高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)(理科)试题

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东
卷）（理科） 试题 2019.09
1,已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tanA 的值；
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R)的值域.
2,三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为
111,,,
543且他们是否破译出密码互不影响.
(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
3,如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；
(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离.
4,已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y=x 2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n+1=b n +2n
a ，求证：
b n ·b n+2＜b 2n+1.
5,已知函数32
()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数
()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.
(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a ＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
6,如图，椭圆22
22:1
x y C a b +=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，
0）.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l:x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M.
(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.
7,已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）
A ．(15)，
B ．(13)，
C ．
D ． 8,记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2a =
，420S =，则6S =（ ）
A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
9,某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
A ．24
B ．18
C ．16
D ．12
10,若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪
+⎪⎨
⎪⎪⎩，，，，
≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）
A ．90
B ．80
C ．70
D ．40
11,将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
12,已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．()p q ⌝∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()()p q ⌝∨⌝
13,设a ∈R ，若函数
3ax
y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．
13a >-D ．13a <-
14,在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE
的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）
A ．1142+a b
B ．2133+a b
C ．1124+a b
D ．1233+a b
15,阅读图的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）
16,已知26
(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8
x 的系数小于120，则k = ．
17,经过圆
2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．
18,已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．
19,已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，
π4cos 002ρθρθ⎛
⎫=<
⎪
⎝
⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．
20,已知a ∈R ，若关于x 的方程
21
04x x a a ++-
+=有实根，则a 的取值范
围是 ．
试题答案
1, 解：（Ⅰ）由题意得 m ·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA ≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).
22f x x x x x x =+=-+=--+
因为x ∈
R,所以
[]sin 1,1x ∈-.
当
1sin 2x =
时，f(x)有最大值3
2，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，
所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
2, 解：本小题考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力..
记“第i 个人破译出密码”为事件A 1(i=1,2,3)，依题意有
123111
(),(),(),
54.3P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3相互独立.
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有
B ＝A 1·A 2·3A ·A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3 彼此互斥
于是P(B)=P(A 1·A 2·3A )+P （A 1·2A ·A 3）+P （1A ·A 2·A 3）
＝314154314351324151⨯
⨯+⨯⨯+⨯⨯＝203. 答：恰好二人破译出密码的概率为203
.
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D. D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有
P （D ）＝P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）＝324354⨯
⨯＝52.
而P （C ）＝1-P （D ）＝53
，故P （C ）＞P （D ）.
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
3, 解：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.. 解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD 卡中PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD. 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD,AD=2AB=2BC ， 有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC.
由（Ⅰ）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.
因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1，
在Rt △PBO 中，PB ＝
322=+OB OP , cos ∠PBO=36
32=
=PB
OB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36
.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2，
在Rt △POC 中，PC ＝22
2=+OP OC ，
所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=23
.
又S △=,121
=∙AB AD
设点A 到平面PCD 的距离h ，
由V P-ACD =V A-PCD ，
得31S △ACD ·OP ＝31
S △PCD ·h ， 即31×1×1＝31
×23×h ， 解得h ＝33
2.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O 为坐标原点，、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系O-xyz. 则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0）， D （0，1，0），P （0，0，1）.
所以(1,1,0)CD =-(1,1,1)PB =--，
cos ,3PB CD PB CD PB CD
∙<>=
＝
，
所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36
，
（Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0）， 则 n ·＝0，所以 -x 0+ x 0=0,
n ·＝0， -x 0+ y 0=0， 即x 0=y 0=x 0,
取x 0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0).
从而点A 到平面PCD 的距离d
.3
3
232==
4, 解：本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归
思想，推理与运算能力.解法一：
（Ⅰ）由已知得a n+1=a n +1、即a n+1-a n =1，又a 1=1, 所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n =1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n+1-b n =2n . b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+···+（b 2-b 1）+b 1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝2121--n =2n -1.
因为b n ·b n+2-b 21
+n =(2n -1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n +1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n +4·2n =-2n ＜0, 所以b n ·b n+2＜b 21
+n , 解法二：
（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b 2=1,
b n ·b n+2- b 2
1
+n =(b n+1-2n )(b n+1+2n+1
)- b 21
+n =2n+1·b n-1-2n ·b n+1-2n ·2n+1 ＝2n （b n+1-2n+1）=2n （b n+2n -2n+1）=2n （b n -2n ）=… =2n （b 1-2）=-2n 〈0， 所以b n -b n+2<b 2n+1
5, 解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……① 由f(x)=x 3+mx 2+nx-2，得f ′（x ）=3x 2+2mx+n,
则g(x)=f ′(x)+6x=3x 2+(2m+6)x+n;
而g(x)图象关于y 轴对称，所以－326
2⨯+m ＝0，所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f ′(x)＝3x 2-6x=3x(x-2). 由f ′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x)＝3x(x-2), 令f ′(x)＝0得x=0或x=2.
极大值极小值
当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值； 当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；
当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f(x)无极值.
6, 解：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力。

