2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件：第三章3.2.2 直线与双曲线的位置关系

解析：(1)由yx＝2－kyx2＋＝26，消去 y 整理得(1－k2)x2－4kx－10＝0，设
两交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 1－k2≠0，
Δ ＝（－4k）2＋40（1－k2）>0， 由题意知 x1＋x2＝1－4kk2>0，
x1x2＝1－－1k02>0，
k≠±1，
因为|AB|＝4，所以356m2－6(m2＋2)＝16.
所以 3m2＝70，m＝±
210 3.
由(*)式得 Δ＝24m2－240，把 m＝± 2310代入上式，得 Δ＞0，
所以 m 的值为± 2310，
所以所求
l 的方程为 y＝2x±
210 3.
(2)①已知椭圆的焦点为(0，±1)，即是双曲线的顶点，因此设双
y－5－5m4k2＝－1kx－54－k4mk2.
此直线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为5－9k4mk2，0， 0，5－9m4k2.
若本例(2)中改为直线 l1 与双曲线只有一个公共点，k 的取值 范围是多少？
解：联立直线与双曲线方程y＝kx＋ 2， 消去 x2－3y2－3＝0，
y
得：(1－
3k2)x2－6 2kx－9＝0.
当 1－3k2＝0，即 k＝±33时，直线 l1 与双曲线 C 只有一个公共 点；
当 1－3k2≠0 时，Δ ＝(6 2k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2， 当 Δ＝0，即 36－36k2＝0，k＝±1 时，直线 l1 与双曲线 C 只有 一个公共点．
解得 a2＝1，所以 b2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为 x2－y32＝1.
[方法归纳] (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此 类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的 k 要保证满足相交，即验证 Δ>0. (2)焦点弦问题不用检验“Δ>0”．
2．(1)直线 l 在双曲线x32－y22＝1 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求 l 的方程． (2)设双曲线的顶点是椭圆x32＋y42＝1 的焦点，该双曲线又与直
|MF2|＝2c·tan 30°＝2 3 3c.
所以 2a＝|MF1|－|MF2|＝2 33c. 所以 e＝ac＝ 3.
有关双曲线综合问题的常见题型 (1)存在性问题 ①对这类问题，若能将所观察的对象联系其几何背景进行数 与形的转化，常能将复杂抽象的问题变得直观、具体，有利 探明结论． ②解析几何中的存在与否的问题常用 Δ＞0，或曲线方程本身 的取值范围，或题意中变量的取值范围进行判断．
Δ＝0
0个
Δ<0
2.弦长公式 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，则：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|，或|AB|＝ 1＋k12· |y1－y2|.
1．已知双曲线 x2－y2＝2，过定点 P(2，0)作直线 l 与双曲线
有且只有一个交点，则这样的直线 l 的条数为( B )
8 3 2.
4．双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是 F1、F2， 过 F1 作倾斜角为 30°的直线，交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为____3____．
解析：如图，在 Rt△MF1F2 中， ∠MF1F2＝30°.又|F1F2|＝2c， 所以|MF1|＝cos2c30°＝4 3 3c，
(2)联立直线与双曲线方程yx＝2－k3xy＋2－23＝，0得(1－3k2)x2－6 2
kx－9＝0， 由题意得
Δ＝72k2－4（1－3k2）×（－9）＞0， 1－3k2≠0，
解
得
－
1
＜
k
＜
1
且
k≠± 33，
所以 k 的取值范围为－1，－ 33∪－ 33， 33∪ 33，1.
得(20－8a2)x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1＋x2＝2－0－128aa22，x1x2＝52a04－－382aa2 2.
所以|MN|＝ 1＋ 352· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 58· 2－0－128aa222－4·52a04－－382aa2 2＝4.
(2)参数的范围问题 参数的范围问题是解析几何中综合能力较强的问题，应特别 重视解析几何与函数、不等式、三角知识的综合应用．解答 这类问题应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识， 将曲线的几何特征转化为数量关系(如方程、函数等)，再运用 代数三角知识解答． (3)双曲线中的定点、定值问题 ①从特殊情况入手，先求含变量的定点、定值，再证明这个 点(值)与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到 定点、定值．
曲线方程为 y2－mx2＝1(m＞0)，①
又直线 15x－3y＝－6，②
A(x1，y1)、B(x2，y2)是方程①、②组成的方程组的两个解．
由y21－5xm－x23＝y＝1，－6，得195－mx2＋4 315x＋3＝0，
当 m＝195时，显然不满足题意，
当 m≠195时，
4 15 x1＋x2＝－195－3 m，
所以当 k＝±33或 k＝±1 时，直线 l1 与双曲线 C 只有一个公共
点，即 k 的取值范围是{－1，－ 33， 33，1}．
[方法归纳] 涉及直线与双曲线的公共点个数的问题，一般先联立方程构 成方程组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y 的方程．这时 首先看 x2 或 y2 的系数是否为 0，系数为 0 时，就得到关于 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解，此时直线与双曲线相交 且只有一个交点；系数不为 0 时，就利用一元二次方程根的 判别式，判断直线与双曲线的位置关系．
3．过点(0，1)且斜率为 1 的直线交双曲线 x2－y42＝1 于 A，B 82
两点，则|AB|＝___3_____． 解析：直线的方程为 y－1＝x，即 y＝x＋1，代入 x2－y42＝1 整理得 3x2－2x－5＝0， 所以 x1＝－1，x2＝53，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋1|1＋53|＝
x1＋x2＝－ 15， ②因为x1x2＝94，
所以|AB|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 1＋ 3152· （－ 15）2－4·94＝4.
