直线与平面的垂直

b'
a
b
α
B
A
B
由于点的选取具有任意性, 由于点的选取具有任意性 我们用点到直线的距离来表示两条平行线间的距离 点到直线的距离来表示 我们用点到直线的距离来表示两条平行线间的距离
A'
c
B'
b
M
两条相交直线的位置关系我们使用角度而非距离 来刻画
a
平行直线到平面的的距离如何刻画? 平行直线到平面的的距离如何刻画?
C
课堂练习 1,书 P99/1,2 2, 如图在正方体
ABCD A1 B1C1 D1
D1 A1
中,求A1B与平面A1DCB1的交角 C1
B1 O
D A B
C
�
距离来刻画它们的位置关系吗
距离计算的典型例题: 距离计算的典型例题 例2,如图在长方体
ABCD A1 B1C1 D1
中,
AB = 4, BC = 4, AA1 = 3
求直线B1C1和平面A1BCD1的距离
D1
C1
A1 D E A
B1 C
B
例3,已知在平面 α 内有直角BAC,在它的两条边上取AB=3cm,AC=12cm,若线段 PB=4cm,且 PB ⊥ α 求:
l
α
M
过一点有多少条直线和已知直线垂直?无数条 过一点有多少条直线和已知直线垂直?
专题二:平行 垂直与距离 专题二 平行,垂直与距离 平行
我们一般用"距离"来刻画两个元素间的相对位置关系 我们一般用"距离"来刻画两个元素间的相对位置关系: A A
B
A
l
l
d =| AB |
点到平面的的距离如何刻画? 点到平面的的距离如何刻画? B C A B'
求:P与六边形各顶点的连线与平面ABCDEF的交角
P F A 重要结论: 重要结论 B C E D
从平面外一点出发所引的两条斜线段相等,则射影长相等; 从平面外一点出发所引的两条斜线段相等,则射影长相等; 斜线段较长的其射影也较长;反之亦然. 斜线段较长的其射影也较长;反之亦然. 例2,点A在平面BCD外,AB=AC=AD=BC=CD=DB,E为AD的中点 A 求:CA,CE与平面BCD的交角 E B D
直线与平面的垂直
直线与平面的三种位置关系: 直线与平面的三种位置关系:
l
l
α
l
α
α
l
α
空间中的线面关系 2,线面垂直 , 定义:直线与平面内的任何一条直线都垂直, 定义:直线与平面内的任何一条直线都垂直,
那么就称这条直线和这个平面相互垂直. 那么就称这条直线和这个平面相互垂直. 相互垂直 直线和平面的交点称为垂足 直线和平面的交点称为垂足
a ⊥ l, b ⊥ l
l ⊥α a, b α , a ∩ b = M
l
α
M
a' a
b' b
M'
a
c
b
例1,如图,已知OA,OB,OC两两垂直 如图,已知OA,OB,OC两两垂直 OA 求证:OA⊥平面 平面OBC (1)求证:OA⊥平面OBC 求证: (2)求证:OA⊥BC O
A
B 要证线面垂直(根据判定定理:一条直线与一个平面 要证线面垂直 内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.) 要证线线垂直(可先证一条直线与另一条直线所在 要证线线垂直 的面垂直,再得到线线垂直.)
l
α
M
直线和平面垂直的判定定理: 直线和平面垂直的判定定理:
l ⊥ α , l ∩α = M
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的两条相交直线都垂直 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的两条相交直线都垂直, 并且和这个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直. 那么这条直线和这个平面垂直
P
垂直关系链是证明垂直的重要方法
B
α
A
C
PB ⊥ α AC ⊥ PB(定义) (判定定理) AC α AC ⊥ 面PAB (定义) AC ⊥ PA AC ⊥ AB
线面垂直
线线垂直
PA 面PAB
线面垂直
线线垂直
两个重要结论: 两个重要结论: 过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 过一点有且仅有一个平面和已知直线垂直
A到平面PBC , C到平面PAห้องสมุดไป่ตู้, B到平面PAC的距离
P
B
α
A
C
空间中的线面关系 3,直线与平面的交角 ,
斜交:直线与平面相交但不垂直 斜交 斜线 l 称为斜线 M 斜线段 PM 称为斜线段 称为斜足 斜足
l
' P
P
斜线与平面的相对位置关系可以用角度来刻画 如何找到或做出这个角? ?
α
M
P P' 1 1
C
例2:已知长方体ABCD :
A1 B1C1 D1中, 1G ⊥ BC 1 且交 BG1于G B 求证: 求证:B1G ⊥ 平面ABC1 D1
D1 A1 B1 C1
G
D A B
C
内有直角BAC,在它的两条边上取 在它的两条边上取AB=3cm,AC=12cm,若线段 例3,已知在平面α 内有直角 , 在它的两条边上取 若线段 PB=4cm,且PB ⊥ α 求,PA,PC的长 且 的长
l
A
B
?平行线上的每一点到平面的距离是否相等
同样地,由于点的选取具有任意性 同样地 由于点的选取具有任意性, 由于点的选取具有任意性 我们用点到平面面的距离来表示平行直线 用点到平面面的距离来表示 我们用点到平面面的距离来表示平行直线 到平面的距离
α
A'
B'
?如果直线与平面不平行 我们还能使用 如果直线与平面不平行,我们还能使用
B
A'
d =0
d =| AA' | ≤| AB |
思考:在平面直角坐标系平面, 思考:在平面直角坐标系平面,刻画点在平 面上的位置需要用一对有序实数对, 面上的位置需要用一对有序实数对,为什么 在空间中反而只需要使用一个实数了呢? 在空间中反而只需要使用一个实数了呢?
α
C'
dA = 0
d B =| BB' |
d c =| CC ' |
a 例1,已知: // b, a
⊥α
利用线面垂直的判定,求证: b
⊥α
a c
d
b
如果两条平行线中的一条垂直于一个平 面,那么另一条也垂直与这个平面. 那么另一条也垂直与这个平面.
α
?它的逆命题如何表述 直线和平面垂直的性质定理: 直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线相互平行. 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线相互平行
l1
P 称为P在平面 α 上的射影 P 射影 1
直线与平面的交角: 直线与平面的交角
l1 称为l 在平面 α上的 射影
斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 特别的:
l
l
l
α
α
α
一般地:直线与平面交角的范围 范围是 范围
π] [0 ,
2
例1,ABCDEF是边长为a的正六边形,PA垂直于其所在平面,且PA=a