2022年新疆高考文科数学真题及参考答案

2022年新疆高考文科数学真题及参考答案
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1086,42，，，=M ，{}
61<<-=x x N ，则=⋂N M （
）
A.
{}4,2 B.{}6,4,2 C.{}
86,4,2， D.{}
1086,42，，，2.若()i b a i 221=++，其中a ，b 为实数，则（
）
A.1
,1-==b a B.1
,1==b a C.1
,1=-=b a D.1
,1-=-=b a 3.已知向量()1,2=a ，()4,2-=b
=-（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ）
，得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
5.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥+0422y y x y x ，则y x z -=2的最大值是（
）
A.2
- B.4
C.8
D.12
6.设F 为抛物线x y C 4:2
=的焦点，点A 在C 上，点()0,3B ，若BF AF =，则=AB （
）
A.2
B.2
2 C.3
D.2
3
7.执行右图的程序框图，输出的=n （）
A.3
B.4
C.5
D.6
8.右图是下列四个函数中的某个函数在区间[]3,3-的大致图象，则该函数是（
）
A.1
323++-=
x x x y B.1
32
3+-=x x x y C.1cos 22+=
x x x y D.1
sin 22+=
x x y 9.在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）
A.平面EF B 1⊥平面1BDD
B.平面EF B 1⊥平面BD A 1
C.平面EF B 1∥平面AC
A 1 D.平面EF
B 1∥平面D
C A 1110.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，4252=-a a ，则=6a （
）
A.14
B.12
C.6
D.3
11.函数()()1sin 1cos +++=x x x x f 在区间[]π2,0的最小值、最大值分别为（
）
A.2
2ππ，-
B.2
23ππ，-
C.22
2+-
ππ， D.22
23+-
ππ，12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）
A.
3
1
B.
2
1 C.
3
3 D.
2
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若63223+=S S ，则公差=
d .
14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.
15.过四点()0,0，()0,4，()1,1-，()2,4中的三点的一个圆的方程为
.
16.若()b x
a x f +-+
=11
ln 是奇函数，则=a ，=
b .
三、解答题：共70分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、/2题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分，
17.（12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()()A C B B A C -=-sin sin sin sin .
（1）若B A 2=，求C ；（2）证明：2
2
2
2c b a +=.
18.（12分）如图，四面体ABCD 中，CD AD ⊥，CD AD =，BDC ADB ∠=∠，E 为AC 的中点.
（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；
（2）设2==BD AB ，︒=∠60ACB ，点F 在BD 上，当AFC ∆的面积最小时，求三棱锥ABC F -的体积.
19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：㎡）和材积量（单位：m ³），得到如下数据：
样本号i 1
2345678910总和根部横截面积i x 0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量i y 0.25
0.40
0.22
0.540.51
0.340.360.460.420.40 3.9
并计算得
038.010
1
2=∑=i i
x
，6158.110
1
2
=∑=i i y ，2474.010
1
=∑=i i i y x .
（1）估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186㎡.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数()()()()
∑∑∑===----=
n
i n
i i
i
n
i i i
y
y
x
x
y
y x x
r 1
1
2
21
，377.1896.1≈.
20.已知函数()()x a x
ax x f ln 11
+--
=（1）当0=a 时，求()x f 的最大值；（2）若()x f 恰有一个零点，求a 的取值范围.
21.（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()20-，A ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-12
3
B 两点
（1）求E 的方程；
（2）设过点()21-，P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足TH MT =.证明：直线HN 过定点.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t
y t x sin 22cos 3，（t 为参数）.以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为03sin =+⎪⎭
⎫
⎝
⎛+m πθρ.（1）写出l 的直角坐标方程；
（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围.
【选修4-5：不等式选讲】（10分）23.已知c b a ,,均为正数，且12
32
32
3
=++c b a ，证明：
（1）9
1≤
abc ；（2）
abc
b a
c c a b c b a 21
≤
+++++.
参考答案
一、选择题：
1.A
2.A
3.D 解析：因为()()()3,44,21,2-=--=-b a ，∴()5342
2=-+=-b a .
