福州大学大二理学专业概率论与数理统计期末试卷及答案 (2)

福州大学概率与数理统计试题〔总分值100分〕

一、 填空题〔每空5分，共6空，30分〕 （1） 随机变量X 和Y 相互独立，且)5.0,1(~),5.0,1(~b Y b X ，则随机变量

),max(Y X Z =的分布律为 。

答案: 75.0}1{,25.0}0{====Z P Z P

（2） 随机变量),(Y X 具有概率密度=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧

≤≤≤≤+其它

,040,40),sin(ππy x y x c 则=c ，Y 的边缘密度函数=)(y f Y 。

答案：12+, )4

cos()(cos 12(π+-+x x ；

（3） 设321,,X X X 相互独立，且)1,3(~)3,1(~),2,0(~321N X N X N X ，则

=≤-+≤}6320{321X X X P 。

答案：3413.05.08413.05.0)1(=-=-Φ （4） 一名射手射击，各次射击是相互独立，正中目标的概率为 p ，射击直至击中目标

两次为止。设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，那么 X 〔X=m 〕和 Y(Y=n) 的联合分布律是 。

答案：Y =n 代表第n 次射击时二度击中目标，且在第1次、第2次，…，第n –1次射击中恰有一次击中目标。不管X,Y 是多少，〔X, Y 〕的概率都是22-n q p ,其中q=1-p ， m=1,2,…,n-1，n = 2,3,… 。

（5） 设风速V 在〔0，a 〕上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其它

，

0a v 0 1

)(a v f

设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2

kV W =〔V 是风速，k>0 是常数〕。那

么，W 的数学期望为E 〔W 〕= 。

答案： E 〔W 〕=

22

2

3

11)(ka dv a kv dv v f kv ⎰⎰∞

∞

-∞

∞

-== 二、 计算题〔共5题，合计46分〕

1. (8分)以往数据分析结果说明，当机器调整良好时，产品合格率为98％，机器发生

某种故障时，合格率为55％。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95％。求，某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少?

答案：

设A 为事件“产品合格〞，B 为“机器调整良好〞。 P(A ∣B)＝，P(A ∣)＝，P(B)＝，P()＝， 需求的概率为P(B ∣A)。 由贝叶斯公式

97

.005

.055.095.098.095

.098.0)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=

+=

B P B A P B P B A P B P B A P A B P

2. 〔8分〕某人进行射击，设每次射击的命中律为0.02，独立射击400次，试求至少

击中两次的概率〔提示:其中泊松分布当8λ=时, F(1)=0.0030〕。

答案：将每次射击看成一次试验。

射击中的次数为X ，则)02.0,400(~b X ； X 的分布律为：

.400,2,1,0)98.0()02.0(400}{400 =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-k k k X P k

k 于是所求概率为，

399

400

)

98.0)(02.0(400)

98.0(1}

1{}0{1}2{--==-=-=≥X P X P X P

要求：

写出上述二项分布计算公式，没有结果也算正确

或者利用泊松定理近似计算：997.011}2{=-=≥）（F X P

3. 〔8分〕设随机变量),(Y X 具有概率密度2/)(2

221),(y x e y x f +-=π

，求2

2Y X Z +=

的概率密度函数。

答案：设22Y X Z +=的分布函数为)(z F z ，

则当0<z 时，0)(=z F z ； 当0≥z 时，

2

/2002/2

/)(22222

2232222

12121),(}{}{)(z Z

r z y x y x z y x z e rdr e d dxdy e dxdy y x f z Y X P z Z P z F --≤++-≤+-===

=

≤+=≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

π

π

θπ 所以22Y X Z +=的概率密度函数

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,

0,)(2

2

z z ze z f z z

4. 〔10分〕有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X k (k=1,2，3，4，5)服从同

一指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,

0,

0,1x x e x f x θ

θ，0>θ，假设将这5个电子装

置并联连接组成整机，求整机寿命〔以小时记〕M 的数学期望。

答案:

5个电子装置并联，整机寿命{}54321,,,,m ax X X X X X M =，要求N ，M 的数学期望，关键求N,M 的密度函数).(),(max min x f x f

k X ()5,4,3,2,1=k 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.

0,0,

0,1x x e x F x θ。

因为5个电子装置并联，所以整机寿命{}54321,,,,m ax X X X X X M =的分布函数

为()()[]

[]

⎪⎩⎪⎨

⎧≤>-==-.0,

0,

0,15

5

max x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为 ()[]

⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--.0,

0,

0,145

max x x e e x f x x θθθ，于是N 的数学期望为

()[]

θθ

θθ60

137

1)(0

4

5

max =

-==⎰⎰+∞

--+∞

∞

-dx e

e x dx x x

f N E x

x 。

5. 〔12分〕设连续型随机变量,X Y （）的概率密度为，求XY ρ。

21201()0

y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨

⎩，其它

答案：

23012401()(,)0

x

x y dy x

x f x f x y dy +∞

-∞

⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它

1304

()45

E x x x dx =⋅=⎰

1

221212(1)

01()(,)0y y y dx y y y f y f x y dx +∞-∞

⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩

⎰⎰其它

1203

()12(1)5E y y y ydy =-=⎰

112

50001()1232

x E xy dx xy y dy x dx =⋅==⎰⎰⎰

431

()()()(5550

Cov XY E XY E X E Y =--⨯=1）=2

又 122302

()43

E x x x dx =⋅=⎰