(2=+-+x x ，因式分解，得 0)432)(32(=-++x x . 于是0)432(0)32(=-+=+x x 或，所以21,2321=-x x 【方法归纳】因式分解法是最简单的解一元二次方程的方法，它的一般步骤是：（1）移项，使方程的右边为0；（2）利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式等对左边进行因式分解；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【举一反三】8.(★) 方程x （x-2）+x-2=0的解是（ ）. A.2 B.-2，1 C.－1 D.2，－19.(★★) 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=；②2(1)3x -=；③230x x -=；④224x x -=．知识点5 一元二次方程根与系数的关系（选学） 探索一元二次方程根与系数的关系我们知道方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的两根是：x 1=，x 2=2b a-则x 1+x 2=2b a -+2b a-=-22bb a a =-，x 1·x 2=2b a -·2b a-22244b b ac ca a -+==. 规律：x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=ca称为一元二次方程根与系数. 有关根与系数的关系的两个重要推论：（1）以x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）的是x 2-（x 1+x 2）x+x 1·x 2=0.（2）如果方程x 2-px+q=0的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q. 友情所示：只有在方程有根即△= b 2-4ac ≥0的前提下，才有x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a. 例5已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（ ）.A.b=﹣1，c=2B.b=1，c=﹣2C.b=1，c=2D.b=﹣1，c=﹣2【解题思路】根据根与系数的关系，由方程的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，即可求得b 与c 的值．【解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，∴x 1+x 2=b=1+（﹣2）=﹣1，x 1•x 2=c=1×（﹣2）=﹣2，∴b=﹣1，c=﹣2．故选D ．【方法归纳】若x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，则x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q ；本题也可以利用根的定义，把x 1，x 2分别代入方程，得到b 、c 的方程组进行求解. 【举一反三】 10.(★) 若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-7x +4=0的两根，则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是（ ）. A ．-72，-2 B ． -72，2 C ．72，2 D ．72，-2 11.(★★) 已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两个实数根，则2112x x x x +的值等于（ ）. A ． 6 B ．－6 C ．10 D ． －1012.(★★)（1）新人教版初中数学教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-⋅=．根据这一性质，我们可以求出已知方程关于12,x x 的代数式的值．例如：已知12,x x 为方程2210x x --=的两根，则12x x += ，12x x ⋅= ．那么()2221212122x x x x x x +=+-= ．请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n--= 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1． （3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n +的值．【走出误区】易错点1 配方法时出错例1用配方法解方程x 2-2x-8=0【解题思路】配方法通常将一元二次方程ax 2+bx+c=0，化为02=++acx a b x 后，再进行配方．要注意是方程的两边．．．．．同时加上一次项系数一半的平方，最后化成n m x =+2)(的形式，求出解即可.【答案】移项，得x 2-2x=8，x 2-2x+1=8+1 即(x-1)2=9,两边开平方，得x-1=±3 ∴x 1=4，x 2=-2．【误区分析】错解的原因在于只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而方程的右边忘了加.易错点2 用公式法时出错例2用公式法解方程4722=+x x ．【解题思路】运用公式法解一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式，计算出“△”的值，最后代入公式即可.【答案】移项，得：04722=-+x x ，因为a=2,b=7,c=-4 所以b 2-4ac=49-4×2×(-4)=81，所以794x -±==． 即12142x x =-=，．【误区分析】错解的原因在于没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误．