4.C 解析：甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值4.037
5.016
6
<=.5.C
解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数y x z -=2为z x y -=2，
上下平移直线z x y -=2，可得当直线过点()0,4时，直线截距最小，z 最大，所以8402=⨯=z .
6.B
解析：∵F 为抛物线焦点，∴()0,1F ，∴2
=BF 又∵点A 在C 上，BF AF =，∴()2,1A （A 不妨在第一象限），∴22=AB .7.B
解析：执行第一次循环，3212=+=+=a b b ，213=-=-=a b a ，21=+=n n .
01.041
22322
222>=-=-a b ；
执行第二次循环，7=b ，5=a ，3=n ，01.0251
222>=-a
b ；
执行第三次循环，17=b ，12=a ，4=n ，01.01441
222<=-a
b ，此时输出4=n .
8.A
解析：设()123+-=x x x x f ，则()01=f ，故排除B ；设()1
cos 22+=
x x
x x h ，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πx 时，1cos 0<<x ，所以()1121cos 222≤+<+=
x x x x x x h ，故排除C ；()1
sin 22
+=x x
x g ，则()010
3
sin 23>=
g ，故排除D.9.A
解析：对于A ：在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，易
知BD EF ⊥，从而1BDD EF 平面⊥，又∵1BDD EF 平面⊂，∴平面EF B 1⊥平面1
BDD
对于B ：∵平面BD A 1∩平面1BDD BD =，由上述过程易知面EF B 1⊥面BD A 1不成立.对于C ：由题意知直线1AA 与直线E B 1比相交，平面EF B 1与平面AC A 1有公共点，C 错误.对于D ：连接AC ，1AB ，C B 1，易知平面C AB 1∥平面D C A 11，又因为平面C AB 1与平面EF B 1有公共点1B ，故平面C AB 1与平面EF B 1不平行，∴D 错误.10.D
解析：设等比数列{}n a 首项1a ，公比q
由题意，⎩⎨⎧=-=++4216852321a a a a a ，即(
)
()
⎪⎩⎪⎨⎧=-=++42
1168
13
12
1q q a q q a ，解得：961=a ，21=q .
∴35
16==q a a .11.D
解析：()()()x x x x x x x f cos 1cos 1sin sin +=+++-='，
∴()x f 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛20π，和⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ2,23上()0＞x f '，即()x f 单调递增；在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛2
32π
π，上()0<'x f ，即()x f 单调递减.又()()220==πf f ，222+=⎪⎭⎫
⎝⎛ππf ，23112323πππ-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()x f 在区间[]π2,0上的最小值为23π-
，最大值为22
+π
.12.C
解析：设该四棱锥底面四边形为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在的小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，
则2
2222
121sin 21r r r BD AC BD AC S ABCD =⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅⋅=α.
（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为2
2r .又12
2
=+h r ，则2734322322213
2222
222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅=⋅⋅=-h r r h r r h r V ABCD
O 当且仅当2
22h r =即3
3
=
h 时等号成立.二、填空题
13.2
解析：由63223+=S S 可得()()63221321++=++a a a a a ，化简得：
62213++=a a a ，即()622211++=+d a d a ，解得2=d .14.10
3解析：设“甲、乙都入选”为事件A ，则()10
3
3513==C C A P .
15.()()
13322
2=-+-y x 或()()5122
2
=-+-y x 或96537342
2=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x 或()251691582
2
=
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x 解析：圆过其中三点共有四种情况，求解办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的
距离为半径.16.①2
1
-
②2ln 解析：∵函数()b x
a x f +-+
=11
ln 为奇函数，∴其定义域关于原点对称.由011≠-+
x a 可得：()()011≠-+-ax a x ，∴11-=+=a a x ，解得：2
1-=a ，即函数的定义域为()()()∞+⋃-⋃-∞-，，11,11，再由()00=f 可得：2ln =b .即()x
x
x x f -+=+-+-
=11ln 2ln 1121ln ，在定义域内满足()()x f x f -=-，符合题意.
