宁夏回族自治区银川2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析

银川2023-2024学年第一学期高二年级期中考试
数学试卷（答案在最后）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线2023y x =+的倾斜角为（）
A.
π4
B.
π3 C.
2π3
D.
3π4
2.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（
）
A.221
4x y += B.221
2x y +=C.2
2
1
2
y x += D.2
2
1
4
y x +=3.在空间直角坐标系中，直线12,l l 的方向量分别为()()2,1,3,2,2,2a b =-=
，则（
）
A.12
l l ⊥ B.12
l l // C.1l 与2l 异面
D.1l 与2l 相交
4.已知动点(,)M x y 4-，则动点M 的轨迹是（）
A.射线
B.直线
C.椭圆
D.双曲线的一支
5.圆1C ：()()2
2
314x y -++=关于直线0x y +=对称的圆2C 的方程为（）
A
.(
)()2
2
314
x y -+-= B.()
()2
2
134
x y ++-=C.
()()
2
2
314
x y +++= D.
()()
2
2
134
x y -++=6.双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（
）
A.
π4
B.
2π3
C.
3π4
D.
5π6
7.过点()1,1A ，()3,3B 且圆心在直线3y x =上的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，则PQ =（）
A.3
B. C. D.4
8.如图所示，用一束与平面α
成60︒的球O ，在平面α上形成的投影为椭圆C
及其内部，则椭圆C 的（
）
A.长轴长为3
B.离心率为2
C.焦距为2
D.面积为3π
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知双曲线22
:1169
y x C -=-的焦点分别为12,F F ，则下列结论正确的是（
）
A.渐近线方程为340
x y ±=B.双曲线C 与椭圆22
1259
x y +=的离心率互为倒数
C.若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F △的周长为28
D.若从双曲线C 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
10.有关圆2
2
1:2880C x y x y +++-=与圆22
2:4410C x y x y +---=的下列哪些结论是正确的
（）
A.圆1C 的圆心坐标为()1,4--，半径为5
B.若,M N 分别为两圆上两个点，则MN 的最大距离为8+
C.两圆外切
D.若,P Q 为圆2C 上的两个动点，且4PQ =，则PQ 的中点的轨迹方程为()()2
2
225
x y -+-=11.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，
11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（
）
A.11BD AA AD AB
=+- B.13BD =
C.1AC BD
⊥ D.直线1A C ⊥平面11
BDD B 12.若实数x ，y 满足曲线C ：214y x =-）
A.13y ≤≤
B.
3y x +的最小值为1
5
C.直线()33y k x =-+与曲线C 恰有1个交点，则实数2,25k ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
D.曲线C 上有4个点到直线3460x y -+=的距离为1.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线1l ：410x ay ++=，2l ：()26210a x y a ++++=，当12l l ∥时，a 的值为__________.14.若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线220x y -+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.
15.设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N =
，且
24
cos 5
MNF ∠=
，则椭圆C 的离心率为_________.16.已知()11,M x y ，()22,N x y 是圆C ：()()2
2
344x y -+-=上的两个不同的点，若2MN =，则
1122x y x y +++的取值范围为___________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知离心率为54的双曲线C 与椭圆22
14520
x y +=的焦点相同.
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）求双曲线C 的焦点到渐近线的距离.18.已知圆22:3C x y +=，直线l 过点()2,0A -.
（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
（2）线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16,8,10AA AC AB BC ====，点D 是线段BC 的中点，
（1）求证：1AB A C
⊥（2）求D 点到平面11A B C 的距离；
20.椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点)
且短轴长为2.
（1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点()2,1且倾斜角为
π
4
的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴交于点Q ，P 是椭圆C 上的一点，求PQ 的最小值.
21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===
，1AD CD ==，平面11AA C C ⊥平面
ABCD ，1AA AB ⊥.
（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；
（2）若E 为线段BC 的中点，直线1A E 与平面ABCD 所成角为45°，求平面1A AE 与平面1
1A EC 的夹角的余弦值.
22.已知圆E ：22140x y ++-=，点M 是圆E 上的动点，点)
F ，N 为MF 的中点，过N
作SN MF ⊥交ME 于S ，设点S 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使
QA PA QB
PB
=
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
银川2023-2024学年第一学期高二年级期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线2023y x =+的倾斜角为（）
A.
