陕西师大附中2020年中考数学六模试卷 解析版

2020年陕西师大附中中考数学六模试卷
一．选择题（共10小题）
1．的倒数为（）
A．﹣4B．4C．﹣2D．
2．如图所示的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
3．下列计算中正确的是（）
A．2a2﹣3a2＝a2B．（﹣a2）3＝a6
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1D．
4．如图，DE与△ABC的底边AB平行，OF是∠COE的角平分线，若∠B＝62°，则∠1的度数为（）
A．54°B．59°C．62°D．64°
5．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）关于x轴的对称点在直线y＝2x上，则m的值为（）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
6．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝12，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）
A．1B．2C．2D．3
7．一次函数y＝kx+2的图象沿直线y＝x平移4个单位长度后经过原点，则k的值为（）A．B．C．或D．或
8．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（）
A．B．8C．D．
9．如图，⊙O中，AC＝6，BD＝4，AB⊥CD于E点，∠CDB＝30°，则⊙O的半径为（）
A．B．5C．D．
10．已知函数y1＝a﹣x2（1≤x≤2）图象上某点P，其关于x轴的对称点在函数y2＝x+1的图象上，则实数a的取值范围是（）
A．a≥﹣B．1≤a≤2C．﹣≤a≤1D．﹣1≤a≤1
二．填空题（共4小题）
11．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为．
12．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需个正五边形．
13．在平面直角坐标系中，直线l过A（4，1），B（5，0）两点，且点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．将直线1向下平移个单位长度，可以使得直线l与反比例函数的图象恰好只有一个公共点．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．
三．解答题
15．计算：﹣+×（﹣）﹣2．
16．解分式方程：＝1．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在BC上求作一点D，使BD＝2CD．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
18.已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM＝ON，BM与AN相交于点P．求
证：PM＝PN．
19.某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争，印制了应知应会手册，该区教育局想
了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度，抽取了部分教师进行了测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的教师有人，并补全两个统计图；
（2）样本中，测试成绩的众数是，中位数是；
（3）若该区共有教师6880名，根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识？
20.在一个阳光明媚的上午，某实验中学课外实验小组的同学利用所学知识测量校园内球体
景观灯灯罩的半径，小周和他所在的小组计划借助影长进行测量，小周先在地面上立了一根0.4米长的标杆AB，并测得其影长AC为0.3米，同一时刻在阳光照射下，小周再测景观灯（NG）的影长GH为1.8米，然后小组其他成员测得景观灯KG的高度为2.3米（记灯罩顶端为K）．已知此时太阳光所在直线NH与灯罩所在⊙O相切于点M．请根据以上数据，计算灯罩的半径．
21.某商店分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况
如下表所示：
购进数量（件）购进所需费用（元）
A B
第一次20302800
第二次30202200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
22.在学习完概率的有关内容后，小军与小波共同发明了一种利用“字母棋”进行比胜负的
游戏，他们制作了5颗棋子，并在每颗棋子上标注相应的字母（棋子除了字母外，材质、大小、质地均相同），其中标有字母X的棋子有1颗，标有字母Y和Z的棋子分别有2颗．游戏规定：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后从5颗棋子中随机摸出两颗棋子，若摸到的两颗棋子标有字母X，则小军胜；若摸到两颗相同字母的棋子，则小波胜，其余情况为平局，则游戏重新进行．
（1）求随机摸到标有字母Y的棋子的概率；