三、解答题
（一）必考题
17.解：（1）由B A 2=，()()A C b B A C -=-sin sin sin sin 可得，
()A C B B C -=sin sin sin sin ，而2
0π
<
<B ，∴()1,0sin ∈B ，即有()0
sin sin >-=A C C 而ππ<-<<<A C C 0,0，显然A C C -≠，∴π=-+A C C ，而B A 2=，π=++C B A ，∴8
5π=C .（2）由()()A C b B A C -=-sin sin sin sin 可化简为
A C
B A
C B B A C B A C sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin -=-，由正弦定理可得：C ab A bc A bc B ac cos cos cos cos -=-，即C ab A bc B ac cos cos 2cos -=，
由余弦定理可得：ab
c b a ab
bc a c b bc ac b c a ac 22222
22222222-+--+=-+，
化简得：2
222c b a +=，故原等式成立.
18.解:（1）∵CD AD =，BDC ADB ∠=∠，且BD 为公共边，∴CBD ADB ∆≅∆∴BC
AB =又∵E 为AC 的中点，且CD AD =∴AC DE ⊥，同理：AC BE ⊥.又∵E BE DE =⋂，且DE ，BE BED 平面⊂，∴BED AC 平面⊥.又∵ACD AC 平面⊂，∴平面BED ⊥平面ACD
（2）依题意2===BC BD AB ，︒=∠60ACB ，ABC ∆是等边三角形∴2=AC ，1==EC AE ，3=
BE ，
由于CD AD =，CD AD ⊥，∴ACD ∆是等腰直角三角形，∴1=DE .
222BD BE DE =+，∴DE
BE ⊥由于E BE AC =⋂，ABC BE AC 平面，⊂，∴ABC DE 平面⊥.
由于CBD ADB ∆≅∆，∴FBC FBA ∠=∠，由于⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CB AB FBC FBA BF BF ，∴FBC
FBA ≅∆∴CF AF =，∴AC EF ⊥，
由于EF AC S AFC ⋅=∆2
1
，∴当EF 最短时，AFC ∆的面积最小过E 作BD EF ⊥，垂足为F ，
在BED RT ∆中，
EF BD DE BE ⋅⋅=⋅⋅21
21，解得2
3=EF ，∴212312
1
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=DF ，232=-=DE BF ，∴43=BD BF .过F 作BE FH ⊥，垂足为H ，则DE FH ∥，∴ABC FH 平面⊥，且
43==BD BF DE FH ，∴4
3
=FH ，∴4
3
4332213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=
∆-FH S V ABC ABC F .19.解：（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值06.010
6
.0==x ，样本中10棵这种树木的材积量的平均值为39.010
9
.3==
y ，据此可估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06㎡，平均一颗的材积量为0.39m
³
（2）()()()()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
----=
∑∑∑∑∑∑======10122
1012210
1
10
1
12
210
1
101010i i i i i i
i
i n
i i
i
i i i
y y x x xy
y
x y
y
x
x
y
y x x
r ()()
97
.001377
.00134
.00001896
.00134.039.0106158.106.010038.039
.006.0102474.02
2
≈≈
=
⨯-⨯-⨯⨯-则97
.0≈r （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3
Ym ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得Y
18639.006.0=
，解得3
1209m Y =.则该林区这种树木的总材积量估计为3
1209m .20.解：（1）当0=a 时，()0,ln 1>--
=x x x x f ，则()22111x
x
x x x f -=-='，当()1,0∈x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当()∞+∈，1x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减.∴()()11max -==f x f ；
（2）()()0,ln 11>+--
=x x a x ax x f ，则()()()2
21111x
x ax x a x a x f --=+-+='，当0≤a 时，01≤-ax ，
∴当()1,0∈x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当()∞+∈，1x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减.
∴()()011max <-==a f x f ，此时函数无零点，不合题意；当10<<a 时，
11
>a
，在()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
1,0a
，上()0>'x f ，()x f 单调递增；在⎪⎭
⎫ ⎝⎛a 11，上()0<'x f ，()x f 单调递减.