易错点3 解方程时约分造成失根致错例3 解方程（2x-3）2=3（2x-3）.【解题思路】本题方程的两边都含有（2x-3）这个相同的因式，两边不能直接除以（2x-3），要通过移项，借助因式分解来解决.【答案】移项，得：（2x-3）2-3（2x-3）=0，因式分解，得：（2x-3）（2x-3-3）=0，所以2x-3=0或2x-6=0，即12332x x ==，． 【误区分析】错误的原因是变形不属于同解变形，方程两边都除以)32(-x 时，没有考虑)32(-x 也可以为0，从而丢掉了23=x 这个根． 易错点4 忽视根的情况致错例4 当a 取何值时，关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211？【解题思路】求关于方程两根的问题时，借助于根与系数的关系，并要考虑二次项的系数不等于零，且根的判别式大于或等于零.本题是有两个不相等的实根1x 、2x ，故△＞0，同时注意二次项系数不能为0.【答案】因为方程有两个不等的实根，所以a ≠0，且)1(24)]13([2+⨯⨯-+-=∆a a a =2)1(-a ≥0，所以a ≠1，因为两实根为1x 、2x ，所以aa x x a a x x )1(2,132121+=⋅+=+，所以a aa a a -=+-+1)1(213，解得1±=a ，因为a ≠1，所以1-=a ． 【误区分析】忽视题目中的两个不相等实根的条件，其实1-=a 时方程有两个相等的实数根．【对接中考】 【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况以及根的判别式的应用为主，同时有根与系数的关系的简单应用，试题难度中等，属于中等难度题，且试题的类型通常以选择题、填空题、解答题为主. 【中考典例】例1（2013白银）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a★b=a 2﹣3a+b ，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x 的值是 ．【解题思路】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x 的值.根据题中的新定义将x ★2=6变形得：x 2﹣3x+2=6，即x 2-3x-4=0，因式分解得：（x-4）（x+1）=0，解得：x 1=4，x 2=-1，则实数x 的值是-1或4． 【答案】-1或4．【方法归纳】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．例2(2013贵州省六盘水）已知关于x的一元二次方程（k -1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.A.k ＜﹣2B.k ＜2C.k ＞2D.k ＜2且k≠1【解题思路】根据题意得：△=b 2-4ac=4-4（k-1）=8-4k ＞0，且k-1≠0，解得：k ＜2，且k≠1． 【答案】D【方法归纳】求一元二次方程方程中字母的取值范围内，要根据方程根的情况，借助根的判别式的值，列出关于所求字母的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的字母的取值范围．例3 （2013湖北省鄂州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0的两个解，若（m-1）（n-1）=-6，则a 的值为（ ）. A.-10 B.4 C.-4 D.10【解题思路】利用根与系数的关系表示出m+n 与mn ，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n 与mn 的值代入即可求出a 的值.根据题意得：m+n=3，mn=a ，∵（m-1）（n-1）=mn-（m+n ）+1=-6，∴a-3+1=-6，解得：a=-4． 【答案】C.【方法归纳】此类题目需先求出两根之和，两根之积，然后代入所给式子求出字母的值.熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.例4（2013四川省乐山）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值． 【解题思路】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k ，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k ，AC=k+1，当AB=BC 或AC=BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值.（1）【证明】∵△=（2k+1）2﹣4（k 2+k ）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；（2）【解】一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+k=0的解为x=2112k +±，即x 1=k ，x 2=k+1， 当AB=k ，AC=k+1，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+1，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k 的值为5或4．【方法归纳】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【真题演练】1．（2013四川省成都★）一元二次方程220x x +-=的根的情况是（ ）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根 2．（2013湖北天门、潜江★）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）. A.-1 B.9 C.23 D.27 3．（2013•四川绵阳★★）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 .【小试身手】1. (★) 一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）.。