π4
B.
π3 C.
2π3
D.
3π4
【答案】A 【解析】
【分析】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，然后利用斜率公式即可【详解】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，由2023y x =+可得斜率tan 1k θ==，即π4
θ=故选：A
2.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（
）
A.221
4x y += B.221
2x y +=C.2
2
1
2
y x += D.2
2
1
4
y x +=【答案】D 【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.
【详解】因为焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22
221y x a b +=，
则2
22232c a b ⎛=-== ⎝⎭
，且2a b =，
解得：2
2
4,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2
2
14
y x +=.
故选：D
3.在空间直角坐标系中，直线12,l l 的方向量分别为()()2,1,3,2,2,2a b =-=
，则（
）
A.12l l ⊥
B.12l l //
C.1l 与2l 异面
D.1l 与2l 相交
【答案】A 【解析】
【分析】应用空间向量数量积的坐标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系.
【详解】由()()2,1,32,2,24260a b ⋅=-⋅=+-= ，故a b ⊥ ，
所以12l l ⊥.故选：A
4.已知动点(,)M x y 4-，则动点M 的轨迹是（）
A.射线
B.直线
C.椭圆
D.双曲线的一支
【答案】A 【解析】
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设()()122,0,2,0F F -，由题意知动点M 满足12124MF MF F F -==|，故动点M 的轨迹是射线.故选：A.
5.圆1C ：()()2
2
314x y -++=关于直线0x y +=对称的圆2C 的方程为（）
A.()
()2
2314
x y -+-= B.()
()2
2
134
x y ++-=C.
()()
2
2
314
x y +++= D.
()()
2
2
134
x y -++=【答案】D 【解析】
【分析】圆1C 关于直线对称的圆2C 之间的关系为：圆心关于直线对称，半径相等.所以求出(3,1)-关于直线
0x y +=对称的对称点即可解题.
【详解】圆1C ：()()2
2
314x y -++=的圆心为(3,1)-，半径为2，设(3,1)-关于直线0x y +=对称的对称点为(,)a b ，
则1
(1)13
310
2
2b a a b +⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+-⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩.
∴(3,1)-关于直线0x y +=对称的对称点为(1,3)-，
∴圆1C ：()()2
2
314x y -++=关于直线0x y +=对称的圆2C 的方程为()()2
2
134x y -++=.
故选：D.
6.双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（
）
A.
π4
B.
2π3
C.
3π4
D.
5π6
【答案】B 【解析】
【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线为b y x a =±，
且注意到双曲线的离心率为c
e a
=
，又在双曲线中有平方关系：222c a b =+，
所以离心率为c e a a ===，
又由题意2e =，
2=
，解得b a =
即双曲线的渐近线的斜率为
b
a
=由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是2
π3或π3
.
故选：B.
7.过点()1,1A ，()3,3B 且圆心在直线3y x =上的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，则PQ =（）
A.3
B.
C. D.4
【答案】C 【解析】
【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为(),3,a a r ，则圆的方程为()()22
23x a y a r -+-=，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令0x =，即可求出P ，Q 两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆心在直线3y x =上，所以设圆的圆心、半径分别为(),3,a a r ，则圆的方程为()()2
2
23x a y a r -+-=，
将()1,1A ，()3,3B 代入圆的方程有()()()()22
2222113333a a r a a r
⎧-+-=⎪
⎨-+-=⎪⎩，解得214a r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为()()22
134x y -+-=，
在圆的方程中令0x =得()2
314y -+=
，解得3y =±，
所以(
(
33PQ =+-=.
故选：C.
8.如图所示，用一束与平面α成60︒
的球O ，在平面α上形成的投影为椭圆C 及其内部，则椭圆C 的（
）
A.长轴长为3
B.
