2014年陕西省数学中考试题含答案

2014年陕西省初中毕业学业考试
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第一部分(选择题 共30分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的) 1. 4的算术平方根是( ) A. －2 B. 2 C. －12 D. 1
2
2. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是( )
3. 若点A (－2，m )在正比例函数y ＝－1
2x 的图象上，则m 的值是( )
A. 14
B. －1
4
C. 1
D. －1 4. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是( ) A.
110 B. 19 C. 16 D. 15
5. 把不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2>13－x ≥0的解集表示在数轴上，正确的是( )
6. 某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表：
人数 3 4 2 1 分数
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是( ) A. 85和82.5 B. 85.5和85 C. 85和85 D. 85.5和80
7. 如图，AB ∥CD ，∠A ＝45°，∠C ＝28°，则∠AEC 的大小为( )
第7题图
A. 17°
B. 62°
C. 63°
D. 73°
8. 若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－5
2ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为( )
A. 1或4
B. －1或－4
C. －1或4
D. 1或－4
9. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝6.若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )
第9题图
A. 4
B.
125 C. 24
5
D. 5 10. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
第10题图
A. c >－1
B. b >0
C. 2a ＋b ≠0
D. 9a ＋c >3b
第二部分(非选择题 共90分)
二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分) 11. 因式分解：m (x －y )＋n (x －y )＝________． 12. （节选）一个正五边形的对称轴共有________条．
13. 已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点．若x 2＝x 1＋2，且1y 2＝1y 1＋1
2，则这个反比
例函数的表达式为________．
14. 如图，⊙O 的半径是2.直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧．若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是________．
第14题图
三、解答题(共11小题，计78分．解答应写出过程)
15. （本题满分5分，新增）计算：2sin60°－(14
)－1＋|23－3|.
16. (本题满分5分)先化简，再求值：2x 2x 2－1－x x ＋1，其中x ＝－1
2.
17. （本题满分5分，新增）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 作一条直线，使其将Rt △ABC 分割成两个等腰三角形．(保留作图痕迹，不写作法)
第17题图
18. (本题满分5分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°.点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF ⊥AC ，分别交AC 于点E 、CB 的延长线于点F . 求证：AB ＝BF .
第18题图
19. (本题满分7分)根据《2013年陕西省国民经济和社会发展统计公报》提供的大气污染物(A —二氧化硫，B —氮氧化物，C —化学需氧量，D —氨氮)排放量的相关数据，我们将这些数据用条形统计图和扇形统计图统计如下：
根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(2)国务院总理李克强在十二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调，建设美好家园、加大节能减排力度，今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上都要减少2%.按此指示精神，求出陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约多少万吨？(结果精确到0.1)
20. (本题满分7分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE ＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
第20题图
21. (本题满分7分)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg收费22元，超过1 kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设
该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？
22. (本题满分7分)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市．由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三人意见不统一．在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定．规则如下：
①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球(安康)，这四个球除颜色不同外，其余完全相同；
②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀；然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；
③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止．
按照上面的规则，请你解答下列问题：
(1)已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？
23. (本题满分8分)如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)求AC的长．
第23题图
24. (本题满分10分)已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3，0)和B(0，3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式；
(2)求点M的坐标；
(3)将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′、它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
25. (本题满分12分)问题探究
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个
．．等腰△APD，并求出此时BP的长；
(2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点．当
AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长；
问题解决
(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳．已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270 m，AE＝400 m，ED＝285 m，CD＝340 m．问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由．
图①图②图③
第25题图
2014年陕西省初中毕业学业考试
1. B
2. A 【解析】本题考查几何体的三视图．由于题中正方体被截去一个直三棱柱，则上底面、下底面、前后平面中的边在几何体中都是实线段，所以左视图能够看到两个长方形，且中间的线段是实线，因此答案选A.
3. C 【解析】本题考查正比例函数图象上点坐标的确定．∵点A (－2，m )在正比例函数y ＝－1
2x 的图象上，
∴将(－2，m )代入y ＝－12x 得m ＝－1
2
×(－2)＝1.