（2）在游戏刚准备进行的同时，数学课代表小亮对游戏的公平性产生了质疑，请你通过列表法或者画树状图的方法帮小亮同学验证该游戏的规则是否公平．
23.如图，在△ABC中，AC＝BC，⊙O经过BC两点，交BA延长线于点E，过点E作⊙O
的切线交CA于点F，且EF∥OC．
（1）求证：∠BAC＝45°；
（2）设CO交AB于点G，若BC＝7，sin F＝，求CG的值．
24.如图，直线y＝﹣x﹣3与坐标轴交于点A、C，经过点A、C的抛物线．y＝ax2+bx+c
与x轴交于点B（2，0），点D是抛物线在第三象限图象上的动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若线段AC恰好将△ADE的面积分成1：4的两部分，请求出此时点D的坐标．
25.（1）如图1，在△ABC内有一点D，且AD＝BD＝CD，若∠BAC＝40°，则∠DBC＝°．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝5，作线段CD＝3，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE、AD、BE．求证：△ACD≌△BCE；
（3）在（2）的条件下，设AD、BE所在直线交于点Q（如图3），求△ABQ面积的最小值．
2020年陕西师大附中中考数学六模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．的倒数为（）
A．﹣4B．4C．﹣2D．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：的倒数是4，
故选：B．
2．如图所示的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看，易得一个正方形，右上角少一个角．
故选：D．
3．下列计算中正确的是（）
A．2a2﹣3a2＝a2B．（﹣a2）3＝a6
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1D．
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣a2，不符合题意；
B、原式＝﹣a6，不符合题意；
C、原式＝4x2﹣1，不符合题意；
D、原式＝x2y2，符合题意．
故选：D．
4．如图，DE与△ABC的底边AB平行，OF是∠COE的角平分线，若∠B＝62°，则∠1的度数为（）
A．54°B．59°C．62°D．64°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠COD＝62°，再利用角平分线的定义可得∠1＝∠COE，即可得解．
【解答】解：∵DE与△ABC的底边AB平行，
∴∠B＝∠COD＝62°，
∴∠COE＝180°﹣∠COD＝118°，
∵OF是∠COE的角平分线，
∴∠1＝∠COE＝59°；
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）关于x轴的对称点在直线y＝2x上，则m的值为（）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】由点A的坐标可找出其关于x轴对称点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【解答】解：点A（﹣2，m）关于x轴的对称点为（﹣2，﹣m）．
∵点（﹣2，﹣m）在直线y＝2x上，
∴﹣m＝2×（﹣2），
∴m＝4．
故选：A．
6．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝12，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）
A．1B．2C．2D．3
【分析】根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，又∠BAC＝120°，可知∠EAC ＝90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE＝4，DE＝2．
【解答】解：∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE＝EC，
∵BC＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADE＝90°，∠DAE＝30°，
∴DE＝2．
故选：B．
7．一次函数y＝kx+2的图象沿直线y＝x平移4个单位长度后经过原点，则k的值为（）A．B．C．或D．或
【分析】求得平移后的解析式，代入（0，0）即可求得k的值．
【解答】解：一次函数y＝kx+2的图象沿直线y＝x平移4个单位长度后所得的一次函数为y＝k（x﹣4）+2+4或为y＝k（x+4）+2﹣4，
∵平移后经过原点，
∴把（0，0）代入求得k＝或，
故选：C．
8．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（）
A．B．8C．D．
【分析】由勾股定理求出AC＝4，由面积法求出BH＝，证△ABH≌△CDG（AAS），得出AH＝CG＝，则GH＝AC﹣2AH＝，作FM⊥AC于M，证△FMC∽△ABC，求出FM＝，得出△GHF的面积＝，同理△GHF的面积＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BAH＝∠DCG，∠EAH＝∠FCG，
∴AC＝＝＝4，
