关于SPH方法的若干问题

无单元Galerkin方法(element- freeGalerkin method，EFG)
自由网格方法(free mesh method，FMM)
1,热传导问题
研究结果表明：与有限容积法相比，无网格方法在计算不规则区域导热问题时有更高的计算精度，但它需要更多的计算时间；无网格方法在导热与辐射问题中的大量计算实例表明，这种方法在处理不规则边界问题时具有特殊优越性，除了无网格方法的计算工作量较大这一缺点外，不存在特殊的数值处理问题，但是将无网格方法应用于流动问题时，与在有限差分、有限容积法中一样，对流项的离散方式影响到计算的稳定性.
Cleary 和Monaghan[8]应用光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics，SPH)方法计算非稳态热传导问题。

Chen 等[9]用修正的SPH方法计算非稳态导热问题。

2，可压缩性
在求解可压缩流体问题的标准SPH 方法中，粒子的运动是由于压力梯度等的作用而产生的，而粒子的压力是通过状态方程由粒子自身的密度和内能来计算的. 然而，在不可压缩流体问题中，流体实际的状态方程限制了时间步长，即时间步长不能太小. 如何有效地计算动量方程中的压力项是模拟计算不可压缩流体的一个主要任务.
，在SPH 方法中一般通过引入人工可压缩性，应用一个合适的准可压缩流体的状态方程来模拟不可压缩流体. 在模拟诸如Poiseuille问题等低雷诺数流动时，通常可以使用下列状态方程［28］:p = c2ρ.(15)
其中c 为声速. 在人工压缩率理论中，声速是一个值得慎重考虑的因素. 若引用实际的声速(例如在标准气压和温度下水中的声速为1480 m/s)，则可用理想不可压缩的人工流体来近似真实的流体.
3，声速的选择
考虑流体的相对密度变化率δ，有
其中Vb和Ma 分别是流体整体速度和马赫数. 由于真实的声速相当大，故相应得到的马赫数非常小，相对密度变化率δ几乎可忽略. 因此，为了应用人工可压缩流体近似真实流体，必须使用比真实值要小得多的声速. 所以对声速的要求有以下两个方面:一方面，要求声速必须足够大，以至于人工可压缩流体的特性与真实流体充分接近;另一方面，要求声速应足够小，可使时间步的增量在容许范围内.由(16)式可看出，在使用人工可压缩流体模拟真实流体时，必须选择声速与流体的整体速度相近. 除了考虑整体速度的大小，在选择声速时也必须先估计压力场的大小. 声速一般可选为流体整体流速的10 倍左右，这样流体的相对密度变化率δ应在1%以内［8］。

Morris 等［28］通过权衡压力、黏性力和体力三者的大小，推导出了声速的估算值，认为声速的平方应为三者中的最大值，即
其中ν(ν = μ /ρ)为运动黏度，L 为特征长度.
4,核函数类型的选择
1）钟形核函数
()()()()3
'
1311,,0
1d R R R W x x h W R h R ⎧+-≤⎪-==⎨
>⎪⎩α （2-10） 式中d α的值在一维、二维和三维空间中分别为54h 、25
h π和3
10516h
π，R 是在点x 和'
x 处两粒子之间的相对距离，'
x x
r R h h
-==。

Lucy （1997）最早使用钟形函数作为光滑函数。

2）高斯型核函数
()2
,R d W R h e -=α
（2-11）
式中d α的值在一维、二维和三维空间中分别为
1
2
1
h
π、
2
1h
π和33
21h π，高斯型核函数是充分光滑的，它很稳定且精度很高，特别是对于不规则粒子分布的情况。

3）B-样条函数（分段三次样条函数）
()()
2
332101321
,212602
d R R R W R h R R R ⎧-+≤<⎪⎪
⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩
α （2-12）
式中d α的值在一维、二维和三维空间中分别为
1h 、2157h π和3
32h π，B-样条函数是目前为止应用最广泛的光滑函数，但是由于光滑函数是分段的，其稳定性比那些较为光滑的核
函数差一些。

4）五次样条核函数
()()()()()()()55555
5
3621510136212,323
3
d R R R R R R R W R h R R R ⎧---+-≤<⎪
⎪---≤<⎪=⎨
⎪-≤<⎪≥⎪⎩α （2-13）
式中d α的值在一维、二维和三维空间中分别为120h 、27478h π和3
3
359h π，五次样条函数是对B-样条函数的改进形式。

5）二次核函数
()23
33,0216
44d W R h R R R ⎛⎫=-+≤≤ ⎪
⎝⎭α
（2-14）
式中d α的值在一维、二维和三维空间中分别为
1h 、22h π和3
54h π，二次光滑函数是三次样条函数的一个重要改进，可解决压力不稳定问题。

5,相对距离
'
x x r R h h
-==
6,镜像粒子的生成
边界粒子确定后,镜像粒子根据边界条件自动生成。