高教社2024高等数学第五版教学课件-3.4 函数的凹凸性和拐点

第三章 导数的应用
第四节
函数的凹凸性与拐点
一.函数的凹凸性
在中学里，我们主要依靠描点作图画出一些简单函数的图形，一般来
说，这样得到的图形比较粗糙，无法确切反映函数走向。也就是说函数是
升的还是降的？是直线上升，还是曲线上升？可见，仅知道函数的单调区
间是不够的，我们还必须知道曲线的凹凸.
定义1
设函数()在区间上有连续. 如果在区间上，曲线 = ()总
(2) ′ = 3 2 − 2 − 1 = (3 + 1)( − 1) " = 6 − 2
(3) 令′ = 0 得 =
1
− ，
3
=
1令 ″
= 0,得 =
1
;
3
(4) 列表分析如下


(−∞, − )

′
+
”
-
-
y
单调增加
凸
极大值27
−



(− , )

一般作函数 = ()的图形，可以按如下步骤进行：
（1） 确定函数 = ()的定义域
（2） 求出函数的一阶、二阶导数′()与 ″ ()
（3） 求出′()、 ″ ()为零的点和不存在的点
（4） 列表作图
例4
解
作函数 = 3 − 2 − + 1的图形．
(1) 函数的定义域为(−∞, +∞)
位于其任意一点的切线的上方，则称曲线 = ()在区间上是凹的；
如果在区间上曲线 = ()总位于其任意一点的切线的下方，则称
曲线f (x)在区间上是凸的．
y
y
O
x
O
x
曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点．
注：拐点、驻点与极值点的区别
在我们数学中，拐点、驻点与极值点是非常重要的概念，拐点是使
′ = 3 2 ″ = 6; 令 ″ = 0 得 = 0.
当 < 0时 ″ < 0, 当 > 0时 ″ > 0.
由凹凸性判定定理知曲线 = 3 在(−∞, 0]上
是凸的, 在[0, +∞)上是凹的, 原图形的描绘
知道函数的升降与凹凸，我们就可以大致描绘函数的图形了。
0 <
(1 )+(2 )
，
2
则函数在 , 上是凹的.
（2）可类比于第一问的证明方法证明.
例1 判断曲线 = 的凹凸性．
解 由图可知函数 = 的定义域为(0, +∞);
1
′
=


"=
1
− 2;

又在定义域(0, +∞)内 恒有 “ < 0，
故曲线 = 是凸的．
y
0
x
例2
曲线 = 2 是否有拐点？
yx2
y
解 函数 = 2 的定义域为(−∞, +∞)，
y2x y2；
又在(−∞, +∞)内恒有y>0，
根据凹凸性定理在(−∞, +∞)内曲线始终是凹的
故曲线无拐点.
O
x
例3 求曲线 = 3 的凹凸区间和拐点．
yx3
解
函数 = 3 的定义域为(−∞, +∞)，
′ 1 < ′ (2 )，
取0 =
1 +2
,取任意的 ∈
2
′
1 , 0 , ∈ (0 , 2 ),则有 ′ < ′ ()，由此可得
(0 − 1 ) < ′ ()(2 − 0 )，
则由拉格朗日中值定理得 0 − 1 < 2 − (0 ),即
,
）
2
2
1 +2
1 +2
,f(
))
2
2
1 + 2
2
2
x
1 +2
1 +(2 )
2 ，如果恒有f(
)>
，
2
2
0
用数学表达式表示即对于任意的1 ,
则称曲线()在区间上是凸的，反之亦然.
我们可以根据二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性:
定理1 凹凸性判定定理
设函数()在[, ]上连续 且在(, )内具有一阶和二阶导数.
0
32
(5) 作图如下：
1
32
（ − 3 ， 27） y
1
16
（ 3 ， 27）
-1
0
1




( , )

(, +∞)
-
-
-
0
+
-
0
+
+
+
单调减少
凸
( , )
拐点
单调减少
凹
极小值0
单调增加
凹

函数二阶导数等于零的点，驻点是使函数一阶导数等于零的点，极值点
所对于的导数的一阶导为零，但是要求其左边和右边函数的导数符号不
同，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。
y
(
1 +2
1 +2
,f(
))
2
2
y
(
(
1 +2 1 +(2 )
,
）
2
2
(
1 + 2
2
2
0
1
x
1
1 +2 1 +(2 )
（1） 若在(, )内f (x)>0 则曲线 = ()在[, ]上是凹的
（2） 若在(, )内f (x)<0 则曲线 = ()在[, ]上是凸的．
若f (x)= 0，则称0 为()的拐点.
证明：（1）对于任意的1 , 2 ∈ , (1 < 2 ),若恒有 " > 0,则