专题13 抛物线与压轴题(3) 备战2020年中考数学典例精做题集(学生版)

专题13. 抛物线与压轴题（3）
五、抛物线与平行四边形
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，OA=1，OC=3，连接BC．
（1）求b的值；
（2）点D是直线BC上方抛物线一动点（点B、C除外），当△BCD的面积取得最大值时，在轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若在平面上存在点Q，使得以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q坐标．
16．如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△BCP是以B C为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）当P运动到第一象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线B C于点M。

①求线段PM长度的最大值
②D为平面内任意一点，当线段PM最大时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形。

若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
17．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B 左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，是否存在以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC的值最小时，求△ABP的面积；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
六、抛物线与动点问题
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设P、Q同时运动的时间为t秒（0<t<2).
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PBQ的面积为S ，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
当点P移动到抛物线的什么位置时，使得，求出此时点P的坐标；
当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止当两个动点移动t秒时，求四边形P AMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
七、抛物线与直线、线段的交点问题
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+4（m≠0）的顶点为P．P，M两点关于原点O成中心对称．
（1）求点P，M的坐标；
（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0≤x≤5的部分记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围．
24．已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．
（Ⅰ）求k取值范围；
（Ⅱ）当k取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；
（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．
25．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
443y mx mx m =-++的顶点为A ．
（1）求点A 的坐标；
（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''．
①直接写出点O '和A '的坐标；
②若抛物线2
443y mx mx m =-++与四边形AOO A ''有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．
七、抛物线与整点问题
27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
21(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A,B.
(1)求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

①当m ＝1时，求线段AB 上整点的个数；
②若抛物线在点A,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围。

28．已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过()2,0， ()4,1两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）.
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题： ①若52
a =，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围.。