新人教版七年级数学上册第2章整式的加减复习教材全解(重难点、例题解析)
新人教版七年级数学上册第2章整式的加减复习教材全解（重难点、例题解析）复习内容：列式表示数量关系、单项式、多项式、整式等有关概念以及整式加减运算．复习目标：1．知识与技能进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念，准确确定单项式的系数、次数、多项式的项、次数；理解同类项概念，掌握合并同类项法则和去括号规律，熟练地进行整式加减运算．2．过程与方法通过回顾与思考，帮助学生梳理本章内容，提高学生分析、归纳、语言表达能力；提高运算能力及综合应用数学知识的能力．3．情感态度与价值观培养严谨的学习态度和积极思考的学习习惯，通过列式表示数量关系，体会数学知识与实际问题的联系．一、本章知识结构框架图二、易错知题分析误区一书写不规范致误例1 用代数式表示下列语句：（1）比x 与y 的和的平方小x 与y 的和的数 （2）a 的2倍与b 的31的差除以a 与b 的差的立方。
错解（1）（22y x +）－（x+y ） （2）（2a-1/3b ）÷(x+y)剖析：（1）要表示的是“比x 与y 的和的平方小x 与y 的和的数”，应该先求和再求平方即应该是)()(2y x y x +-+，而不应该是（22y x +）－（x+y ）。
（2）是书写不规范，除号要用分数线代替，即应该写成3)(312b a ba --。
正解：（1）)()(2y x y x +-+ （2）3)(312b a ba -- 误区二 概念不清致误例2、判断下列各组是否是同类项：（1）0.2x 2y 与0.2xy 2 （2）4abc 与4ac （3）－130与15 （4）-532m n 与423n m（5）-++()()a b a b 332与 （6）7311pq p q n n n n ++与错解：（1）（3）（4）（6）是同类项，（2）（5）不是同类项。
剖析：（1）0.2x 2y 与0.2xy 2因为字母x 的指数不同，字母y 的指数也不同，所以不是同类项。
小学教材全解四年级数学上人教版
小学教材全解四年级数学上人教版小学教材全解四年级数学上人教版本教材共分为十个章节，从整数的认识、加减法的运用，到三角形、图形的认识，每章内容清晰，易于理解。
下面将详细介绍每个章节的主要内容。
第一章：整数的认识本章主要介绍了正整数、负整数和零的概念，通过实际生活中的例子，让学生了解整数的基本性质和规律。
第二章：加减法的运用在本章中，学生将学习有关于加减法的运用及其性质，并学会对一些简单算式的变形、简化和解决方法，如凑整法、借位法等。
第三章：比较大小（一）本章主要介绍了分数的概念和分数的大小比较。
同时，也介绍了小数的概念，并学习了小数的大小比较方法。
第四章：整数的加法（一）本章主要介绍了整数的加法，学生将学习如何进行整数的简单加法计算及加法的性质。
第五章：小数的加减法在本章中，学生将学习有关于小数的加减法和运用，以及其应用于实际生活中的例子。
第六章：整数的减法（一）本章主要介绍了整数的减法，学生将学习如何进行整数的简单减法计算及减法的性质。
第七章：比较大小（二）在本章中，学生将学习如何比较分数和小数的大小，并在课本中进行练习和应用。
第八章：整数的乘法（一）本章主要介绍了整数的乘法，学生将学习如何进行整数的简单乘法计算、乘法的性质以及乘方的概念。
第九章：三角形在本章中，学生将学习三角形的定义和分类，了解三角形的基本构造，及其周长和面积的计算方法。
第十章：图形的认识本章主要介绍了各种各样的图形及其特点，如点、线、平行四边形、梯形等，同时也对图形分类和计算周长、面积提供了详细的指导。
通过本教材的学习，学生将掌握基本的数学知识和运算方法，同时也将为以后更深入的数学学习打好基础。
人教版四年级上册数学教材解读
人教版四年级上册数学教材解读一、数与代数。
1. 大数的认识。
- 教学目标：- 使学生在认识万以内数的基础上，进一步认识计数单位“万”“十万”“百万”“千万”和“亿”，知道亿以内及以上各个计数单位的名称和相邻两个单位之间的关系。
例如，10个一万是十万，10个十万是一百万等。
- 掌握数位顺序表，能根据数级正确地读、写大数。
在读数时，要先分级，再从高位读起，每一级末尾的0不读，其他数位有一个0或连续几个0都只读一个零；写数时，从高位写起，哪一位上没有数字就用0占位。
- 会比较大数的大小，比较方法与万以内数的大小比较类似，先看位数，位数多的数大，如果位数相同，就从最高位比起，依次往下比。
- 会将整万、整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，如50000 = 5万，1200000000 = 12亿。
还会用“四舍五入”法求近似数，省略万位或亿位后面的尾数求近似数。
- 重点与难点：- 重点是数的读写、数级、数位等概念的建立，以及大数的大小比较和改写、求近似数的方法。
- 难点是中间或末尾有0的数的读写，以及“四舍五入”法求近似数时对“舍”与“入”的理解和运用。
2. 三位数乘两位数。
- 教学目标：- 让学生掌握三位数乘两位数的笔算方法，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。
- 理解并掌握积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。
这个规律有助于简便计算和解决一些实际问题。
- 会进行因数中间或末尾有0的乘法计算，在计算时可以先把0前面的数相乘，然后看因数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
- 重点与难点：- 重点是三位数乘两位数的笔算方法和积的变化规律。
- 难点是因数中间有0的乘法计算时的进位问题，以及积的变化规律在实际问题中的灵活运用。