离心率为2
C.焦距为2
D.面积为3π
【答案】C 【解析】
【分析】先根据投影的特点确定椭圆C 的a ，b 的取值与球O 半径长之间的关系，再结合椭圆的性质计算离心率分别判断各个选项即可．
【详解】
由题意知：,60OB AB OB BAO ⊥=∠=︒
，
2
sin OB
OA BAO
∴=
=
∠∴椭圆C 的长轴长224a OA ==，A 错误；
椭圆C 短轴长为球O
的直径，即2b b =∴=
,
1,c ∴==∴椭圆C 的焦距为22c =，C 正确；
∴椭圆C 的离心率1
2
c e a =
=，B 错误；由图可知：椭圆C 的面积大于球O 大圆的面积，又球O 大圆的面积3πS =，
∴椭圆C 的面积大于3π，D 错误．
故选：C ．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知双曲线22
:1169
y x C -=-的焦点分别为12,F F ，则下列结论正确的是（
）
A.渐近线方程为340
x y ±=B.双曲线C 与椭圆22
1259
x y +=的离心率互为倒数
C.若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F △的周长为28
D.若从双曲线C 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6【答案】CD 【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义及性质一一判定即可.
【详解】由题意可得22
:1916x y C -=，令22034916
x y y x -=⇒=±，故A 错误；
易知双曲线和椭圆的离心率分别为1254
,35
e e ====，显然它们不互为倒数，故B 错误；
由双曲线的定义可知12236PF PF -=⨯=，
若122PF PF =，则12216,12PF PF PF PF -===，
又12210F F ==，故12PF F △的周长为12126121028PF PF F F ++=++=，故C 正确；由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，故D 正确.
故选：CD
10.有关圆221:2880C x y x y +++-=与圆22
2:4410C x y x y +---=的下列哪些结论是正确的（）
A.圆1C 的圆心坐标为()1,4--，半径为5
B.若,M N 分别为两圆上两个点，则MN 的最大距离为
8+C.两圆外切
D.若,P Q 为圆2C 上的两个动点，且4PQ =，则PQ 的中点的轨迹方程为()()22
225x y -+-=【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A ，将圆1C 的方程化为标准方程即可判断；对于B ，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C ，由121212,,r r C C r r -+的关系即可判断；对于D ，画出图形，结合垂径分线定理分析即可.
【详解】对于A ，将圆221:2880C x y x y +++-=的方程化为标准方程得()()22
1425x y +++=，由此可知圆1C 的圆心坐标为()1,4--，半径为5，故A 选项正确；
对于B ，将圆222:4410C x y x y +---=的方程化为()()22
229x y -+-=，如图所示：
不妨设,M N 分别为两圆12,C C 上两个点，四个点1212,,,C C M N 共线，则由三角不等式可知11221111MN MC C N C C M N MC C N ≤+≤++=，而12,MC C N 分别为两圆12,C C 的半径，即12125,3M r C r C N ====，
12C C 是指两圆圆心()()121,4,2,2C C --之间的距离，即12C C ==
所以112112538C C MN MC C N MC C N ≤+≤++=+=+，
由等号成立的条件可知，当且仅当点M 与点1M 重合，点N 与点1N 重合时，11max 8M N MN
==+，故B 选项正确；
对于C ，由B 选项分析可知121212253538r r C C r r =-=-<=+=+=，故两圆相交，而不是外切，故C 选项错误；
对于D ，如图所示：
由题意不妨设4PQ =，,P Q 中点为R ，则122PR PQ =
=，又由于()()222:229C x y -+-=的半径为23r =，
所以由垂径分线定理可知2C R ===，即2
25C R =，所以点R 的坐标为(),x y ，又点2C 的坐标为()2,2，
所以()()22
225x y -+-=，故D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B 、D 两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B 、D 两选项是解题的关键.11.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，
11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）
A.11BD AA AD AB =+-
B.1BD =
C.1AC BD
⊥ D.直线1A C ⊥平面11
BDD B 【答案】ACD
【解析】【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A 正确；将11BD AA AD AB =+- 两边平方利用向量数量
积即可求得1BD = B 正确；由向量数量积计算可得10AC BD ⋅= ，即C 正确；易知1AC 是平面
11BDD B 的一个法向量，可得D 正确.
