【高中】高中数学苏教版必修一函数的单调性一

【关键字】高中
§2.2函数的简单性质
2．2.1函数的单调性(一)
一、基础过关
1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是________．(填序号)
①y＝x2－2；②y＝；③y＝1＋2x；
④y＝－(x＋2)2.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中错误的是________．(填序号)
①>0；
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；
③f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)；
④>0.
3．若函数f(x)＝4x2－mx＋5－m在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m的值为________．
4．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(－1)，则实数m的取值范围是________．5．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是________________．7．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
8．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
二、能力提升
9．已知函数f(x)的图象是不间断的曲线，f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上的实根个数为________．
10．函数f(x)＝(a为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的范围是________．
12．求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递加，求实数a的取值范围．
答案
1．③
2．③
3．－16
4．(0，＋∞)
5．－3
6．(－1,0)∪(0,1)
7．解y＝－x2＋2|x|＋3
＝
＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
8．解函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵1≤x1<x2，
∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
9．1
10．(，＋∞)
11．(－∞，)
12．证明设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x32＋1)
＝x32－x31＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22)．
∵x1<x2，∴x2－x1>0，
又∵x21＋x1x2＋x22
＝⎝
⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22 且⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222≥0与34x 22
≥0. 两式中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1<x 2矛盾)，
∴x 21＋x 1x 2＋x 22>0，
∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，又∵x 1<x 2，
∴f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．
13．解 设2<x 1<x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋a x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2
＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2
<0恒成立． 由于x 1－x 2<0 , x 1x 2>0，即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.
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