第二章_飞行器运动方程(1)

一个角运动 : 俯仰q
纵向两个线运动:高 航度 程HL
侧向两个角运动:滚 偏转 航pr 一个线运动 : 侧偏Y
坐标系选择
坐标系选择：选坐标系—机体系
飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（飞 机姿态变化），及飞机三个线位置的变化，在建 立六自由度方程时，选机体坐标系。
选体轴系下列好处：
2、线运动学方程式
线位置运动学方程 ：地轴系与体轴系间线
速度关系：
让地轴系依次按 转动即可：
绕 oz 轴转 得到 x1 y1z g
x1 cos
y1
sin
z g 0
sin cos
0
0 x g
0
y
g
C
xg
y
g
1 z g
z g
2、线运动学方程式
再绕轴 oy1 转 得到 xy1 z2
飞行控制系统
第二章 飞行器运动方程 (一）
第二章 飞行器运动方程
刚体飞行器运动方程组 飞机的纵向运动 飞机的横侧向运动
2.1、飞行器运动方程组
一、建立飞机运动方程的基本假定 二、六自由度飞机运动方程 三、飞机运动方程的分组与线性化
一、建立飞机运动方程的基本假定：
认为飞机不仅是刚体，而且质量不变； 假定地球固定于空间，即略去地球自转、公转的
dV dt
1V
dV dt
V
dL dL dt 1H dt L
1、牵连运动
1V ：沿 V 的单位向量； ：动坐标系对惯性系的总角速度向量；
1L
：沿动量矩 ：表示叉乘
L的单位向量；
v
是牵连加速度。
dV dH
dt 和 dt ：表示在动坐标系内的相对导数。
dV 和 dH ：表示在惯性坐标系内的绝对导数。
p (c1r c2 p)q c3L c4 N q c5 pr c6 ( p2 r2 ) c7M r (c8 p c2r)q c4L c9 N
3、动力学方程式
取机体座标系作为动座标系 力矩的平衡方程式：
L M
pI x qI r
rI xz pr(I x
qr(I z Iz)
dt
dyg u sin cos v(sin sin sin cos cos) w(sin cos cos sin sin )
dt
dH u sin v cos sin wcos cos
dt
飞机运动的六自由度方程组（2）
飞行速度V与机体坐标轴上的分量u, v, w关系。
u
V V cos
k Izr Ixz p I yzq dm
3、角运动方程式
考虑到飞机有对称面（oy轴），而有 ：
Ixy Izy 0
由此可得（相对动坐标系的动量矩）：
Lx pIx rIz
Ly
qI y
Lz rIz pIxz
3、角运动方程式
用机体系表示绝对参数变化时：
dL dL dt IL dt L
影响; 假定飞机有一个对称面xoz（机体坐标系）,且飞
行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对 称，惯性积 ; I xy Izy O 忽略地面曲率，视地面为平面;
二、 六自由度飞机运动方程
1、飞机运动的自由度：(six-degrees-of freedom)
飞机在空间的运动有六个自由度，即质心沿地 面坐标系的三个移动自由度和绕机体坐标轴系 的三个转动自由度 。
向径 r ix iy kz
角速度 ip jq kr
3、角运动方程式
L i ( y2 z2 ) p xyq xzr dm j (z2 x2 )q yzr xyp dm k (x2 y2 )r xzp yzq dm i (Ix p Ixyq Ixzr)dm j (I yq I yzr Ixy p)dm
dt
dt
3、飞机运动方程
方程应包括动力学方程及运动学方程：
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系，找 出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。
2、线运动方程
用机体系表示绝对参数变化时：
dv
d~v
1v
d~v dt
dt
Iv
dt
为速度向量 V
v
相对于动坐标系的变化率，
V
p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。
当 0, 0时，没有一个角速度分量是水
平或垂直的。
1、角运动学方程式 把 , , 向机体三轴投影的话，只有p包含 的
全先部令，p,q,求r都 包0 含与,p,,q,r的的投关影系分。量再。将为简加单上起可见得，：
p 1 0
0 cos 0 sin 0
Lx Ly Lz
3、角运动方程式
将合力矩沿机体坐标系分解
M iL jM kN
L pI x rI xz qr(I z I r ) pqI xz M qI r pr(I x I z ) ( p 2 r 2 )I xz N rI z pI xz pq(I r I x ) prI xz
一、动力学方程
u vr wq g sin Fx
m
v ur wp g cos sin Fy
m
w uq vp g cos cos Fz
m
3、角运动方程式
飞机动量矩的推导：
dL r ( r )dm
dm r
r
L dL r ( r )dm iLx jLy kLz
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运 动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
力平衡方程式：理论依 据―dv牛顿第二定律： F ma m dt 力矩的平衡方程式： 理论依据―动量矩定理 ：
M
dL dt
一、动力学方程式
1、牵连运动 选定地面坐标系为惯性坐标系，因此，
基于机体坐标系建立的飞机运动方程要考 虑牵连运动。
假定3利用飞机对称平面，使 I xy Izy 0 ； 飞机质量不变，因此转动惯量和惯性积为常值；
机体轴的姿态角和角速度就是飞机的姿态角和 角速度。
一、动力学方程