【详解】由平行六面体可知11DD AA = ，所以111BD BA AD DD AA AD AB =++=+- ，即A 正确；
设AB a = ，AD b =，1AA c = ，则{,,}a b c 为空间的一个基底，
因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，
所以2221a b c === ，12
a b b c c a ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ，()2222221111()||||||2222BD AA A D AB c b a c b a c b c a b a =+-=+-=+++⋅-⋅-⋅= ，
可得1BD = ，故B 错误；
()
1122()()()
0AC BD AB AD AA AD AB a b c b a a b a b b a c b c a ⋅=++⋅-=++⋅-=⋅-+-⋅+⋅-⋅= 即10AC BD ⋅= ，所以1AC BD ⊥，故C 正确；在平面11BDD B 上，取BD ，1BB
为基向量，则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(,)λμ，使得1BP BD BB λμ=+ ．
又1
AC a b c =+- ，BD b a =- ，1BB c = ，所以1111()()()0A C BP A C BD A C BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅= ．
所以1AC 是平面
11BDD B 的法向量．故D 正确．故选：ACD ．
12.若实数x ，y 满足曲线C
：1y =）
A.13y ≤≤
B.3y x +的最小值为15
C.直线()33y k x =-+与曲线C 恰有1个交点，则实数2,25k ⎛⎤∈
⎥⎝⎦D.曲线C 上有4个点到直线3460x y -+=的距离为1.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先画出曲线表示的半圆，再根据点与直线，直线与圆的位置关系逐项判断；
【详解】
对于A:
曲线1y =()2
214x y +-=的图象是以()01，为圆心，2为半径的半圆，如图，13y ≤≤，选项A 正确；
对于B:3
y x +代表曲线半圆上的点与()3,0-的斜率，由图可知，曲线取点()2,1B 时，斜率最小，()101235
k -==--，选项B 正确；对于C ：直线()33y k x =-+过定点()3,3A ，由图可知，当直线位于,PA PB 之间，或者直线()33y k x =-+与曲线C 相切时恰有1个交点，312,32PB k -=
=-()312325PA k -==--
相切时2d ==，解得：0k =或125k =，故实数212,2055k ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭
，，选项C 错误；对于D ：如图，曲线上最多有2个点到直线3460x y -+=的距离为1，D 错误；
故选：AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线1l ：410x ay ++=，2l ：()26210a x y a ++++=，当12l l ∥时，a 的值为__________.
【答案】4
-【解析】
【分析】根据两条直线的平行关系求a 的值，再把a 的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a .
【详解】因为12l l ∥，所以()26240a a +-⨯=，解得4a =-或1a =.
当1a =时，1l ：410x y ++=，2l ：8220x y ++=，此时1l 与2l 重合，不符合题意；
当4a =-时，1l ：4410x y -+=，2l ：2230x y -+-=，此时12l l ∥，符合题意.
综上，a 的值为4-.
故答案为：4-.
14.若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线220x y -+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.【答案】2215x y +=或22154
y x +=【解析】
【分析】对椭圆的焦点进行分类讨论，求出,,a b c 的值即可.
【详解】由于直线220x y -+=与坐标轴的交点为()2,0-与()0,1．
①当焦点为()2,0-，顶点为()0,1时，
此时椭圆焦点在x 轴上，且1b =，2c =，
所以22222125
a b c =+=+=所以椭圆的标准方程为2
215
x y +=．②当焦点为()0,1，顶点为()2,0-时，
此时椭圆焦点在y 轴上，且2b =，1c =，
所以22222215
a b c =+=+=所以椭圆的标准方程为22
154
y x +=．综上所述，椭圆的标准方程为2215x y +=或22154
y x +=．故答案为：2215x y +=或22154
y x +=．
15.设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N = ，且
24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】22##122【解析】【分析】如图，设1F N x =，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3a x =，后在12NF F △由余弦定理可得122F F a =，即可得答案.
【详解】如图，设1F N x =，则13MF x =，4MN x =.
又由椭圆定义可得2223,2MF a x F N a x =-=-.
则在2MNF 中，由余弦定理可得:
()()()22222
222
2162234425825MN NF MF x a x a x MN NF x a x +-+---=⇒=⋅-()222288410101681868253
x ax a x ax ax x x ax x x a x +⇒=⇒+=-⇒=⇒=-.则125,33
a a F N NF ==，则在12NF F △由余弦定理可得：
2222121212255422299335a a a a F F F N F N F N F N a =+-⋅=
+-⋅⋅⋅=.又1222222c F F c a c e a =⇒
=⇒==.故答案为：2
2
16.已知()11,M x y ，()22,N x y 是圆C ：()()22
344x y -+-=上的两个不同的点，若MN =，则1122x y x y +++的取值范围为___________．
【答案】[]
10,18【解析】
【分析】1122x y x y +++为()11,M x y 和()22,N x y 到直线0x y +=倍，是MN 的中点P
到直线0x y +=距离的倍，利用P 点轨迹，求取值范围.