∵DG⊥AC，BH⊥AC，
∴BH＝＝＝，∠DGC＝∠BHA＝90°，
在△ABH和△CDG中，，
∴△ABH≌△CDG（AAS），
∴AH＝CG＝＝，
∴GH＝AC﹣2AH＝4﹣2×＝，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝4，
作FM⊥AC于M，如图：
则∠FMC＝90°＝∠ABC，
∵∠FCM＝∠ACB，
∴△FMC∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：FM＝，
∴△GHF的面积＝GH×FM＝××＝，
同理：△GHF的面积＝，
∴四边形EHFG的面积＝△GHF的面积+△GHE的面积＝；
故选：D．
9．如图，⊙O中，AC＝6，BD＝4，AB⊥CD于E点，∠CDB＝30°，则⊙O的半径为（）
A．B．5C．D．
【分析】如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OD．解直角三角形求出ON，DN即可解决问题．
【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴OM＝EN，ON＝EM，
在Rt△ACE中，∵AC＝6，∠A＝∠CDB＝30°，
∴CE＝AC＝3，AE＝3，
在Rt△DEB中，∵BD＝4，∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝2，DE＝2，
∴CD＝3+2，AB＝2+3，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝BM＝，CN＝DN＝，
∴EM＝ON＝，
∴OD＝＝＝．
故选：C．
10．已知函数y1＝a﹣x2（1≤x≤2）图象上某点P，其关于x轴的对称点在函数y2＝x+1的图象上，则实数a的取值范围是（）
A．a≥﹣B．1≤a≤2C．﹣≤a≤1D．﹣1≤a≤1
【分析】设点P（x，a﹣x2），得到关于x轴的对称点为（x，x2﹣a），根据题意代入y2＝x+1得到a＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣
，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：设点P（x，a﹣x2），
∴关于x轴的对称点为（x，x2﹣a），
∵关于x轴的对称点在函数y2＝x+1的图象上，
∴x2﹣a＝x+1，
∴a＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣
∵1≤x≤2，
∴当x＝1时，a＝﹣1，当x＝2时，a＝1，
∴﹣1≤a≤1，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为6．
【分析】根据被开方数41的范围，利用算术平方根定义确定出的范围，进而确定出n的值即可．
【解答】解：∵36＜41＜49，
∴6＜＜7，
则n的值为6．
故答案为：6．
12．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需7个正五边形．
【分析】先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案．
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴内角是×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）﹣（180°﹣108°）＝36°，
36°度圆心角所对的弧长为圆周长的，
即10个正五边形能围城这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形
故答案为：7．
13．在平面直角坐标系中，直线l过A（4，1），B（5，0）两点，且点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．将直线1向下平移1或9个单位长度，可以使得直线l与反比例函数的图象恰好只有一个公共点．
【分析】用待定系数法求出直线的关系式和反比例函数的关系式，再表示出平移后的直线关系式，将平移后的直线关系式与反比例函数关系式组成方程组有唯一解时，求出平移的距离即可．
【解答】解：设直线的关系式为y＝kx+b，A（4，1），B（5，0）代入得，
，解得，，
∴直线的关系式为y＝﹣x+5，
反比例函数y＝的图象过点A（4，1），因此k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
设将直线1向下平移a个单位后的关系式为y＝﹣x+5﹣a，
平移后一次函数y＝﹣x+5﹣a，与反比例函数y＝的图象有唯一公共点，
∴方程﹣x+5﹣a＝有唯一解，
即，方程x2﹣（5﹣a）+4＝0有两个相等的实数根，
∴（5﹣a）2﹣16＝0，
解得，a＝1，a＝9，
故答案为：1或9．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是﹣．
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连结OB，取OB中点M，连结MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．
连结OB，取OB中点M，连结MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得MA＝，MG＝OB＝，
