【金版优课】高三数学人教A版选修2-1课时作业：3.1.3 空间向量的数量积运算 Word版含解析

第三章 3.1 课时作业26
一、选择题
1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1， ∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q ) ＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 答案：A
2．下列命题：①若a ·b ＝0，则a ，b 中至少有一个为0；②若a ≠0且a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.
其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3 解析：若a ·b ＝0⇒|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0⇒a ＝0或b ＝0，或cos 〈a ，b 〉＝90°，故①不正确；若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，尽管有a ≠0，也不能得到b ＝c ，因为有可能a ⊥(b －c )，故②不正确；③不正确，理由是(a ·b )·c ＝λc (即(a ·b )·c ∥c )，而a ·(b ·c )＝μa (即a ·(b ·c )∥a )，而a 与c 不一定共线，当然λc 与μa 不一定相等；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9a ·a －6a ·b ＋6a ·b －4b ·b ＝9a 2－4b 2＝9|a |2－4|b |2，故只有④正确．
答案：B
3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0.AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )
A. 钝角三角形
B. 锐角三角形
C. 直角三角形
D. 不确定
解析：∵AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0. ∴AB ，AC ，AD 两两垂直．
∴BC 2＝AB 2＋AC 2，CD 2＝AC 2＋AD 2，BD 2＝AB 2＋AD 2，
∴BC 2<CD 2＋BD 2，CD 2<BC 2＋BD 2，BD 2<BC 2＋CD 2. ∴△BCD 是锐角三角形． 答案：B
4．[2014·湖北省襄阳五中月考]在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→
与向量AC →
所成的角为( )
A. 60°
B. 150°
C. 90°
D. 120°
解析：本题主要考查空间向量所成角的知识．由于BA 1→＝－AB →＋AA 1→，而AC →＝AB →＋AD →，|BA 1→|＝
(－AB →＋AA 1→)2＝2a ，|AC →|＝|AB →＋AD →|＝2a .故cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →
|BA 1→||AC →|
＝
－AB →22a ·2a ＝－12
.所以向量BA 1→与向量AC →
所成的角为120°，故选D.
答案：D 二、填空题
5．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为__________．
解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0. ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－13. 答案：－13
6．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝__________. 解析：由于m ⊥n ，
所以m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝0， 即a 2＋λb 2＋(λ＋1)a ·b ＝0，
又|a |＝32，|b |＝4，〈a ，b 〉＝135°， ∴18＋16λ＋(λ＋1)×32×4×cos135°＝0， 解得λ＝－32.
答案：－3
2
7．已知空间四边形OABC ，若各边及对角线长都相等，且E ，F 分别为AB ，OC 的中点，则向量OE →与BF →
的夹角的余弦值为__________．
解析：不妨设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1， 则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1
2
，
∵OE →＝12(a ＋b )，BF →＝12c －b ，且|OE →
|＝32，|BF →|＝32.
∴OE →·BF →＝1
2(a ＋b )·(12c －b )
＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－1
2. ∴cos 〈OE →，BF →
〉＝OE →·BF →
|OE →||BF →
|＝－23.
答案：－2
3
三、解答题
8．已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝AA ′＝2，AD ＝4，E 为侧面AB ′的中心，F 为A ′D ′的中点，计算：
①BC →·ED ′→；②BF →·AB ′→；③EF →·FC ′→. 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→
＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝0. ①BC →·ED ′→
＝b ·[12
(c －a )＋b ]＝|b |2＝16.
②BF →·AB ′→
＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.
③EF →·FC ′→
＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a ) ＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14
|b |2
＝2.
9．如右图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
解：由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所
成的角，即∠DBD1＝30°，
∴∠BDD1＝60°，
∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，
∴〈CA→，DB→〉＝60°，∴〈CA→，BD→〉＝120°.
又CD→＝CA→＋AB→＋BD→，
∴|CD→|2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2AB→·BD→.
∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD→·AB→＝0，AC→·AB→＝0.
故|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·BD→＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，∴|CD→|＝25.。