【详解】由题知，圆C 的圆心坐标()3,4C ，半径为2，因为MN =CM CN ⊥．
设P 为MN 的中点，所以CP =，所以点P 的轨迹方程为()()22
342x y -+-=．
点P 的轨迹是以()3,4C 的圆.
设点M ，N ，P 到直线0x y +=的距离分别为1d ，2d ，d ，
所以1d =，2d =122
d d d +=，
所以)112212x y x y d d +++=+=．
因为点C 到直线0x y +=2=，所以727222d ≤≤+
即22
d ≤≤，所以1018≤≤．所以1122x y x y +++的取值范围为[]10,18．
故答案为：[]
10,18【点睛】思路点睛：利用1122x y x y +++的几何意义，问题转化为为()11,M x y 和()22,N x y 到直线0x y +=距离之和，再
转化为MN 的中点P 到直线0x y +=距离，由P 点轨迹是圆，可求取值范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知离心率为54的双曲线C 与椭圆2214520
x y +=的焦点相同.（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）求双曲线C 的焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）22
1169
x y -=（2）3
【解析】
【分析】（1）根据已知条件取得双曲线的,,a b c ，从而求得双曲线的标准方程.
（2）利用点到直线的距离公式求得正确答案.
【小问1详解】椭圆22
14520
x y +=的焦点坐标为()5,0±，设双曲线的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，222c a b =+，所以双曲线的半焦距5c =.又由54
c a =，得4a =，所以3b =，
所以双曲线C 的标准方程为22
1169
x y -=.【小问2详解】
由（1）知，双曲线C 的焦点坐标为()5,0±，渐近线方程为340x y ±=，
所以双曲线C
3=.
18.已知圆22:3C x y +=，直线l 过点()2,0A -.
（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
（2）线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程
.【答案】（1）
（2）223(1)4
x y ++=
【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点M 和点A 之间的关系式，再利用点A 的坐标满足的关系式得到点M 的坐标满足的条件，即可求出.
【小问1详解】
已知C 的圆心是()0,0O
，
设直线斜率为,
k 则直线方程是()2y k x =+，即20kx y k -+=，
=，
解得直线的斜率k =.
【小问2详解】
设点()()00,,,M x y B x x 则，
由点M 是AB 的中点得，0022,02x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
所以00
222x x y y =+⎧⎨=⎩①因为B 在圆C 上运动，所以2200:3C x y +=②
①代入②得，22(22)(2)3,
x y ++=化简得点M 的轨迹方程是223(1)4
x y ++=.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16,8,10AA AC AB BC ====，点D 是线段BC
的中点，
（1）求证：1AB A C
⊥（2）求D 点到平面11A B C 的距离；
【答案】（1）证明见解析
（2
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理证得AB AC ⊥，再由线面垂直得线线垂直，进而线面垂直得线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量公式求解即可.
【小问1详解】
ABC 中，6,8,10AC AB BC ===，所以AB AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，又因为1AA AC A = ，AC ⊂平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，
所以AB ⊥平面11ACC A ，1
AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB A C ⊥.【小问2详解】
由（1）知，1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，又AB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -
，
则()()()()113,4,0,0,0,6,0,8,6,6,0,0D A B C ，()()1
116,0,6,0,8,0AC A B =-= ，设平面11A B C 的一个法向量为(),,n x y z =r
，则11166080
n A C x z n A B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，解得0x z y =⎧⎨=⎩，令1z =，则()1,0,1n = ，设D 到平面11A B C 的距离为d ，由()3,4,0CD =-
得CD n d n ⋅=== .20.椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C
经过点)且短轴长为2.
（1）求椭圆C 的标准方程：
（2）过点()2,1且倾斜角为π4
的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴交于点Q ，P 是椭圆C 上的一点，求PQ 的最小值.
【答案】（1）2
212
x y +=
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解.
