2013年数学建模大赛C题

2011
1
566.727
522.7014
1.76325
2
566.764
522.6693
7.309
2
566.7642
522.669
7.2905
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
566.8001
522.6384
12.73225
3
566.8004
522.6387
12.72688
4
566.8293
522.6132
17.06975
4
566.8297
C
摘要
古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
对于第一个问题，求中心点坐标，采用的是均值法，由于前两次测量中第13层第5个点没有数据，要是采用均值法求中心坐标，会产生较大的误差，所以在求第13层中心坐标，采用的是拟合法。
六、
本模型简单易懂。
本模型解决了，古塔的各层中心点的确定，古塔倾斜角的求解。
改进建议，通过对倾斜角的取值，应该可以预测古塔的倒塌时间。
七、
1、石宁刘竞刘青桂高等数学中国水利水电出版社2010年7月
2、梁国业廖建平数学建模冶金工业出版社2004年9月
八、
1、求古塔倾斜角matlab程序
functionangle=angleacos(x,y,z)
三、
1、假设古塔每层都是正八边形。
2、假设题目中提供的数据真实可靠。
3、假设地面平整。
4、假设每层的测量点在一个平面内。
四、
S塔身长度 古塔测量的数据x坐标
中心点的x坐标 古塔测量的数据y坐标
中心点的y坐标 古塔测量的数据z坐标
中心点的z坐标N古塔每层的测量点的个数
塔的倾斜角
五、
5.1
正八边形的重心等于中心，所以可以用均值法求每个面的中心点，公式如下：
p1=-114.5(-133,-96.11)
p2=5.987e+04(5.025e+04,6.95e+04)
拟合公式： =-114.5* +59870
将 代入拟合公式求得
依据此方法，求出1986年的13层中心坐标。
古塔各层的中心坐标，如下表：
塔的各层中心点坐标
年份
层次
X坐标
Y坐标
Z坐标
年份
层次
X坐标
首先测出两点间的空间距离，两点间的空间距离就是古塔的塔身长度S，计算公式：
然后，求塔身与垂直方向的夹角的余弦值 ，公式为：
进而求得倾斜角 的值：
把四年的测量数据分别带入公式可以得到古塔四次测量时的倾斜角，见下表
年份
1986
1996
2009
2011
倾斜角
0.8018
0.8121
0.8377
0.8397
塔的各层中心点坐标年份x坐标y坐标x坐标y坐标坐标198656666552271056672055226675667751522625566818352259256686495225565669118522521262295566950652250456698845224885670265522471105670561056706252245711567104522423444408115671102522417125671511256715785223771356720452228652834213567195152222852835672544522236表格年份x坐标y坐标x坐标y坐标坐标20091764520156672752270156676452266956676425226697290556680045226385668297522612566861522586217038566947852253356698522511567031352247856708255224451056713752239310567138152239211567179115671815223531256722252231648699712567223852231413567271135672725522270567336522214567337552221355087续表52问题模型的建立对于第二个问题可以分成三个问题倾角问题弯曲问题和扭曲问521古塔的倾斜角从上述八幅图中不难看出古塔已经向着x轴的正方向y轴的负方向发生了倾斜从专业角度来讲倾斜是指基础两端点倾斜方向的沉降差与其距离的比值所以我们先取第一层的中心和塔尖进行倾斜角的测量
Y坐标
Z坐标
1986
1
566.6648
522.7105
1.787375
1996
1
566.665
522.7102
1.783
2
566.7196
522.6684
7.32025
2
566.7205
522.6674
7.314625
3
566.7735
522.6273
12.75525
3
566.7751
522.6256
拟合的公式为： =93.06* -52730
将 代入拟合公式求得
同上用Matlabcurvefitting软件对古塔Y-Z坐标系12层中心点和一个塔顶坐标进行拟合，结果如下图：
Figure2
LinearmodelPoly1:
f(x)=p1*x+p2
Coefficients(with95%confidencebounds):
a1=55.34(53.18,57.49)
b1=522.3(522.3,522.3)
c1=0.2665(0.2421,0.291)
拟合公式： 然后代入曲率公式
5.2.3
5.3
图9
如图9所示，古塔的右下方的等高线比较密集，古塔左上方的等高线比较稀疏，说明古塔在X轴的正方向，Y轴的负方向已经有倾斜，在未来忽略不可抗力，古塔会一直沿着这个方向倾斜。
7
566.9468
522.5081
29.83688
7
566.9506
522.5042
29.83225
8
566.9843
522.4924
33.35088
8
566.9884
522.4881
33.34538
9
567.0218
522.4764
36.85488
9
567.0265
522.4714
36.84825
13
567.204
522.286
52.83429
13
567.1951
522.228
52.83
塔尖
567.2473
522.2438
55.12325
塔尖
567.2544
522.2367
55.11975
表格1
年份
层次
X坐标
Y坐标
Z坐标
年份
层次
X坐标
Y坐标
Z坐标
2009
1
566.7268
522.7015
1.7645
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：石家庄职业技术学院
参赛队员(打印并签名)：1.魏鹏飞
2.邢磊
3.刘力恒
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：陈佩宁