4. A 【解析】本题考查概率的计算．最后一个数字可能是0～9中任意一个，总共有10种情况，其中能打开旅行箱只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．则小军能一次打开旅行箱的概率是1
10.
5. D
6. B 【解析】本题考查平均数、众数的计算．一组数据的平均数是所有数据之和除以数据的总个数．众数是一组数据中出现次数最多的数，所以这10名学生所得分数的平均数是(80×3＋85×4＋90×2＋95×1)÷(3＋4＋2＋1)＝85.5，因为85在这组数据中出现4次，是出现次数最多的数，故众数为85.
7. D
8. B 【解析】本题考查一元二次方程解的意义及解一元二次方程．∵x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2
－52ax ＋a 2＝0的一个根，∴(－2)2－5
2a ×(－2)＋a 2＝0, ∴a 2＋5a ＋4＝0，解一元二次方程得a ＝－4或a ＝－1.
9. C 【解析】本题考查菱形的性质．涉及直角三角形的勾股定理性质运用．如解图，连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AB ＝BC ＝5，AC ⊥BD ，BO ＝OD ，AO ＝OC ＝3，∴△AOB 是直角三角形．在Rt △AOB 中，AB 2＝BO 2＋AO 2，∴BO ＝4，∵S △ABC ＝12BC ·AE ＝12AC ·BO ，∴12×5AE ＝
12×6×4，∴AE ＝24
5
.
第9题解图
10. D 【解析】本题考查二次函数图象性质与其解析式的系数关系．
选项 逐项分析
正误 A 由于抛物线与y 轴的交点在点(0，－1)的下方，即c ＜－1，故选项A 错误 × B
由二次函数的图象开口向上可得a ＞0，由二次函数的对称轴和函数图象可
×
得x ＝－b
2a
＞0, ∴b ＜0，故选项B 错误
C
∵二次函数的对称轴在(0，4)范围内，∴当x ＝－b
2a
＝1时，有2a ＋b ＝0，
故选项C 错误
×
D
当x ＝－3时，图象位于x 轴的上方，∴y>0，∴(－3)2×a ＋(－3)×b ＋c ＞0，
即9a ＋c ＞3b ，故选项D 正确
√
第10题解图
11. (x －y )(m ＋n ) 【解析】原式的公因式是(x －y )，直接提公因式(x －y )即可．m (x －y )＋n (x －y )＝(x －y )(m ＋n )． 12. 5
13. y ＝4
x 【解析】本题考查反比例函数表达式的确定，涉及整体代入思想的运用．设反比例函数的表达式
为y ＝k x (k ≠0)，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是反比例函数y ＝k x 图象上的两点，故可得：y 1＝k x 1，y 2＝k
x 2，即
有x 1＝k y 1，x 2＝k y 2，代入已知条件x 2＝x 1＋2，可得：k y 2＝k y 1＋2，再将等式两边同时除以k 可得：1y 2＝1y 1＋2k .
结合题目已知1y 2＝1y 1＋12可得：2k ＝12，解得k ＝4，故反比例函数表达式为y ＝4
x
.
14. 42 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 为直角三角形．∵⊙O 的半径是2，∴AB ＝22＋22＝2 2.∵S 四边形MANB ＝S △AMB ＋S △ANB ，∴要使四边形MANB 面积最大，则需两个三角形的高的和最大．当MN 为直径时，高最大，由垂径定理可知MN ⊥AB 时，四边形MANB 面积有最大值，∴S 四边形MANB 最大值＝12AB·MN ＝1
2
×22×4＝4 2.