又()0
11<-=a f 由（1）得
1ln 1≥+x x ，即x x
-≥11
ln ，∴x x x x x x 2ln ln ln <<<，，当1>x 时，()()()()x a ax x a x
ax x a x ax x f 32121
ln 11+->+-->+--=，
则存在a a m 1232
>⎪⎭
⎫
⎝⎛+=，使得()0>m f ，
∴()x f 仅在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1a 有唯一零点，符合题意；当1=a 时，()()012
2
≥-=
'x
x x f ，∴()x f 单调递增，又()011=-=a f ，
∴()x f 有唯一零点，符合题意；当1>a 时，
11
<a ，在()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
1,0a
，上()0>'x f ，()x f 单调递增；在⎪⎭
⎫ ⎝⎛a 11，上()0<'x f ，()x f 单调递减.此时()011>-=a f ，
由（1）得：当10<<x 时，x x 11ln -
>，x x 1
1ln ->，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛->x x 112ln ，
此时()()()()x a x x a x ax x a x ax x f 12111121ln 11++-<⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+--<+--
=，存在()a
a n 1
1412
<
+=
，使得()0<n f ，∴()x f 在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
a 10，有一个零点，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，
a
1无零点，∴a 的取值范围为()∞+，0.
21.解：（1）设椭圆E 的方程为12
2
=+ny mx ，过()20-，A ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-12
3，
B ，则⎪⎩⎪
⎨⎧=+=1491
4n m n ，解得31=m ，41=n ，∴椭圆E 的方程为14322=+y x .（2）()20-，A ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-12
3
，
B ，∴x y AB 322:=+，即23
2
-=x y ①若过点()21-，P 的直线斜率不存在，直线1=x ，代入
14
32
2=+y x ，
可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3621，
M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3621，N ，代入AB ：232
-=x y 可得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+36236，T ，由TH MT =得到⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+362562，H ，则求得HN 方程：23622-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y ，过点()20-，.②若过点()21-，P 的直线斜率存在，设()02=+--k y kx ，()11,y x M ，()22,y x N .
联立()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--143
22
2y x k y kx 得()
()()04326432
2=+++-+k k x k k x k ，可得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
++=
++=+43434
326221221k k k x x k k k x x ，则()()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+=++-=+432444432822
21221k k k y y k k y y 且()
*+-=+432421221k k y x y x 联立⎪⎩
⎪⎨⎧-==232
1x y y y ，可得⎪⎭⎫
⎝⎛+11,323y y T ，()111,63y x y H -+.可求得此时()22
112
1263:x x x x y y y y y HN ---+-=
-，
将()20-，代入整理得()()0123622112212121=--++--+y y y x y x y y x x 将()*代入，得0
483624484824489612242
2
2
=--+---+++k k k k k k k 显然成立，综上，可得直线HN 过定点()20-，.
（二）选考题：
22.解：（1）∵：l 03sin =+⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
m πθρ，∴0cos 23sin 21=+⋅+
⋅m θρθρ又∵y =⋅θρsin ，x =⋅θρcos ，∴化简为
02
321=++m x y ，整理得l 的直角坐标方程：023=++m y x .（2）联立l 与C 的方程，即将t x 2cos 3=
，t y sin 2=代入023=++m y x 中，
可得02sin 22cos 3=++m t t ，∴(
)
02sin 2sin 2132
=++-m t t 化简为：023sin 2sin 62
=+++-m t t ，
要使l 与C 有公共点，则3sin 2sin 622
--=t t m 有解，
令a t =sin ，则[]1,1-∈a ，令()()11,3262
≤≤---=a a a a f ，
对称轴为61=
a ，开口向上，∴()()51max =-=f a f ，()61961min -
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=f a f ∴52619≤≤-
m ，∴m 的取值范围是2
5
1219≤≤-m .23.解：
（1）证明：∵c b a ,,均为正数，∴0,0,02
3232
3
>>>c b a ，
∴323
23
23
2
32
32
33
c b a c b a ⋅⋅≥++，
即()
312
1≤abc ，∴91≤abc ，当且仅当23
2323c b a ==，即39
1
===c b a 时取等号.（2）证明：∵c b a ,,均为正数，∴bc c b 2≥+，ac c a 2≥+，ab b a 2≥+，
∴
abc a bc a c b a 2223=≤+，abc b ac b c a b 2223=≤+，abc
c
ab c b a c 222
3=
≤+.∴
≤+++++b a c c a b c b a +abc a 22
3+abc b 22
3abc c 22
3abc 21=
当且仅当c b a ==时取等号.。