3. 除数是两位数的除法。
小学数学四年级上书本教材全解练习全解同步全解 第1单元 大数的认识
读作：三万 读作：四十三万零一百二十 读作：四千零一万零五百二十 读作：十万零二百 读作：三百零三万零三百零三 读作：三千零四十万零一十
4.写出下面各数。 三百六十万二千
抓住“万”字定 数级哪位没有就 写零。
3602000
五十四万零三百七十 540370
六万八千九百二十
68920
5.写出下面各数。
这节课你们都学会了哪些知识？
含有两级的数的写法： (1)从高位写起，先写万级，再写个级。 (2)哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 检验所写的数是否正确的方法： (1)把写出的数读一遍，看与题目是否一致。 (2)根据最高位判断是几位数，再依次核对。
这节课你们都学会了哪些知识？
数的读与写离 不了分级。
要想写对数， 数位顺序表要 牢记心间。
人教版 数学 四年级 上册
1 大数的认识
练习二
复习旧知 课堂小结
巩固练习 课后作业
复习旧知 如何比较两个大数的大小？
亿以内 数的大 小比较
位数 不同
位数 相同
位数多的大于位数少的
从最高位比起，最高位上的 数大的那个数就大，如果最 高位上的数相同，就依次比 较下一个数位上的数，直到 比出大小为止
答：1807558 1807558≈181万 1684490 1684490≈168万
（2）全世界鱼类有一万九千零五十六种。 答：19056 19056≈2万
这节课你们都学会了哪些知识？
整万数的读法：万级上的数，按照个级的读法来读， 再在后面加上一个“万”字。
这节课你们都学会了哪些知识？
含有两级的数的读法： ①从高位读起，先读万级，再读个级。 ②读万级时，按照个级的读法去读，再在后面加个 “万”字。 ③每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一 个0或者连续几个0，都只读一个0。
高中数学教材全解课件 新课标 人教版 必修2(A)
第三步 严格的推理证明 如线面平行、垂直的性质定理 的证明。
第四步 用空间向量为工具进行 研究 代数方法研究立体几何（选修系 列2）
5.增加三视图的内容 ——注意与初中没有使用“课
标教材”学生的基础不衔接问题。
第一章 空间几何体 知识结构
教科书内容 1.1 空间几何体的结构(2课时) 1.2 空间几何体的三视图和直观图(2课时) 1.3 空间几何体的表面积与体积(2课时) 实习作业(1课时) 小结(1课时)
数 学②必修 A版 立体几何部分 简介
主要内容
主要变化
1.从整体到局部、具体到抽象
与以往立体几何内容体系相比， 本模块立体几何的内容体系结构 有重大调整。
直线、平面、简单几何体
一 空间直线和平面 平面 空间直线 直线与平面平行的判定和性质 直线与平面垂直的判定和性质 两个平面平行的判定和性质 两个平面垂直的判定和性质
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
说出三视图表示的几何体
由几何图形想象出实物的形状，进行 几何体与其三视图之间的转化，是一 个包括观察、想象、比较、综合、抽 象等逻辑思考的过程，对于发展学生 的空间直观能力非常有利。 特别注意：要求学生准确地作图。 学生不能准确作直观图是空间直观能 力弱的表现。
如图长方体中线段A’B所在 直线与线段C’C所在直线的 位置关系如何描述呢？
在引导学生观察长方体模型时， 应注意使学生有目的地、有序地、 全面地观察模型体现的点、直线、 平面之间的关系。观察后，要让 学生对位置关系进行概括，实现 由直观感知、操作确认到思辨论 证的过渡。
2019秋人教版九年级数学上册教材全解读.docx
教材分析第二■-一章一元二次方程【知识网络】【知识解读】1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：ax2+Z>x+c = O (a*o).(1)判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程(即含有未知数的式子是整式).三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程.(2)京+bx + c = O (a, b, c为常数，a.O)称为一元二次方程的一般形式，其中水0是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程.履叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.2.一元二次方程的解法注意事项：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为（mx-n） 25的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1,再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）.分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法.3.一元二次方程的实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义. 利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答. 审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语.相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（vt=s）.②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量（工程）问题.常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）.③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙+ 5”⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键.【易错点】一、忽视一元二次方程定义中的条件例1关于X的一元二次方程(a + l)x2 + x + a2-l = 0的一个根为0,则错解：...0是一元二次方程的根,.•.将x = 0代入方程得a? -1 = 0, ."= ±L剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数a-l#0,即a左一1。
