马鞍山市2019-2020学年高一下学期期末考试 数学试卷(含解析)

马鞍山市2019-2020学年高一下学期期末考试
数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共36分）
1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣3，则a5的值是（）
A．9 B．13 C．17 D．21
解：由数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣3，得a5＝4×5﹣3＝17．故选：C．
2．在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）
A．B．C．D．
解：∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）＝．故选：D．3．已知a，b，c，d∈R，下列结论正确的是（）
A．若a＞b，b＜c，则a＞c B．若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
解：A．若a＞b，b＜c，取a＝1，b＝0，c＝1，则a＝c，故A不正确；
B．若a＞b，则﹣a＜﹣b，所以c﹣a＜c﹣b，故B正确；
C．若a＞b，显然当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故C不正确；
D．若a＞b，c＞d，取a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＜bd，故D不成立．故选：B．
4．某同学高一数学九次测试的成绩记录如图所示，则其平均数和众数分别为（）
A．81，88 B．82，88 C．81，86 D．82，86
解：同学高一数学九次测试的成绩分别是：68、75、78、83、86、81、86、88、93．平均数＝（69+75+78+83+86+81+86+88+93）＝82．众数是86．
故选：D．
5．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（）A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
解：根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，
分析可得：A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件；
故选：D．
6．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．＝0.4x+2.3 B．＝2x﹣2.4
C．＝﹣2x+9.5 D．＝﹣0.3x+4.4
解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；
样本平均数＝3，＝3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
7．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）
A．﹣11 B．﹣17 C．﹣18 D．3
解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+．
则此数列前n项和的最小值为S3＝＝﹣18．
故选：C．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°
解：∵a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则b2+c2﹣a2＝bc，
∴，∵A∈（0，π），故，即∠A＝60°．
故选：B．
9．在等差数列{a n}中，若a7+a9＝12，则其前15项的和S15＝（）
A．60 B．90 C．120 D．180
解：由等差数列的性质可得：a7+a9＝12＝a1+a15，则其前15项的和S15＝＝15×＝90．故选：B．
10．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）
A．B．C．D．
解：设AB＝x，则在Rt△ABC中，CB＝∴BD＝a+
∵在Rt△ABD中，BD＝∴a+＝，求得x＝
故选：A．
11．某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）A．B．C．D．
解：根据题意得：（1+p）（1+q）＝（1+x）2，
而（1+p）（1+q）＝1+p+q+pq≤1+p+q+＝，当且仅当p＝q时取等号，
即（1+x）2≤，两边开方得：1+x≤1+即x≤．
故选：C．
12．在数列{a n}中，a1＝1，对于任意自然数n，都有a n+1＝a n+n•2n，则a15＝（）A．14•215+2 B．13•214+2 C．14•215+3 D．13•215+3
解：∵a n+1＝a n+n•2n，
∴，
，
，
…
，
．
累加得：a n﹣a1＝1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1①
又2a n﹣2a1＝1•22+2•23+3•24+…+（n﹣2）•2n﹣1+（n﹣1）•2n②
①﹣②得：﹣a n+a1＝2+22+23+24+…+2n﹣1﹣（n﹣1）•2n
＝＝（2﹣n）•2n﹣2．
∴．
∴a15＝13•215+3．
故选：D．
二、填空题：（每小题4分，共20分.）
13．将二进制数110转化为十进制数的结果是6．
解：1102＝1×22+1×2+0＝4+2＝6．故答案为：6．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝1，B＝45°，则C＝30°．解：∵b＝，c＝1，B＝45°，
∴由正弦定理，可得sin C＝＝＝，
∵c＜b，可得C＜B＝45°，
∴C＝30°．
故答案为：30°．
15．执行如图所示的程序框图，输出的结果是16．
解：第一次S＝0+1＝1，n＝3≤7成立，
第二次S＝1+3＝4，n＝5≤7成立，
第三次S＝4+5＝9，n＝7≤7成立，
第四次S＝9+7＝16，n＝9，n≤7不成立，
输出S＝16，
故答案是：16．
16．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，则a n＝2n．
解：∵数列{a n}的前n项和，
∴a1＝S1＝1+1＝2，
n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n，
n＝1时，上式成立，
∴a n＝2n．
故答案为：2n．
17．已知a＞0，b＞0，若恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，12]．解：知a＞0，b＞0，若恒成立，
所以（a+3b）（）≥m，
因为（a+3b）（）＝6+＝12，当且仅当时取等号，
故m≤12，
故答案为：（﹣∞，12]
三、解答题：本大题共5个小题，满分44分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知不等式ax2+3x﹣2＜0（a≠0）．
（1）当a＝2时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a的值．
解：（1）a＝2时，不等式为2x2+3x﹣2＜0，
分解因式得（2x﹣1）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜，
所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜}；
（2）不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，
所以方程ax2+3x﹣2＝0的两根为1和2，
由根与系数的关系知，﹣＝1+2，
解得a＝﹣1．
19．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a5＝5，S5＝15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设a n＝log2b n，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，
则由a5＝5，S5＝15，得，解得．∴a n＝1+（n﹣1）×1＝n；
（2）由a n＝log2b n，得，
∴T n＝b1+b2+…+b n＝．
20．在△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC的长及△ABC的面积
解：由题意，∠B＝60°，BC＝3，∠ADC＝150°，可知ABD是直角三角形，
∴AB＝1，AD＝
在△ADC中，由余弦定理：AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC cos150°＝7 ∴AC＝；
△ABC的面积为＝＝．
21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10＝1，解得x＝0.02．
（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m﹣70）×0.03＝0.5，解得m＝75．
（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2
满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，
记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，
基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），
（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，
利用古典概型概率公式可知P（A）＝0.4．
22．已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}前n项和S n；
（3）设f（λ）＝，对于（2）中的S n，若S n＞f（λ）对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
解：（1）由题意，a2，a5，a14成等比数列，
∴，即，
整理得，∵d＞0，∴d＝2．
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）b n＝＝，
∴S n＝b1+b2+…+b n＝＝；
（3）∵＞0．
∴数列{S n}是单调递增的，∴S1＝是S n的最小值．
要使S n＞f（λ）对n∈N*恒成立，需f（λ）＝＜恒成立．解得：3≤λ＜7．
∴λ的取值范围为[3，7）．。