Biblioteka Baidu 双曲线中参数范围问题的求法
已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(－3， 0)，一条渐近线的方程是 5x－2y＝0. (1)求双曲线 C 的方程； (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的 点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角 形的面积为821，求 k 的取值范围．
解析：因为 m＜6，所以 10－m＞6－m＞0， 所以10x－2 m＋6－y2m＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆． 因为 5＜n＜9，所以 9－n＞0，5－n＜0，所以9－y2 n－n－x2 5＝1 表示焦点在 y 轴上的双曲线， 因为 10－m－(6－m)＝4，9－n＋n－5＝4，所以两曲线的焦 距相等．
[解] (1)设双曲线 C 的方程为ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)．
由题设得aab2＝＋2b52＝，9，解得ab22＝＝45，.
所以双曲线 C 的方程为x42－y52＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k≠0)．点 M(x1，y1)，N(x2，
y＝kx＋m，① y2)满足方程组x42－y52＝1，②
②当 2－k2≠0 时，令 Δ＝0，得 k＝32，此时只有一个公共点． ③又点(1，2)与双曲线的右顶点(1，0)在直线 x＝1 上，而 x ＝1 为双曲线的一条切线，所以当斜率不存在时，直线与双曲 线只有一个公共点．
综上所述，当 k＝± 2或 k＝32或 k 不存在时，l 与 C 只有一个 交点．
直线与双曲线的相交弦问题
已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F(2，0)作斜率
为 53的直线，交双曲线于 M，N 两点，且|MN|＝4，求双曲 线方程． [解] 设所求双曲线方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)，由右焦点为 F(2，0)，知 c＝2，b2＝4－a2，则双曲线方程为ax22－4－y2a2＝1， 直线 MN 的方程为 y＝ 35(x－2)，代入双曲线方程，整理，
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：P(2，0)在双曲线的内部，故过点 P(2，0)与双曲线有且
只有一个交点的直线为过 P 与双曲线渐近线平行的直线．
2．曲线10x－2 m＋6－y2m＝1(m＜6)与曲线5－x2n＋9－y2 n＝1(5＜n＜ 9)的( D ) A．焦点相同 B．离心率相等 C．在 y 轴上的顶点相同 D．焦距相等
1．(1)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不同的 两点，那么 k 的取值范围是__(_－___31_5_，__－__1_)____．
(2)已知双曲线 C：2x2－y2＝2 与过点 P(1，2)的直线 l 只有一
个交点，则直线 l 斜率 k 的取值范围是 _k_＝__±___2_或__k_＝__32_或___k_不__存__在____．
直线与双曲线的位置关系
已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2 33， 且过点 P( 6，1)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l1：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A，B， 求 k 的取值范围．
[解] (1)由 e＝2 33可得ca22＝43，所以 a2＝3b2，故双曲线方程 可化为3xb22－yb22＝1，将点 P( 6，1)代入双曲线 C 的方程，可 解得 b2＝1. 所以双曲线 C 的方程为x32－y2＝1.
x1x2＝195－3 m.
又 OA⊥OB，所以 x1x2＋y1y2＝0，
所以 x1x2＋y1y2＝83x1x2＋2 315(x1＋x2)＋4＝0，
4 15
所以83·195－3 m＋2
15 3
－195－3 m
＋4＝0；
所以 m＝13，经验证，此时 Δ＞0； 所以双曲线的方程为 y2－x32＝1.
得 x1＋x2＝－65m，x1x2＝130(m2＋2)．
又 y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， 所以 y1－y2＝2(x1－x2)， 所以|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝5(x1－x2)2 ＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[3265m2－4×130(m2＋2)]＝356m2－6(m2＋2)．
线 15x－3y＋6＝0 交于 A，B 两点，且 OA⊥OB(O 为坐标原 点)． ①求此双曲线的方程； ②求|AB|.
解：(1)设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，
y＝2x＋m， 由x32－y22＝1 得
10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，
第三章 圆锥曲线与方程
第2课时 直线与双曲线的位置关系 (习题课)
1．直线与双曲线的位置关系及判定 直线：Ax＋By＋C＝0， 双曲线：xa22－yb22＝1(a>0，b>0)， 两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 1个或2个
1个
判定方法
m＝0时，有一个交点；m≠0 且Δ>0时，有两个交点
即 k2<35， k<－1或0＜k＜1，
1－k2<0，
所以 k∈(－ 315，－1)．
(2)先设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－1)， 代入双曲线 C 的方程，整理得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k －6＝0.(*) ①当 2－k2＝0，即 k＝± 2时，直线与双曲线的渐近线平行， 此时只有一个交点；
将①式代入②式，整理得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0.
此方程有两个不等实根，于是 5－4k2≠0， 且 Δ＝(－8km)2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＞0. 整理得 m2＋5－4k2＞0.③ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标(x0，y0)满足 x0＝ x1＋2 x2＝54－k4mk2，y0＝kx0＋m＝5－5m4k2. 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为