∵AG≥AM﹣MG＝﹣，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题
15．计算：﹣+×（﹣）﹣2．
【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝++×4
＝1++2
＝．
16．解分式方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）+2＝x2﹣4x，
整理得：6x＝﹣2，
解得：x＝﹣，
经检验，x＝﹣是原方程的根．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在BC上求作一点D，使BD＝2CD．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
【分析】作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点D即为所求．
【解答】解：如图，点D即为所求．
18.已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM＝ON，BM与AN相交于点P．求
证：PM＝PN．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】553：图形的全等；67：推理能力．
【分析】连接OP，由“HL”可证Rt△ON≌Rt△OMP，可得PM＝ON．
【解答】证明：如图，连接OP，
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴∠ANO＝∠BMO＝90°，
∵OP＝OP，OM＝ON，
∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL）
∴PM＝PN．
19.某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争，印制了应知应会手册，该区教育局想
了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度，抽取了部分教师进行了测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的教师有人，并补全两个统计图；
（2）样本中，测试成绩的众数是，中位数是；
（3）若该区共有教师6880名，根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数；
W5：众数．
【专题】541：数据的收集与整理．
【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数；
（2）根据中位数和众数的定义可得；
（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得．
【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，
则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）＝14（人），
补全统计图如下：
故答案为：14；
（2）本次测试成绩的中位数为＝98分，众数100分，
故答案为：98，100；
（3）∵6880×＝2752，
∴估计该区大约有2752名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识．
20.在一个阳光明媚的上午，某实验中学课外实验小组的同学利用所学知识测量校园内球体
景观灯灯罩的半径，小周和他所在的小组计划借助影长进行测量，小周先在地面上立了一根0.4米长的标杆AB，并测得其影长AC为0.3米，同一时刻在阳光照射下，小周再测景观灯（NG）的影长GH为1.8米，然后小组其他成员测得景观灯KG的高度为2.3米（记灯罩顶端为K）．已知此时太阳光所在直线NH与灯罩所在⊙O相切于点M．请根据以上数据，计算灯罩的半径．
【考点】MC：切线的性质；SA：相似三角形的应用；U5：平行投影；U6：中心投影．【专题】55D：图形的相似；69：应用意识．
【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出NG的长，再连接OM，由切线的性质可知OM⊥NH，进而可得出△NMO∽△NGH，再根据其对应边成比例列出比例式，然后用半径表示出ON，进行计算即可求出OM的长．
【解答】解：设OM＝r，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
即＝，
解得NG＝2.4m，
在Rt△NGH中，NH＝＝3m，
设⊙O的半径为r，连接OM，
∵MH与⊙O相切于点M，
∴OM⊥NH，
∴∠NMO＝∠NGH＝90°，
又∠ONM＝∠GNH，
∴△NMO∽△NGH，
∴＝，
即＝，
又NO＝NK+KO＝（NG﹣KG）+KO＝2.4﹣2.3+r＝0.1+r，
则＝．
解得r＝0.15（m）
答：灯罩的半径为0.15米．
21.某商店分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况
如下表所示：
购进数量（件）购进所需费用（元）
A B
第一次20302800
第二次30202200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】129：调配问题；533：一次函数及其应用．