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3.分散难点
立体几何教学的两个主要任务： 培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系， 逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起， 特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判 定定理”的证明要培养空间观念（合情推理），再推进到 逻辑推理能力的培养，适当分散难点。
证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想， 重心是逻辑推理能力。
依据“标准”的要求，实验教
材对这个定理不进行演绎证明， 而让学生通过一个探究实验发现 结论，进行合情推理。
上述过程经历的步骤：
具体 观 实 发现 提 出 问题 察 验 规律 猜想
把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单 纯强调几何的逻辑推理转变为合 情推理与逻辑推理并重。
1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、 锥、台、球体的几何特征并结合它们的展 开图，推导出它们的表面积的计算公式， 并通过对各种几何体体积计算公式之间联 系的分析，帮助学生从计算的角度去认识 空间几何体，更加准确地把握空间几何体 的结构特征。
在立体几何学习中，经历合情推理——演绎 推理过程。通过对事物、模型、图片等的操 作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的 结构特征，认识空间点、线、面的位置关系， 用数学语言表达平行、垂直的性质与判定， 并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理 能力。
直线与平面垂直的判定定理
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
中学教材全解-高中数学（选修2-3）（人教版b）电子版
中学教材全解:高中数学(选修2-3)(人教版b)电子版篇一：P121-180 中学教材全解高中数学选修2-3P121知识点1 条件概率在很多实际问题中，需要考虑一个事件在“某事件已发生”这个附加条件下的概率，我们来看下面的问题.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A?“蓝骰子的点数为3或6”，事件B?“两颗骰子的点数之和大于8”.我们用x代表抛掷红骰子所得到的点数，用y代表抛掷蓝骰子所得到的点数，则这个试验的基本事件空间为S?{(x,y)|x?N,y?N,1?x?6,1?y?6}.作图2?2?1，容易看出，基本事件空间的元素与图中的点一一对应，所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试验的基本事件总数为36，事件B所包含的基本事件对应图中10三角实线所包围的点，个数为10．所以，事件B发生的概率P(B)?. 36当已知蓝色骰子的点数为3或6时，事件B所发生的概率是多少呢?也就是要求事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率是多少．事件A已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的12个点．其中三角实线框内的5个点的5“点数之和大于8”，所以事件B在“事件A已发生”条件下的概率是. 12一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)=P(AB)事件A发生的P(A)条件下，事件B发生的条件概率．一般地，把P(B|A)读作“A发生的条件下B发生的概率”．条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0?P(B|A)?1如果B和C是两个互斥事件，则P(B?C|A)=P(B|A)+P(C|A)评注（1）事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．（2）应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．（3）已知A发生，在此条件下B发生，相当于发生，要求P(B|A)相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即n(AB)n(AB)P(AB)n(?)P(B|A). n(A)n(A)P(A)n(?)例1一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个女孩，问这是另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，3题意可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为?，A表示“其中一个是女孩”，B表示“其中一个是男孩”，则{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A?