高考数学选择题的解法研究

高考数学选择题的解法研究
盐池高级中学高二数学理课题组李彦鹏一．综述
数学选择题是由一个问句或一个不完整的句子和备选的四个结论组成。

目前数学选择题有且只有一个正确的结论，正因为如此,解数学选择题的关键在于"找到"这个正确结论，而不拘泥于何种方法。

它体现了思维的直觉性、思维的灵活性、思维的深刻性和思维的广阔性。

因此充分地利用题设和结论这两部分所提供的信息，找到他们的连接支点，作出合理的推理与正确的判断是解决选择题的基本策略。

"发现信息、理解信息、利用信息"是解决选择题智慧的体现，这需要在平常的练习、训练和评讲中通过修改、辩析、讨论来培养，来锻炼，从而形成良好的、和谐的思维意识。

比如："找"的思维，一题多解、多解选优、在错误的选择中怎样走出误区,这些正是学习习惯和思维品质培养的最佳途径。

从解题过程来说，完成选择题的解答必须突出五个环节：
读题-----------记号-----------推理判断----------比较------------选择
二、知识整合
1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查"三基"为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字--准确、迅速.
2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。

一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。

解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的
1）．数学选择题的特点
选择题的基本特点是：（1）概念性强,知识覆盖面广，题型灵活多变，经常出现一些数学背景新颖的创新题这些创新题目注重基础性，增强综合性，体现时代气息；；（2）量化突出,选择题不要求书写解题过程，不设中间分，因此一步失
误，就会造成错选，导致全题无分。

（3）充满思辨性,绝大多数选择题题目属于低中档题因为主要的数学思想和教学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度（如思维层次，解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等），所以使之成为具备较佳区分度的基本题型之—。

（4）形数兼备；（5）解法多样化；（6）评卷公平,在注重考查基础知识、技能、方法的同时，加大了对能力考查的力度，考潜能，考应用，体现着高考数学命题改革的导向作用。

2）.数学选择题的考查功能
（1）能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。

每道选择题所考查的知识点一般为2--5个，以3--4个居多，故选择题组共考查可达到近50个之多，而考生解答只需15分钟左右。

相当于解一个中等难度的解答题，但一道解答题无论如何也难以实现对三四十个考点考查。

（2）能够比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度。

（3）在一定程度上，能有效考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。

3）.解选择题的原则
根据选择题的题干和选择支两方面提供的信息，作出正确的选择，一般要求迅速和准确为原则。

选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的情绪和全卷的成绩因此，准确、快速是解选择题的策略准确是解高考选择题的先决条件，这要求考生要仔细审题，认真分析，合理选择解题方法，正确推演或判断，谨防疏漏，确保准确；快速是结合高考数学单项选择题的结构，题目本身提供的条件、特征或信息，以及不要求书写解题过程的特点，灵活选用简单、合理的解法或特殊化法，避免繁琐的运算、作图或推理，避免“小题大做”，给解答题（特别是中高档题）留下充裕的时间，争取得高分具体说来，就是要突出解题方向的探索、解题思路的分析、解题方法的选择以及解题思维过程的展示和解题回顾反思等环节；熟练掌握各种基本题型的一般解法，在此基础上逐步掌握解选择题的解题思路、常用方法、规律及相关技巧；注重提高口算、心算和笔算的能力，做到“基本概念理解透彻，基本联系脉络清晰，基本方法熟练掌握，基本技能准确无误”，达到“既然会解，就要解对”的地步，而且需要思维清晰、敏捷、通畅，解法合理、简捷为此，研究和探索选择题的解题思路、常用方法与技巧就显得非常必要和重要。

一般地，解答选择题的策略是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，准确、快捷、精巧是解选择题的基本要求；要在巧字上做文章，配合使用多种解题方法，尽量避免“小题大做”。

第一，熟练掌握各种基本题型的一般解法。

第二，
结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。

第三，挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。

三． 选择题的解法
1、直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通
过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支"对号入座"作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1．（2010浙江理数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52
S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-
解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题。

