带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。

一、粒子的带电性质不明的情况
【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。

现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.
二、磁场方向的不确定
带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。

【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0
B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0
C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0
D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0
三、临界条件不唯一的情况
【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。

有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？
四、运动的反复性
带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。

【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大
小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒
壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹
力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒
中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?
五、粒子运动的周期性引起的多解问题
【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。

六、临界极值问题补充
【例6】一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场,矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电的粒子，如图6所示。

已知粒子的电荷量为q,质量为m(重力不计)。

(1)若要使粒子能从ab边射出磁场,v0应满足什么条件？
(2）若要使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界射出？出射点位于该边界上何处?最长时间是多少？
带电粒子在磁场中的运动多解问题参考答案
【例1】【解析】粒子在磁场中的偏转方向取决于所受的洛仑兹力的方向，不同电性的粒子所受的洛仑兹力的方向不同，本题没有明确粒子究竟带何种性质的电荷，所以粒子的轨迹可能是图解1中的两条。

由和得：
由图可知:
【例2】【解析】此题中，只说明磁场方向垂直轨道平面,因此磁场的方向有两种可能。

当磁场方向指向纸里，质点所受的洛伦兹力背离圆心，与库仑引力方向相反，则向心力减小。

由
可知，当轨道半径R不变时,该质点运动周期必增大；当磁场方向指向纸外时，粒子所受的洛伦兹力指向圆心，则向心力增大,该质点运动周期必减小，故正确的选项为AD。

【例3】【解析】欲使粒子不能打到金属板上，则粒子可能会从磁场右侧飞出,圆周运动的半径较大；粒子也可能会从磁场左侧飞出，圆周运动的半径较小.那么粒子不会打到金属板的临界条件就有两个：粒子刚好从金属板M的右侧边缘和左侧边缘射出。

其临界条件所对应的运动轨迹如图解2所示。

（1）粒子入射速度为v1时，轨迹半径为R1，由几何知
识知：
R12 = (R1－d)2 + L2
根据牛顿第二定律有: qv1B = mv12/R1
解得：v1 = qB (d2+L2）/2md
（2）粒子入射速度为v2时,轨迹半径为R2，由几何知识
知：R2 = d/2
根据牛顿第二定律有：qv2B = mv22/R2 解得：v2 = qBd/2m
所以粒子入射速度v应满足的条件是：v〉v1或v〈v2
【例4】【解析】如图解3所示，粒子由A孔进入圆筒中做匀速圆周运动,半径为R,圆心在O’点处，粒子运动轨迹与相交的一段弧长所对应圆筒的圆心角为θ，各壁相撞后反弹速度大小不变，方向相反,且仍指向圆心O,粒子周期性重复以上过程,若要仍从A孔射出,则必有：
(k=3，4，5……）①②
由几何关系可得：③
联立①②③式可得:（k=3,4，5……）
【例5】【解析】（1)若粒子经过P点的轨迹如图解4所示，
则粒子运动的时间
(2）若粒子经过P点的轨迹如图解5所示，
则粒子运动的时间
【例6】【解析】(1)当轨迹圆与cd边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设此半径为R1，如图解6所示，经分析可知∠OO′Q=60°
则有R1cos60°+=R1，得R1=L
当轨迹圆与ab 边相切时,是粒子能从ab 边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况,设此半径为R 2，如图解7所示,经分析可知∠OO′Q=120°
则有R 2sin30°+R 2=，R 2=故粒子从ab 边射出的条件为＜R ＜
L 根据qv 0B=m ,可得＜v 0＜.
（2）由T=和t=T ，可知：粒子在磁场区域内做匀速圆周
运动的圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间越长圆心角用θ表示，从以上各图可以看出,如果粒子从cd 边射出，则圆心角θ＜60°;如果粒子从ab 边射出，则圆心角60°≤θ＜240°;如果粒子从ad 边射出,圆心角θ=240°,由于磁场无右边界，故粒子不可能从右侧射出。

综上所述，为使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad 边射出,如图解7所示，从图中可以看出，P 点是离O 点距离最大的出射点.PO=2R 2sin30°=，即出射点到O 点的距离不超过,但不能为0
t max =qB m qB m T t 35223/52max max πππππθ=⨯==。

答案:(1）≤v 0≤ (2）ad 边出射点到0点距离不超过，但不能为0 最长时间为。