江苏省启东中学2020学年高一数学下学期期中试题(创新班)

江苏省启东中学2020学年度第二学期期中考试
高一创新班数学
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1.当时，的值等于
A. 1
B.
C. i
D.
2.则
A. 1
B.
C. 1023
D.
3.从集合中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为
A. B. C. D. 1
4.设集合，0，，，2，3，4，，那么集合A中满足条件
“”的元素个数为
A. 60
B. 90
C. 120
D. 130
5.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花
池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽
种方案( )
A. 180种
B. 240种
C. 360
D. 420种
6.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有种．
A. 720
B. 480
C. 144
D. 360
7.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10
个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是
A. B. C. D.
8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参
加志愿者活动，则小明到老年公
寓可以选择的最短路径条数为
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
9.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为．
A. B. 7 C. D. 28
10.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出
两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4
件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有__种
12.已知，展开式中的系数为1，则a的值为________．
13.计算： ______ ．
14.绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗如图规定：
每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法。

用数字作答
15.在三行三列的方阵中有9个数2，3，，2，，从中任取3个数，
则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是________．
16.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中任取4个不共面的点，不同的取法
有用数字作答
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知复数w满足为虚数单位，．
求z；
若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
18.已知复数为虚数单位．
设，求
若，求实数的值
19.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？
其中甲不站排头，乙不站排尾；
其中甲、乙、丙3人两两不相邻；
其中甲、乙中间有且只有1人；
其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．
20.已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
求n的值；
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式中所有的有理项．
21.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6
元，超过1小时的部分每小时收费8元不足1小时的部分按1小时计算现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
Ⅰ若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；
Ⅱ若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
22. 已知函数，其中，
若，，求的值；
若，
，求
1，2， 3，，的最大值；
若，求证：
1()n
k k
n n k k k x f x x n -==∑ð
江苏省启东中学2020学年度高一年级第二学期创新班数学期中考试
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
23.当时，的值等于
A. 1
B.
C. i
D.
【答案】D
【解析】解：由得，，
，
故选：D．
由已知求得，代入得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i得运算性质，是基础题．
24.则
A. 1
B.
C. 1023
D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解本题属于基础题型．
本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案．
【解答】
解：令代入二项式，
得，
令得，
，
故选D．
25.从集合中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】解：从集合4，中随机选取一个数m，则时：椭圆为：，离心率为：，
时，方程，表示圆；
时，椭圆方程，离心率为：，
方程表示离心率为的椭圆的概率为：．
故选：C．
分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，古典概型概率的求法，考查计算能力．
26.设集合，0，，，2，3，4，，那么集合A中满足条件
“”的元素个数为
A. 60
B. 90
C. 120
D. 130
【答案】D
【解析】解：由于只能取0或1，且“”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
中有2个取值为0，另外3个从，1中取，共有方法数：；
中有3个取值为0，另外2个从，1中取，共有方法数：；
中有4个取值为0，另外1个从，1中取，共有方法数：．
总共方法数是．
即元素个数为130．
故选：D．
从条件“”入手，讨论所有取值的可能性，分为5个数值中有
2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．
本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．
27.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花
池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽
种方案( )
A. 180种
B. 240种
C. 360
D. 420种
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．
【解答】
解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，
若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；
或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，
若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，
故最多有种栽种方案，
故选D．
28.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有种用数字
作答．
A. 720
B. 480
C. 144
D. 360
【答案】B
【解析】【分析】
甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的，即可得出结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．
【解答】
解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，
甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，
甲、乙均在丙的同侧，有4种，
甲、乙均在丙的同侧占总数的，
不同的排法种数共有种．
故选：B．
29.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10
个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】
解：X服从超几何分布，
因为有6个小镇不太方便，
所以从6个不方便小镇中取4个，
，
故选A．
30.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参
加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有种走法，利用乘法原理可得结论．
【解答】
解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法．同理从F到G，最短的走法，有种走法．
小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法．
故选B．
31.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为．
A. B. 7 C. D. 28
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题利用
二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．
【解答】
解：依题意，，
．
二项式为，其展开式的通项
令解得．
故常数项为．
故选B．
32.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出
两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则
，，，，，，，，，，，共包含20个基本
件
其中事件，，，，，包含6个基本事件，
所以
故选B．
先求出从5个小球中取出2个的个数，然后求出事件：取出的两个球上编号之积为奇数的个数，由概率计算公式，可得结论．
本题考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
33.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4
件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______ 种【答案】1080
【解析】【分析】
本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，对问题的理解、转化也很关键．
第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，由分步原理计算即可．
【解答】
解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有．
故答案为：1080．
34.已知，展开式中的系数为1，则a的值为________．
【答案】
【解析】【分析】
利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求的系数，列方程求得a的值本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．
【解答】
解：．
其展开式中的系数为，
即，
解得或不合题意，舍去；
的值为．
故答案为：．
35.计算： ______ ．
【答案】1140
【解析】解：
，
，
，
故答案为：1140．
利用组合数公式的性质，可得
，化简得到结果．
本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质，即
，属于基础题．
36.绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗如图规定：
每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法。