例2．（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】173454412747()312,4,7282
a a a a a a a a a a a +++===∴+++===
例3．七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（ ）
（A ） 1440 （B ） 3600 （C ） 4320 （D ） 4800 解一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有种，其中甲、乙两人相
邻的排法有2×种.因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：－2×＝3600，对照后应选B ；
解二：（用插空法）×＝3600.
直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解.直
接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题
的能力，准确地把握中档题目的"个性"，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握"三基"的基础上，否则一味求快则会快中出错.
2、特例法：
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 例4. （陕西理09）给出如下三个命题：
①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
②设a,b ∈R ，则ab ≠0若b a ＜1，则a
b ＞1； ③若f(x)=log 22x=x,则f （|x|）是偶函数
其中不正确命题的序号是
A.①②③
B.①②
C.②③
D.①③
解析：①ad=bc 不一定使a 、b 、c 、d 依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；②a 、b 异号时不正确，选B
例5．（湖北卷）若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4
解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由3
10a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D
例6．等差数列{an}的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260
解：（特例法）取m ＝1，依题意＝30，＋＝100，则＝70，又{an}是等差数
列，进而a3＝110，故S3＝210，选（C ）.
例7．若，P=，Q=，R=，则（ ）
（A ）RPQ （B ）PQ R
（C ）Q PR （D ）P RQ
解：取a ＝100，b ＝10，此时P ＝，Q ＝＝lg ，R ＝lg55＝lg ，比较可知选PQR 当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越
简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右.
3、筛选法:
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据"四选一"的指令，逐步
剔除干扰项，从而得出正确的判断.
例8．（2009宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s =
（A ）7 （B ）8 （3
）15 （4）16
解析：41a ，22a ，3a 成等差数列，
22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S ,选C. 例9．过抛物线y ＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段PQ 中点的轨迹方程是（ ）
（A ） y ＝2x －1 （B ） y ＝2x －2 （C ） y ＝－2x ＋1 （D ） y ＝－2x ＋2
解：（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开口向右，由此排除
答案A 、C 、D ，所以选B ；
另解：（直接法）设过焦点的直线y ＝k(x －1)，则，消y 得：
kx －2(k ＋2)x ＋k ＝0，中点坐标有，消k 得y ＝2x －2，选B.
筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个
时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％.
4、代入法：
将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支
分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.
例10．（湖北理5）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则
111lim 111p q n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）
A ．0
B ．1
C ．p q
D ．11
p q -- 答案：选C
解析：法一 特殊值法，由题意取1,2p q ==， 则11111lim lim lim 122111p n n n n p n n n q n n n ∞∞∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭====+⎛⎫++- ⎪⎝
⎭→→→，可见应选C
法二 ()()()()()2111111111m m x x x x x --++++++
++=-+ ()()()()21111111m m x x x x x -⎡⎤∴+-=++++++⎣
⎦ 令1x n
=，m 分别取p 和q ，则原式化为 212111*********lim lim 11111111111p p q q n n n n n n n n n n n n --∞∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦→→ 21111lim 11,lim 11,,lim 11,p n n n n n n -→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 所以原式=111111p q
++
+=+++（分子、分母1的个数分别为p 个、q 个） 例11．函数y ＝sin （2x ＋）的图象的一条对称轴的方程是（ ）
（A ）x ＝－ （B ）x ＝－ （C ）x ＝ （D ）x ＝
解：（代入法）把选择支逐次代入，当x ＝－时，y ＝－1，可见x ＝－是对
称轴，又因为统一前提规定"只有一项是符合要求的"，故选A.
另解：（直接法） ∵函数y ＝sin （2x ＋）的图象的对称轴方程为2x ＋＝k π
＋，即
x ＝－π，当k ＝1时，x ＝－，选A.
代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。

若能据题意确定代入顺序，则
能较大提高解题速度。

5、图解法：
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出
正确的判断.习惯上也叫数形结合法.
例12．在内，使成立的的取值范围是（ ）
（A ） （B ）
（C ） （D ）
解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出y＝sinx与y＝cosx的图象，便可观察选C.
另解：（直接法）由得sin（x－）＞0，即2 kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知选C.
例13．在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是（）（A）（，）（B）(，－)
（C）(－，) （D）(－，－)
解：（图解法）在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A.
直接法先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得.
例14．设函数，若，则的取值范围是（）
（A）（，1）（B）（，）
（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）
解：（图解法）在同一直角坐标系中，作出函数
的图象和直线，它们相交于（－1，1）
和（1，1）两点，由，得或.
严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，
而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时
非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：
例15．函数y=|x2-1|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）；答案为（C）。

数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右.
6、割补法
"能割善补"是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度. 例16．一个四面体的所有棱长都为，
四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（）
（A）3 （B）4 （C）3 （D）6
解：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中
心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，
从而外接球半径R＝.故S球＝3.
直接法（略）
我们在初中学习平面几何时，经常用到"割补法"，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了"割补法"，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到"割补法".
7、极限法:
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.
例17．对任意θ∈（0，）都有（）
（A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ) （B） sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ)
（C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ（D） sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ)
解：当θ0时，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.
当θ时，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此选D.
例18．不等式组的解集是（）
（A）（0，2）（B）（0，2.5）（C）（0，）（D）（0，3）
解：不等式的"极限"即方程，则只需验证x=2，2.5，和3哪个为方程的根，逐一代入，选C.
例19．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）（A）（π，π）（B）（π，π）
（C）（0，）（D）（π，π）
解：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时α→π，且大于π，故选（A）.
用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。

8、估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.
例20．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面
体的体积为（）
（A ） （B ）5 （C ）6 （D ）
解：由已知条件可知，EF∥平面ABCD ，则F 到平面ABCD 的距离为2， ∴VF－ABCD ＝・32・2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D ）.
例21．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）
（A ）π （B ）π （C ）4π （D ）π 解∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝，
则S 球＝4πR2≥4πr2＝π＞5π，故选（D ）.
22、（海、宁理7）已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等
比数列，则2
()a b cd
+的最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1
Ｃ．2 Ｄ．4
【答案】：D 【分析】：,,a b x y cd xy +=+=
22()() 4.a b x y cd xy ++∴=≥= 估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.
四、总结提炼
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么"策略"，"手段"都是无关紧要的.所以人称可以"不择手段".但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速.
总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指
导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的"个性"，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.出师表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。