等腰三角形直角三角形复习

知识点一等腰三角形

1．概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，有三边相等的三角形叫做等边三角形，

也叫正三角形．

2．等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”；

(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴；

(4)等腰三角形的两腰之和大于底，底角满足0°<α<90°，顶角满足0°<β<180°.

3．等腰三角形的判定

(1)在一个三角形中有两条边相等的三角形是等腰三角形；

(2)在一个三角形中有两个角相等的三角形是等腰三角形．

知识点二等边三角形的性质与判定

1．性质

(1)等边三角形的内角都相等，且等于60°；

(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都三

线合一，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．

2．判定

(1)三个角(或三条边)相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

知识点三线段的中垂线

1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．

2．性质

线段中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

3．判定

到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．

知识点四直角三角形的性质与判定

1．性质

(1)直角三角形的两个锐角互余；

(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)；

(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为

30°；

(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2．判定

(1)有一个角是90°的三角形是直角三角形；

(2)勾股定理的逆定理；

(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形；

(4)有两个角互余的三角形是直角三角形．

一、等腰三角形

典例1：AD 是△ABC 边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是：

①∠BAD=∠ACD ② ∠BAD=∠CAD ③ AB+BD=AC+CD ④ AB-BD=AC-CD A

B D C

典例2：已知：OA 平分∠BAC ，∠OBC=∠OCB ，求证：△ABC 是等腰三角形 A

O

C B

变式1：在△ABC 中，AC=AB,M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连结DN ，EM ，

若AB=13㎝，

BC=10㎝，DE=5㎝，求图中阴影部分的面积。

变式2：△ABC 中，AB=AC ，过△ABC 的某顶点的直线可以将△ABC 分成两个等腰三角形，则

△ABC 各内角的度数为多少？

变式3：如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC 绕点A

逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P '之间的距离为多少，∠APB 为多少度？ B

A C P'

P

能力提升： 如图已知等腰△ABC 中顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则A D

A C 的值为多少？

B A

C D

二、等边三角形

三、线段的中垂线 典例1：如图，ED 为△ABC 的AC 边上的垂直平分线，且AB=5，△BCE 的周长为8，则BC 为多少？ C

A

B E

D

典例2：已知等腰△ABC 的腰AB=AC=13㎝，底边BC=10㎝，则∠A 的平分线的长是多少？

典例3：从边长为10的等边三角形ABC 内任意一点P 作三边的垂线段，这三条垂线段的长度之和为多少？

变式1：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 于点M,请判

断CM 与BM 的数量关系，并证明。

如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、

CD 上的点，BE ＝DF .

(1)

求证：AE ＝AF ； (2)若AE 垂直平分BC ，AF 垂直平分CD ，求证：△AEF 为等边三角形．

如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连结PQ 交AC 边于D

，则DE 的长为( )

A.13

B.12

C.23

D ．不能确定

变式2：在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D,交AB 于点E ，若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为多少？ E

B A

C D

变式3：如图三条直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则有几处地址可选？并作出图形 l2

l1

l3

变式4：∠AOB=45°，P 为角内一定点，OP=10厘米，M 、N 在角两边运动，求△MNP 得周长为最小值。

B O A

P

四、直角三角形

典例1：在△ABC 中AB=AC ，D 为BC 上一点，BF=CD ，CE=BD ，那么∠EDF 等于多少？ B A

C F

D E

典例2：△ABC 是等腰三角形，由顶点A 所引起BC 边上的高线恰等于BC 边长的一半，则∠BAC 为多少度？

典例3：如图，将直角边AC=6厘米，BC=8厘米的直角△纸片折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于多少？

C D

B A E