第14题解图
15. 解：原式＝2×3
2
－4＋(23－3) …………………………………………(3分) ＝3－4＋23－3
＝33－7. …………………………………………(5分) 16. 解：原式＝2x 2
（x ＋1）（x －1）－x （x －1）（x ＋1）（x －1）
＝2x 2－x 2＋x （x ＋1）（x －1）…………………………………………(2分) ＝x （x ＋1）
（x ＋1）（x －1）
＝
x
x －1
.…………………………………………(4分) 当x ＝－12时，原式＝－12－12－1＝1
3
.…………………………………………(5分)
17. 解：如解图所示，直线l 即为所求．…………………………………………(5分)
第17题解图
【作法提示】①分别以A 、C 为圆心，大于1
2AC 的长为半径作弧，交于两点，②过这两个交点作直线，交
AB 于点D ，③连接CD ，则CD 所在直线l 即为所求． 18. 证明：∵EF ⊥AC ， ∴∠F ＋∠C ＝90°. ∵∠A ＋∠C ＝90°，
∴∠A ＝∠F . …………………………………………(3分) 又∵DB ＝BC ，∠FBD ＝∠ABC ＝90°， ∴△FBD ≌△ABC (AAS)，
∴AB ＝BF . …………………………………………(5分)
第18题解图
19. 解：(1)根据A 的排放量及所占百分比，污染物的排放总量＝80.6÷37.6%≈214.4(万吨)， D 污染物排放量为：214．4×2.8%≈6(万吨)，
C 污染物排放量为：214．4－80.6－75.9－6＝51.9(万吨)， C 污染物排放量所占百分比为：51.9214.4
×100%≈24.2%，
B 污染物排放量所占百分比为：1－37.6%－24.2%－2.8%＝35.4%.
补全的条形统计图与扇形统计图如解图所示．…………………………………………(4分)
第19题解图
(2)由题意，得(80.6＋51.9)×2%≈2.7(万吨)．
∴陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约2.7万吨．(减少约2.6万吨也对)…………(7分) 注：(1)中结果准确，没有计算过程不扣分；有计算过程与结果，条形统计图的柱状图标高基本准确，而图上没有标高数据，不扣分；反之亦然．(2)中计算结果准确，没有回答不扣分． 20. 解：由题意，知∠BAD ＝∠BCE . …………………………………………(2分) ∵∠ABD ＝∠ABE ＝90°，
∴△BAD ∽△BCE ，…………………………………………(4分) ∴BD BE ＝AB
CB ， ∴
BD 9.6＝1.71.2
， ∴BD ＝13.6，
∴河流的宽BD 是13.6米．…………………………………………(7分) 21. 解：(1)由题意得当0＜x ≤1时，y ＝22＋6＝28； 当x ＞1时，y ＝22＋6＋10(x －1)＝10x ＋18. ∴y 与x 的函数关系式为：
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧28 （0＜x ≤1），10x ＋18 （x ＞1）.…………………………………………(5分) (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.
∴小李这次快寄的费用是43元．…………………………………………(7分)
22. 解：(1)由题意知共有16种等可能出现的结果，其中母女俩都摸出白球的结果只有1种． ∴母女俩各摸球一次，都摸出白球的概率是1
16.…………………………………………(3分)
(2)列表如下：
母亲摸球
小英摸球 红 白 黄 黑 红 (红，红) (红，白) (红，黄) (红，黑) 白
(白，红)
(白，白)
(白，黄)
(白，黑)
黄 (黄，红) (黄，白) (黄，黄) (黄，黑) 黑
(黑，红)
(黑，白)
(黑，黄)
(黑，黑)
从上表可知，共有16种等可能的结果，其中至少有一人摸出黄球的结果有7种．……………………(6分) ∴母女俩各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是7
16.…………………………………………(7分)
23. (1)证明：连接OD ，如解图，
第23题解图
∵BD 是⊙O 的切线，D 为切点，
∴OD ⊥BC ，…………………………………………(1分) ∵AC ⊥BD ， ∴OD ∥AC ， ∴∠3＝∠2， 又∵OD ＝OA ，
∴∠1＝∠3，…………………………………………(3分) ∴∠1＝∠2，
∴AD 平分∠BAC . …………………………………………(4分) (2)解：∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ， ∴
OD AC ＝BO BA ＝BO OA ＋OB ，…………………………………………(6分) ∵OA ＝OD ＝4，OB ＝6， ∴
4AC ＝64＋6＝610
， ∴AC ＝20
3
.…………………………………………(8分)
24. 解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－9－3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝3， ∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3. …………………………………………(3分) (2)∵x ＝－b
2a ＝－－22×（－1）＝－1，
∴y ＝－(－1)2－2×(－1)＋3＝4.