解法一：
（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b 2=a 2-c 2=3,
所以椭圆C 前方程为1
342
2=+y x .
(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n ≠0),34
2
2n m +
=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x 0,y 0),则有
由②，③得
x 0=523,5
2850-=
--m n
y m m
所以点M 恒在椭圆G 上.
(ⅱ)设AM 的方程为x=xy+1,代入342
2y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty-9=0.
设A(x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x
|y 1-y 2|=.4333·344)(22212
21++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则
|y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341
·3432λλλλ
λ 因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ
|y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F.
△AMN 的面积S △AMN=
.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=-
解法二：
（Ⅰ）问解法一：
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0). 设A(m,n),则B(m,-n)(n ≠0), .1342
2=+n m ……①
AF 与BN 的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ……② n(x-4)-(m-4)y=0, ……③ 由②，③得：当≠523,52852
5-=--=x y n x x m 时，. ……④ 由④代入①，得
342
2y x +=1（y ≠0）. 当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩
解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾.
所以点M 的轨迹方程为22
1(0),43x x y +=≠即点M 恒在锥圆C 上.
（Ⅱ）同解法一.
7, C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z
8, D 【解析】4146202S d =⨯+=，3=∴d ，故61615482S d =⨯+=
9, C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯
10, C 【解析】画出可行域（如图），在(10,20)B 点取最大值max 31022070z =⨯+⨯=
11, A 【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 12, D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝ 为真命题
13, B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即
'()30ax f x ae =+=有正根。

当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13ln()x a a =-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-.
14, B 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出:1:2DF FC =,然后利用向量的加减法则易得答案B.
15, 【解析】要结束程序的运算，就必须通过n 整除a 的条件运算，而同时m 也整除a ，那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍数12，即此时有3i =。

16, 【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r r T C kx C k x +==，
我们知道8x 的系数为444615C k k =，即415120k <，也即4
8k <，而k 是正整数，
故k 只能取1。

17, 【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。

18, 【解析】 21cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x x -=-=-,
所以函数的最小正周期
2
2
T
π
π
==。

19, 【解析】解方程组
cos3
(0,0)
4cos2
ρθπ
ρθ
ρθ
=
⎧
≥≤<
⎨
=
⎩
得6
ρ
π
θ
⎧=
⎪
⎨
=
⎪
⎩,即两曲线的交
点为
)
6
π。

20, 【解析】方程即
2
1
4
a a x x
-+=--
,左边
1
4
a a
-+
在数轴上表示点a到
原点和1
4的距离的和，易见
11
44
a a
-+≥
（
1
[0,]
4
a∈
等号成立），而右边
2
x x
--的最大值是1
4，所以方程有解当且仅当两边都等于
1
4，可得实数a
的取值范围为
1 0,
4⎡⎤⎢⎥⎣⎦。