用数字作答
【答案】20
【解析】【分析】
本题考查组合数的应用，将6口转化为顺序不变的两个3口问题，只要确定哪三口吃第一串的三颗即可．
【解答】
解：总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，
因此不同的吃法有种，
故答案为20．
37.在三行三列的方阵中有9个数2，3，，2，，从中任取3个数，
则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题．
【解答】
解：从9个数中任取3个数共有种不同的取法，
若3个数中有2个数位于同行或同列，则有种不同的取法，
若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法，
设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，
则事件M包含的取法共有种，
根据古典概型的概率计算公式得．
故答案为
38.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中任取4个不共面的点，不同的取法
有用数字作答
【答案】141
【解析】
【分析】
本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏由题意知从10个点中任取4个点有种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果
【解答】
解：从10个点中任取4个点有种取法，
其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱，
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，
不同的取法共有种．
故答案为141．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
39.已知复数w满足为虚数单位，．
求z；
若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
【答案】解：解法一：，，
．
解法二：设、，，
得，
，
以下解法同解法一．
是关于x的方程的一个根，
，，
，q为实数，，
解得，．
解方程，得
实数，，方程的另一个根为．
【解析】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．
解法二：设、，利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出．
40.已知复数为虚数单位．
设，求
若，求实数的值
【答案】解：由复数，得．
则，
故；
，
由复数相等的充要条件得：
，
解得．
【解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法以及复数相等的充要条件，是基础题．
由复数，得，把z和代入化简再由复数求模公式计算得答案；
直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数相等的充要条件列方程组，求解即可得答案．
41.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？
其中甲不站排头，乙不站排尾；
其中甲、乙、丙3人两两不相邻；
其中甲、乙中间有且只有1人；
其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．
【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：
、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，
、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，
乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，
剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，
则此时有种排法；
故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种
根据题意，分2步进行分析，
、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，
排好后，有5个空位，
、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况，
则共有种排法
根据题意，
、先将甲、乙全排列，有种情况，
、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，
、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，
则甲、乙中间有且只有1人共有种排法
根据题意，分2步进行分析：
、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种排法，
、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，
则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种．
【解析】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用．
42.已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
求n的值；
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式中所有的有理项．
【答案】解：二项式展开式的通项公式为
，1，2，，；
根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得
，即，
解得；
展开式中所有二项式系数的和为
；
二项式展开式的通项公式为
，1，2，，；
当，2，4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为
，
，
．
【解析】写出二项式展开式的通项公式，根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；
利用展开式中所有二项式系数的和为，即可求出结果；
根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．
本题考查了二项式展开式中二项式系数和的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，是综合性题目．
43.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6
元，超过1小时的部分每小时收费8元不足1小时的部分按1小时计算现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
Ⅰ若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；
Ⅱ若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
【答案】解：Ⅰ设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，
则．
所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．
Ⅱ设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，，14，22，
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情形．
其中，，，，这4种情形符合题意．
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．
【解析】Ⅰ根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．
Ⅱ先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．
本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．
44.已知函数，其中，
若，，求的值；
若，，求1，2，3，，的最大值；
若，求证：．
【答案】解：若，时，
，
令得，
令得，
可得；
，
，
不妨设中1， 2，，，
则，则，解得或，
所以，的最大值为；
若，，
，
因为
，
所以
．
【解析】本题考查了二项式定理的应用，是难题．
若，时，令和令，由赋值法即可得出结果；
由，不妨设中，则，得或，即可得出最大值；
若，，因为，代入即可即可得证．。