【分析】（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意可列二元一次方程组，解得可求A、B两种商品每件的进价．
（2）A商品a件，B商品（1000﹣a）件，利润为m元，根据利润＝A商品利润+B商品利润列出函数关系式，再根据一次函数的性质可求最大利润．
【解答】解：（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元
根据题意得：
解得：
答A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元．
（2）设A商品a件，B商品（1000﹣a）件，利润为m元．
根据题意得：
解得：800≤a≤1000
m＝（30﹣20）a+（100﹣80）（1000﹣a）＝20000﹣10a
∵k＝﹣10＜0
∴m随a的增大而减小
∴a＝800时，m的最大值为12000元．
22.在学习完概率的有关内容后，小军与小波共同发明了一种利用“字母棋”进行比胜负的
游戏，他们制作了5颗棋子，并在每颗棋子上标注相应的字母（棋子除了字母外，材质、大小、质地均相同），其中标有字母X的棋子有1颗，标有字母Y和Z的棋子分别有2颗．游戏规定：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后从5颗棋子中随机摸出两颗棋子，若摸到的两颗棋子标有字母X，则小军胜；若摸到两颗相同字母的棋子，则小波胜，其余情况为平局，则游戏重新进行．
（1）求随机摸到标有字母Y的棋子的概率；
（2）在游戏刚准备进行的同时，数学课代表小亮对游戏的公平性产生了质疑，请你通过列表法或者画树状图的方法帮小亮同学验证该游戏的规则是否公平．
【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
【专题】543：概率及其应用．
【分析】（1）利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得小军胜与小波胜的概率，比较概率的大小，
即可得这个游戏是否公平；使游戏规则游戏公平，只要使得小军胜与小波胜的概率相等即可．
【解答】解析（1）已知一共有5颗棋子，其中标有字母Y的棋子有2颗，故随机摸到标有字母Y的棋子的概率P ＝．
（2）记标有字母Y的棋子分别为Y1，Y2，标有字母Z的棋子为Z1，Z2，
列表得
X Y1Y2Z1Z2
X﹣﹣（X，
Y1）（X，
Y2）
（X，
Z1）
（X，
Z2）
Y1（Y1，
X）﹣﹣（Y1，
Y2）
（Y1，
Z1）
（Y1，
Z2）
Y2（Y2，
X）（Y2，
Y1）
﹣﹣（Y2，
Z1）
（Y2，
Z2）
Z1（Z1，
X）（Z1，
Y1）
（Z1，
Y2）
﹣﹣（Z1，
Z2）
Z2（Z2，
X）（Z2，
Y1）
（Z2，
Y2）
（Z2，
Z1）
﹣﹣
总共有20种等可能的情况．
其中摸到标有字母X的棋子的情况有8种，摸到标有两个相同字母的棋子的情况有4种，故小军获胜的概率P1＝＝，小波获胜的概率P2＝＝，
∵P1＞P2，
∴该游戏的规则不公平．
23.如图，在△ABC中，AC＝BC，⊙O经过BC两点，交BA延长线于点E，过点E作⊙O
的切线交CA于点F，且EF∥OC．
（1）求证：∠BAC＝45°；
（2）设CO交AB于点G，若BC＝7，sin F ＝，求CG的值．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【专题】14：证明题；55C：与圆有关的计算；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的性质可得∠COE＝∠FEO＝90°，根据圆周角定理可得∠ABC＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得∠BAC＝45°；（2）如图，过点G作GM⊥AC于点M，设GM＝3x，则CM＝4x，CG＝5x，结合△ABC 和△AMG是等腰直角三角形，即可求出x的值，进而得CG的值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵FE是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴∠FEO＝90°，
∵EF∥OC，
∴∠COE＝∠FEO＝90°，
∴∠ABC＝COE＝45°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°；
（2）如图，过点G作GM⊥AC于点M，
∵EF∥OC，
∴∠OCF＝∠F，
∴sin∠OCF＝sin F＝，
设GM＝3x，则CM＝4x，CG＝5x，
∵∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴△ABC和△AMG是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝7，AM＝GM＝3x，
∴3x+4x＝7，
解得x＝1，
∴CG＝5x＝5．
24.如图，直线y＝﹣x﹣3与坐标轴交于点A、C，经过点A、C的抛物线．y＝ax2+bx+c