动力学方程——以动力学为基础， 描述力与力矩平衡关系的方程，亦即 为考虑在体轴系下运动参数与力、力 矩的方程。（由于体轴系为动坐标系， 所以建方程时既要考虑相对运动，又 要考虑绝对运动。
F
m
dv dt
Fy
Fz
Y
Z
(v ur wp)m (w vp up)m
飞机六自由度方程组（1）
角位置运动学方程式
q cos r sin p (r cos q sin )tg 1 (r cos q sin )
cos
线位置运动学方程式
dxg u cos cos v(cos sin sin sin cos) w(cos sin cos sin sin)
Ir) (p2
pqI xz r 2 )I xz
N rI z pI xz pq(I r I x ) prI xz
力平衡方程式：
Fx
X
(u
wq
vr)m
F
m
dv dt
Fy
Fz
Y
Z
(v ur wp)m (w vp up)m
二、运动学方程式
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系， 找出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。包括两种方程：
dt
w( sin cos cos sin sin ) dH u sin v cos sin wcos cos
dt
2、线运动学方程式
xg V cos cos yg V cos sin h V sin
飞机六自由度方程组（1）
状态向量：
u v w p q r xg yg h 控制输入：
角位置运动学方程式
给出p、q、r与 、、的关系
线位置运动学方程
给出地轴系与体轴系间线速度关系 。
1、角运动运动学方程式
X
Yg
Xg
p O
q
Y
r
Zg Z
姿态角变化率的方位图
由图可知：
：为沿oz g轴的向量，向下为正。 ：在水平面内与ox轴在水平面上的投影相
垂直，向右为正。
：沿ox轴向量，向前为正。
mV T cos cos D Gxa mV T cos sin Y mV ( p sin r cos ) Gya mv cos T sin L
mV ( p cos sin q cos r sin sin )
Gza
三、飞机运动方程的解耦分组与线性化
1、飞机运动方程的解耦分组 （1）两种特殊飞行状态：
T e a r
飞机六自由度方程组（1）
力矩的平衡方程式：
L M
pI x qI r
rI xz pr(I x
qr(I z Iz)
Ir (p
)
2
pqI xz r 2 )I xz
N rI z pI xz pq(I r I x ) prI xz
力平衡方程式：
Fx
X
(u
wq
vr)m
a、当滚转角和侧滑角满足条件 0 ，存 在着代数关系式
| 0
b、当俯仰角、滚转角和迎角满足条 件 0 ，存在着代数关系式：
|
（2）稳态飞行 飞机进行稳态飞行的的条件：
p q r u v w0
附加下列限制条件后，又各有不同的飞行状态：
a) 机翼水平稳态飞行： 0,则p q r 0 b) 稳态转弯飞行： 0, 转弯速率 c) 稳态拉起飞行： 0, 拉起速率 d) 稳态滚转飞行： 0, 滚转速率
v
ST
0
V sin
w body
0 wind V sin cos
状态向量：
V p q r xg yg h
控制输入：
T e a r
3、飞机运动的六自由度方程组（2）
Fx T L sin Y cos sin D cos cos Fy Y cos D sin Fz L cos Y sin sin D sin cos
（3）飞机的纵向运动和横侧向运动
利用水平无侧滑条件 0和 p r 0，
飞机运动方程解耦为不依赖于横侧向状态量的纵 向运动方程：
mV T cos D mg(cos sin sin cos )
mV T sin L mg(sin sin cos cos )
mV T sin L mVq mg(sin sin cos cos )
dxg
dt dyg
dt dz g
v
xg
v yg
v
zg
C C
C
vx v y v z
C C
C
u
v
w
dt
2、线运动学方程式
线位置运动学方程式
dxg u cos cos v(cos sin sin sin cos)
dt
w(cos sin cos sin sin) dyg u sin cos v(sin sin sin cos cos)
q
0
cos
sin
0
1
0
0
r 0 sin cossin 0 cos 0
1、角运动学方程式
角位置运动学方程式
q cos r sin p (r cos q sin )tg
1
(r cos q sin )
cos
p、q、r一定正交，但 , , 三者不一定正交。
x cos
y1
0
z2 sin
最后绕 ox
0 1
sin 0
x1 y1
C
x1 y1

0 cos z g z g
轴转 得到 xyz
x 1
y
0
z 0
0
cos sin
0 x x
sin
y
C
y1
cos z z2
2、线运动学方程式
地轴系与体轴系间线速度关系 ：飞机质心速度分 量由机体座标系转换到地面座标系
其中
：
IL
dL dt
i
dLx dt
j dLy dt
k dLz dt
L 表示随动坐标系的牵连运动。
3、角运动方程式
假定飞机为质量不变的刚体，惯性矩和 惯性积均为时不变的常量，则
dLx dt
pI x
rIxz
dLy
dt
qI y
dLz
dt
rIz
pI xz
i jk
L p q r i qLz rLy j rLx pLz k pLy qLx
为由于动坐标系转动而引起的向量变化率，是牵连
加速度。
Iv
dv dt
iu
jv
kw
v
i p
j q
k r i(wq vr) j(ur wp) k(vp uq)
uvw
一、动力学方程 力平衡方程式：
F iX jY kZ
X (u wq vr)m
F
m
dv dt
Y Z
(v ur wp)m (w vp up)m