{(男，女)，(女，男)，(女，女) )}，B?{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A?B?{(男，女)，(女，男)}．问题是求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即求P(B|A).32P(A)?,P(A?B)?,44 P(AB)2?P(B|A)??.P(A)3因此所求条件概率为2．3P122知识点2事件的相互独立性我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A).和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A 的发生看上去对事件B的发生没有影响，比如依次抛掷两枚硬币，抛掷第1枚硬币的结果(事件A)对抛掷第2枚硬币的结果(事件B)没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗?让我们先来看一个例子．2个白皮蛋，例2 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率．解：设A一“第一次取到红皮蛋”，B一“第二次取到红皮蛋”，则33P(A)?，由于是有放回的抽取，所以P(B)?. 55 A?B?“两次都取到红皮蛋”，由于第一次取一个鸡蛋有5种取法，第二次取一个鸡蛋也有5种取法，于是两次共有5?5种取法．其中都取到红皮蛋的取法有3?3种，因此，两次都取到红皮蛋的概率为3?39?. P(A?B)?5?525所以P(B|A)?P(AB)3?. P(A)5在该列中，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即p(B|A)?P(B).设A、B为两个事件，如果P(AB)?P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立.P123评注(1)对于事件A、B，如果事件A (或) B是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如果甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．(2)一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A 与B，万与百也都是相互独立的．(3)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)?P(A)?P(B) ____在实际问题中，对于竹个事件，通常是考虑这些事件的含义，用日常生活或生产中得到的经验来分析它们之间有没有影响，如果没有影响，或者影响可以忽略不计，就可以判断这”个事件是相互独立的．如果事件A1,A2…An相互独立，那么这”个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1?A2?…An)?PA(1?)PA(2?…)?PAn( )并且上式中任意多个事件A。
人教版八年级数学上册教材全解读
人教版八年级数学上册教材全解读第十一章三角形1三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
2三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2)三角形是一个封闭的图形；(3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。
3三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类4三角形的主要线段的定义②∠1=∠2=∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线。
(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5三角形的主要线段的表示法三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD是DABC的角平分线；②AD平分ÐBAC，交BC于D；(图1)(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE是DABC的中线；②AE是DABC中BC边上的中线；(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是DABC的高；②AM是DABC中BC边上的高；③如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3图4如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5图6图76三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．7三角形的角与角之间的关系(1)三角形三个内角的和等于180°;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.8三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
小学教材全解新人教版六年级下册数学全册教案
小学教材全解新人教版六年级下册数学全册教案第一单元负数第一课时总第1课时授课日期：月日教学目标：1．使学生在现实情境中初步认识负数，了解负数的作用，感受运用负数的需要和方便。
2．使学生知道正数和负数的读法和写法，知道0既不是正数，又不是负数。
正数都大于0，负数都小于0。
3．使学生体验数学和生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的能力。
教学重点：初步认识正数和负数以及读法和写法。
教学难点：理解0既不是正数，也不是负数。