与x轴交于点B（2，0），点D是抛物线在第三象限图象上的动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若线段AC恰好将△ADE的面积分成1：4的两部分，请求出此时点D的坐标．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；66：运算能力；68：模型思想；69：应用意识；6A：创新意识．
【分析】（1）根据直线的关系式可求出点A、C的坐标，将A、B、C三点坐标代入抛物线的关系式，可求出待定系数a、b、c，进而确定抛物线的关系式；
（2）将线段AC恰好将△ADE的面积分成1：4的两部分，转化为EF＝DE，或EF＝DE 两种情况进行解答，分别用关系式表示出FE、DE，求出相应的x的值，检验并求出点D的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣3与坐标轴交于点A、C，
当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），C（0，﹣3），
将A、B、C三点坐标代入抛物线的关系式得，
，解得，，
∴抛物线的关系式为y＝x2+x﹣3；
（2）设点D（x，x2+x﹣3），则点F（x，﹣x﹣3）
∴DE＝|x2+x﹣3|＝﹣x2﹣x+3，EF＝|﹣x﹣3|＝x+3，
若线段AC恰好将△ADE的面积分成1：4的两部分，则EF＝DE，或EF＝DE，
①当EF＝DE时，即x+3＝（﹣x2﹣x+3），
解得，x1＝﹣6，x2＝﹣8，
又∵﹣6＜x＜0，
x1＝﹣6，x2＝﹣8，均不符合题意舍去，
②当EF＝DE时，即x+3＝（﹣x2﹣x+3），
解得，x1＝﹣6，x2＝﹣，
又∵﹣6＜x＜0，
x1＝﹣6不符合题意舍去，x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝×﹣﹣3＝﹣，
∴点D（﹣，﹣）．
25.（1）如图1，在△ABC内有一点D，且AD＝BD＝CD，若∠BAC＝40°，则∠DBC＝
80°．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝5，作线段CD＝3，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE、AD、BE．求证：△ACD≌△BCE；
（3）在（2）的条件下，设AD、BE所在直线交于点Q（如图3），求△ABQ面积的最小值．
【考点】RB：几何变换综合题．
【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）由等腰三角形性质得∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，再计算∠ABD+∠ACD+∠BAD+∠CAD，由三角形内角和定理依次求得∠CBD+∠BCD和∠BDC；
（2）先由∠CAB＝∠CBA＝45°得∠ACB＝90°，AC＝BC，现由旋转性质得∠DCE′＝∠ACB＝90°，CD＝CE，再由角的和差关系得∠ACD＝∠BCE，进而根据三角形全等的判定定理得结论；
（3）因D在以C为圆心，3为半径的圆上，当CD⊥AD时，AQ+BQ的值最小，此时△ABC的面积的最小值，求得此时的面积便可．
【解答】解：（1）∵AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠ACD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠CBD+∠BCD＝∠ABD+∠ACD＝∠BAD+∠CAD＝180°﹣（∠ABD+∠ACD+∠BAD+∠CAD）＝100°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠DCB）＝80°，
故答案为：80；
（2）∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE′＝∠ACB＝90°，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CBE+∠ABC+∠BAQ＝∠CAD+∠ABC+∠BAQ＝180°﹣∠ACB＝90°，∴，
∵AQ•BQ＝＝﹣25，∴﹣12.5，
∴当AQ+BQ取最小值时，S△ABQ的值最小，
若CD⊥AD时，如图1，
此时，∠CDQ＝∠DQB＝∠DCE＝90°，
∴四边形CDQE为矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形CDQE为正方形，
∴DQ＝EQ，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝5，
∴BC＝AC＝AB＝5，
∵CD＝CE＝3，
∴AD＝BE＝，
∴AQ+BQ＝AD+DQ+AQ＝AD+BE＝8，
若AD与CD不垂直时，如图2，
过C作CF⊥AQ于点F，作CG⊥BQ于G，
∵∠AQG＝90°，
∴四边形CFQG是矩形，
∴∠FCG＝90°＝∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECG，
∵CD＝CE，∠CFD＝∠CGE＝90°，
∴△CDF≌△CEG（AAS），
∴CF＝CG，
∴四边形CFQG为正方形，
∴QF＝QG，
∴AQ+BQ＝AF+FQ+AQ＝AF+QG+BQ＝AF+BG，∵AF＝BG＝，
∵CG＜CE，CE＝3，
∴AF＝BG＞4，
∴AQ+BQ＞8，
由上可知，当CD⊥AD时，AQ+BQ的最小值为8．∵S△ABQ＝﹣12.5，
∴当AQ+BQ＝8时，S△ABQ的值最小为3.5，
即△ABQ面积的最小值为3.5．。