∴M (－1，4)．…………………………………………(5分)
(3)由题意知，以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形的边MN 的对边只有如解图中的M ′N ′、M ″N ″、N ′M ″1、N ″M ′2.
第24题解图
∴MN ∥M ′N ′且MN ＝M ′N ′，MN ∥M ″N ″且MN ＝M ″N ″，MN ∥N ′M ″1，且MN ＝N ′M ″1，MN ∥N ″M ′2且MN ＝N ″M ′2，
∴MN ·NN ′＝MN ·NN ″＝MN ·N ′N ＝MN ·N ″N ＝16.
∴NN ′＝NN ″＝4. …………………………………………(6分)
i )当以M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形是平行四边形MNN ′M ′或平行四边形MNN ″M ″时，将抛物线C 向左或向右平移4个单位可得到符合条件的抛物线C ′. …………………………………………(8分) ii )当以M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形是平行四边形MNM ″1N ′或平行四边形MNM ′2N ″时，将抛物线C 先向下平移8个单位，再向左或右平移4个单位，可得到符合条件的抛物线C ′.
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C ′. …………………………………………(10分) 25. 解：(1)符合条件的等腰三角形如解图①所示．
当AP ＝PD 时，P 在BC 的中垂线上，BP ＝2. …………………………………………(3分) (等腰△ADP ′，BP ′＝4－7；或等腰△ADP ″，BP ″＝7，也符合题意．)
第25题解图①
(2)以EF 为直径作⊙O , ∵E 、F 分别为AB 、AC 中点， ∴EF ∥BC ，EF ＝1
2BC ＝6，
∵AD ＝6，AD ⊥BC ， ∴EF 与BC 间距离为3，
∴以EF 为直径的⊙O 与BC 相切，
∴BC 上符合条件的点Q 只有一个，…………………………………………(5分)
第25题解图②
如解图②，⊙O 与BC 的切点记为Q ，连接OQ ，过E 作EG ⊥BC ，垂足为G ， ∴EG ＝3，∴四边形EOQG 为正方形， ∴GQ ＝EG ＝3，
在Rt △EBG 中，∠B ＝60°，EG ＝3， ∴tan B ＝EG BG ＝3
BG
＝ 3.∴BG ＝ 3.
∴BQ ＝BG ＋GQ ＝3＋ 3.…………………………………………(7分) (3)在CD 上存在符合题意的点M . …………………………………………(8分)
如解图③，构造等边△ABG ，作GP ⊥AB 于点P ，AK ⊥BG 于点K ，AK 与GP 交于点O ，以O 为圆心，OA 长为半径画圆，则⊙O 为△ABG 的外接圆，作OH ⊥CD 于点H .
第25题解图③
在Rt △AOP 中，P A ＝12AB ＝135 m ，OA ＝cos cos30AP AP OAP =∠︒
＝135
32
＝90 3 m ，OP ＝OA ·sin ∠OAP ＝903×sin30°＝1
2
×903＝45 3 m.
又知OH ＝DE －AP ＝DE －AB 2＝285－270
2＝150 m.
而903＞150，即OA >OH ，
∴⊙O 与CD 相交．…………………………………………(10分) 记⊙O 与CD 的交点为M ，连接OM 、MA 、MB . 则∠AMB ＝∠AGB ＝60°. ∵在Rt △OHM 中，
HM ＝OM 2－OH 2＝（903）2－1502＝30 2 m ，
∴DM ＝AE －OP －HM ＝400－453－302＜340，或DM ＝AE －OP ＋HM ＝400－453＋302＞340(舍去)． ∴CD 上符合题意的点M 只有一个． ∴点M 就是符合要求的点．
故DM ＝400－453－302≈279.63 m ．(保留根号也正确) ………………………………………… (12分)。