教学具准备：温度计、练习纸、卡片等。
教学过程：一、游戏导入（感受生活中的相反现象）1、游戏：我们来玩个游戏轻松一下，游戏叫做《我反我反我反反反》。
游戏规则：老师说一句话，请你说出与它相反意思的话。
①向上看（向下看）②向前走200米（向后走200米）③电梯上升15层（下降15层）。
2、下面我们来难度大些的，看谁反应最快。
①我在银行存入了500元（取出了500元）。
②知识竞赛中，五（1）班得了20分（扣了20分）。
③10月份，学校小卖部赚了500元。
（亏了500元）。
④零上10摄式度（零下10摄式度）。
3、谈话：周老师的一位朋友喜欢旅游，11月下旬，他又打算去几个旅游城市走一走。
我呢，特意帮他留意了一下这几个地方在未来某天的最低气温，以便做好出门前衣物的准备。
下面就请大家一起和我走进天气预报。
（天气预报片头）二、教学例11、认识温度计，理解用正负数来表示零上和零下的温度。
出示地图：点击南京出示温度计和南京的图片。
首先来看一下南京的气温。
这里有个温度计。
我们先来认识温度计，请大家仔细观察：这样的一小格表示多少摄式度呢？5小格呢？10小格呢？ B、现在你能看出南京是多少摄式度吗？（是0℃。
）你是怎么知道的？（那里有个0，表示0摄式度）。
（2）上海的气温：上海的最低气温是多少摄式度呢？（在温度计上拨一拨）拨的时候是怎样想的呢？（在零刻度线以上四格）指出：上海的气温比0℃要高，是零上4摄式度。
人教版小学数学教材解读
地位和作用： 地位和作用： 一是有助于培养学生的抽象概括能力， 一是有助于培养学生的抽象概括能力， 发展学生思维的灵活性。 发展学生思维的灵活性。 二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。 二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。 三是有利于加强中小学数学的衔接。 三是有利于加强中小学数学的衔接。
单元教学目标: 单元教学目标: 1.使学生初步认识用字母表示数的意义和作用，能够 使学生初步认识用字母表示数的意义和作用， 使学生初步认识用字母表示数的意义和作用 用字母表示学过的运算定律和计算公式， 用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体 的情境中用字母表示常见的数量关系。 的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据 字母所取的值，求含有字母式子的值。 字母所取的值，求含有字母式子的值。 2.使学生初步了解方程的意义，初步理解等式的基本 使学生初步了解方程的意义， 使学生初步了解方程的意义 性质，能用等式的性质解简易方程。 性质，能用等式的性质解简易方程。 3.使学生感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程 使学生感受数学与现实生活的联系， 使学生感受数学与现实生活的联系 解决一些简单的实际问题。培养学生根据具体情况， 解决一些简单的实际问题。培养学生根据具体情况， 灵活选择算法的意识和能力。 灵活选择算法的意识和能力。
册 数
教学内容 页做一做第2题 第15页做一做第 题 页做一做第 8+（ ）=11 （ 11—3=（ ） （ 8+（ ）=16 （ 16—8=（ ） （ （ ）+9=15 15—9=（ ） （ 第60页思考（ ）里可 页思考（ 页思考 以填哪些数？ 以填哪些数？ 10+30＞（ ） ＞（ 20+（ ）＜ （ ）＜25 25+（ ）=35-（ ） （ （ 第77页第 题 页第15题 页第 40+50＞（ ） ＞（ 60+（ ）＜ （ ）＜65
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人教版数学教材全解
1、人教版小学数学教材
人教版小学数学教材由人民教育出版社推出的新修订本。
该教材以学
生发展为出发点，将学科知识与学习活动相结合，贯彻“见学为主，动
学为辅”的原则，让学生根据不同学习阶段和能力需求完成有效的课堂
学习和联系实际的家庭作业。
(1)课本结构
人教版小学数学教材的课本共分3年级，共分134页，从小学课程体
系入手，融入了各种社会经济环境等要素，围绕语言、逻辑、数学运
算及智能思维进行词汇训练和积累，结合小学课程体系，用一贯的教
育思想来操作，把基础和应用学科融为一体。
教材，全面而深入地探
究语言、逻辑、数学运算、智能思维课题，有助于培养数学思考能力，树立合理的数学认知。
(2)课本内容
人教版小学数学教材的知识内容是围绕数的概念、计算的方法、图形
的表达、关系的探究、数理逻辑的应用进行有机组织的，强调生活现
象和思维过程，提高学生学习记忆力，培养学生把握数学知识规律性
的能力，活跃数学学习兴趣，建立正确的数学观念，形成科学的思维
方法。
(3)教学策略
人教版小学数学教材采用“把学生的学习活动变成学习的主体”的教学
策略，重视学生的语言表达能力、逻辑思维能力以及实践能力的培养，并且尊重学生的自主学习行为。
以“一节课、一个思维”的形式分解教
学过程，渗透和贯彻“见学为主，动学为辅”的原则，运用视听多媒体，调动学生学习兴趣，形成理解与思维、表达与记忆的结合，使学生能
快乐地了解数学知识。
2、人教版初中数学教材
人教版初中数学教材充分体现学科教学改革的新理念，把理论融入实践，做到了数学思维与认知的并重。
该版本注重教师的角色以及教学
中学生的主体性，让学生学习的更自然，考试的更轻松。
(1)课本结构
人教版初中数学教材共3册，分为两部分：初级数学和中级数学，兼
顾公共课课程的数学知识，共计286页，以及常见的数学题型和应用
性课程中的数学知识，以科学合理的理论讲解菁华科学内容，适应当
前深入学习、数学思维能力培养的要求。
(2)课本内容
《人教版初中数学教材》课本内容面向初中学生，能辅助学生更深入
地探究与运用数学的规律，及其运用的综合能力，学生能够正确应用
数学的结构关系，综合解决实际问题，更深入灵活应用和掌握数学重
要概念和技巧，以达到理解、探究、体验、思考、解决问题等能力的
发展。
(3)教学。