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期：2013年9月16日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
522.6127
17.052
5
566.8604
522.5866
21.70938
5
566.861
522.586
21.70388
6
566.9471
522.5342
26.211
6
566.9478
522.5335
26.2045
7
566.9792
522.5123
29.82463
7
566.98
522.5115
29.817
塔尖
567.336
522.2148
55.091
塔尖
567.3375
522.2135
55.087
续表1
5.2
对于第二个问题，可以分成三个问题，倾角问题，弯曲问题，和扭曲问题。
5.2.1
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
从上述八幅图中，不难看出，古塔已经向着X轴的正方向，Y轴的负方向发生了倾斜，
从专业角度来讲倾斜是指基础两端点倾斜方向的沉降差与其距离的比值，所以我们先取第一层的中心和塔尖进行倾斜角的测量。
5.2.2
Matlabcurvefitting软件对古塔进行X-Z坐标系中心坐标曲线拟合，Y-Z坐标系中心坐标曲线拟合，结果如下图。
Figure3
GeneralmodelGauss1:
f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Coefficients(with95%confidencebounds):
10
567.0569
522.4624
40.17213
10
567.062
522.4572
40.16763
11
567.1045
522.423
44.44088
11
567.1102
522.4173
44.43538
12
567.1518
522.3836
48.71188
12
567.1578
522.3775
48.70738
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
根据每个面内点的坐标( )，可求得平面的中心坐标：
由于每个面都有八个测量点，所以在这里N=8。
在求第13层中心点时，由于缺失数据，用均值法得出的中心坐标有很大的偏差，所以在求13层中心点改用拟合法。下面以求1996年古塔的中心点为例。
因为古塔的每层测量点都在一个平面内，所以13层的Z轴坐标为7个测量点Z轴坐标的平均值。
8
567.0305
522.4797
33.33988
8
567.0313
522.4788
33.33663
9
567.0816
522.4466
36.84375
9
567.0825
522.4457
36.82225
10
567.137
522.3937
40.16113
10
567.1381
522.3926
40.14413
a1=54.24(50.25,58.22)
b1=567.3(567.2,567.3)
c1=0.4135(0.3546,0.4723)
拟合公式： 然后代入曲率公式
Figure4
GeneralmodelGauss1:
f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Coefficients(with95%confidencebounds):
%UNTITLED5Summaryofthisfunctiongoeshere
对于第二个问题，分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。这个问题可以分三个小问题考虑。
1、分析古塔的倾斜情况，先用Matlab软件绘制出，古塔的俯视图，观察古塔的倾斜情况，大致的倾斜方向，再用三角函数求出古塔的倾斜角度，再把四次算的倾斜角，做一下比较，观察古塔的倾斜状况。
2、分析古塔的弯曲情况，首先观察X-Z坐标系中心点坐标，用Matlab软件把X-Z坐标系中的中心坐标拟合成一条曲线，求出这条曲线的曲率，然后按照上述方法求出Y-Z坐标系中心点坐标的曲线方程，求出这条线的曲率，分别观察古塔在X轴方向的弯曲情况，和Y轴方向的弯曲情况。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
11
567.1799
522.3547
44.43263
11
567.181
522.3535
44.42488
12
567.2225
522.316
48.69975
12
567.2238
522.3147
48.68388
13
567.2712
522.2715
52.81838
13
567.2725
522.2701
52.81313
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
3、分析古塔的扭曲情况，由于时间关系，没有分析古塔的扭曲。
对于第三个问题，分析古塔的变形趋势，可以根据第二问中的倾斜角，弯曲情况，进行简单的分析。
关键词：Matlab拟合，Matlab绘图，均值法，Matlabcurvefitting软件，Matlab编程
一、
古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
3.分析该塔的变形趋势。
二、
本文我们是根据相关人员对古塔的观测的数据来分析该古塔的倾斜与弯曲的程度，并且分析出未来古塔的趋势走向。首先，我们利用均值法求出各层的中心点并且拟合出图形，然后我们对该塔构建了三角形，利用三角函数求出该塔的倾斜角度，并且利用曲率算出弯曲的程度。最后，我们利用所求出的数据以及图表进行分析得到该塔未来的发展趋势。
Matlabcurvefitting软件对古塔X-Z坐标系12层中心点和一个塔顶坐标进行拟合，结果如下图：
Figure1
LinearmodelPoly1:
Coefficients(with95%confidencebounds):
p1=93.06(90.11,96.01)
p2=-5.273e+04(-5.44e+04,-5.106e+04)
12.75075
4
566.8161
522.5944
17.07825
4
566.8183
522.5922
17.07513
5
566.8621
522.5591
21.7205
5
566.8649
522.5563
21.716
6
566.9084
522.5244
26.23513
6
566.9118
522.521
26.2295