24.2.2 第3课时切线长定理

∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，
点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 °.
A
A
P
F
E
O
O
B 第3题
BD
C
第4题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如
图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
问题1 上节课我们学习了过圆上一点P作已知圆的切线 （如左图所示）。如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？ 问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
讲授新课
一 切线长的定义
1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
典例精析
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、
F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. A
F
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
·O
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大
圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、 C
B
OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3， ∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
课堂小结
切线长 切线长 定理
三角形 内切圆
原理 作用
图形的轴对称性
提供了证线段和 角相等的新方法
辅助线
有关概念
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
线，这点和切点之间的线段 的长叫做切线长．
A
O P
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量．
二 切线长定理
思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点
A重合的点为B．
➢ OB是⊙O的一条半径吗？
A
➢ PB是⊙O的切线吗？
A
A
B
C
B
C

问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O. M 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
O
B
D
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求的圆.
C
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
O.
P
➢ PA、PB有何关系？ B
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
切线长定理:
A
从圆外一点引圆的两
条切线，它们的切线长相
O
P
等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角. 几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、 OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r
F
D O·
x＋r＝b 则有 y＋r＝a
C 解得 r＝ a＋b－c
E
B
x＋y＝c
A
D
F
I
┐
B
E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
内心：三 角形内切 圆的圆心
练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
要点归纳
切线长问题辅助线添加方法
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
三 三角形的内切圆及内心
问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm). C 由 BD+CD=BC，可得
D
B
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
变式题
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为 Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
拓展提升
A
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
F
（1）它的外接圆半径是 2.5 cm;内切圆半 D O·
径是 1 cm？
CE
B
解：如图，△ABC的外接圆直径为AB,而由勾股定理可得
AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm.连接AO,BO,CO.设△ABC的内
接圆半径为r，由面积公式可得：S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC ,
2
总结归纳
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC
的内切圆的半径 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
当堂练习
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40°，则∠APO= 20 °,PB= 4 .
A
A
P
O
O
B 第1题
B
C
第2题
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
即 1AC•BC1AC•r1BC•r1AB•r ，所以 r 1 AC BC AB ，代入数据
2
222
2
得r=1cm.
方法小结：直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，
内接圆半径
r abc 2
.
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与
A
△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r
的取值范围.
D
内心概念及性质
应用
重要结论
运用切线长定理，将相等线段转化 集中到某条边上，从而建立方程.
r
a
2S ； bc
r
a
bc 2
只适合于直角三角形