（2）由直线l 和椭圆方程式联立得线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的中垂线方程，由此求得Q 的坐标，再由椭圆的参数方程得P 的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得.
【小问1详解】
由题意设椭圆C 的方䄇为()22
2210x y a b a b
+=>>，
因为椭圆C 经过点)
且短轴长为2，所以2,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=.【小问2详解】
由已知得直线l 的方程为1y x =-，
设()()1,12,2,A x y B x y ，将直线1y x =-代入2212
x y +=，得2340x x -=，解得403x =或
，不妨设10x =则11y =-；同理得2241,33x y ==，即()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以线段AB 的中点坐标21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以线段AB 的中垂线PQ 的方程为13
y x =-+，因为线段AB 的中垂线PQ 与x 轴交于点Q ，所以令0y =得13x =，得1,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
因为椭圆的标准方程为2
212
x y +=.
所以设椭圆的参数方程为sinαx y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，[]0,2πα∈，因为P 是椭圆C 上的一点，
所以)P ,
所以PQ =
==因为[]0,2πα∈，所以1cosα1-≤≤，
当cosα3=时，PQ 取得最小值为3
.
21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===
，1AD CD ==，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，1AA AB ⊥.
（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；
（2）若E 为线段BC 的中点，直线1A E 与平面ABCD 所成角为45°，求平面1A AE 与平面1
1A EC 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）5
.【解析】
【分析】（1）由平面11AA C C ⊥平面ABCD ，证明BD ⊥平面11AA C C ，得1AA BD ⊥，又1AA AB ⊥，可证明1AA ⊥平面ABCD .
（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值.
【小问1详解】
连接BD ，设AC BD F ⋂=，
由BA BC =，DA DC =，得BD 是线段AC 的垂直平分线，即有BD AC ⊥，
平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，于是BD ⊥平面11AA C C ，
而1AA ⊂平面11AA C C ，则1AA BD ⊥，又1AA AB ⊥，,AB BD ⊂平面ABCD ，AB BD B = ，所以1AA ⊥平面ABCD .
【小问2详解】
由AB BC CA ===60BAC ∠= ，又1AD CD ==，AC =，122
AF AC ==，则30DAC ∠= ，
于是90DAB ∠= ，又1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，则以{}
1,,AB AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -，
在ABC 中，E 为BC 中点，即有3322
AE AB ==，由1AA ⊥平面ABCD ，得1A EA ∠为1A E 与平面ABCD 所成角，即145A EA ∠= ，有132AA AE ==
，
则130,0,2A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，3(,,0)44E ，133(,,222
C ，B ，33,,0)22C ，由1AA ⊥平面ABC
D ，BC ⊂平面ABCD ，得1BC AA ⊥，
又BC AE ⊥，1,AE AA ⊂平面1A AE ，1AE AA A = ，则BC ⊥平面1A AE ，
于是平面1AA E
的一个法向量为3(,,0)22
m BC ==- ，设平面11A EC 的一个法向量为(),,n x y z =r
，133(,,442A E =-
，113(,,0)22
AC = ，
则11133044233022n A E x y z n A C x y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩
，取1y =-
，得1,1)n =- ，设平面1A AE 与平面1
1A EC 的夹角为θ
，则3|(1)|||1522cos 5||||m n m n θ-
⨯⨯-⋅== ，所以平面1A AE 与平面1
1A EC
的夹角余弦值为5.22.已知圆E
：22140x y ++-=，点M 是圆E
上的动点，点)
F
，N 为MF 的中点，过N 作SN MF ⊥交ME 于S ，设点S 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使QA PA
QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22
142
x y +=（2）存在点(0,2)Q 满足题意．
【解析】
【分析】（1）由动点的位置特征，判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程；
（2）当直线l 与y 轴垂直时，得点Q 必在y 轴上；当直线l 与x 轴垂直时，得点Q 的坐标只可能是(0,2)Q ；再证明直线l 斜率存在且(0,2)Q 均满足条件即可．
【小问1详解】
依题意可知圆E
的标准方程为(2216x y ++=
，圆心()
E ，
因为线段MF 的垂直平分线交ME 于点S ，所以SM SF =，
动点S 始终满足422SE SF SE SM EM EF +=+==>=S 满足椭圆的定义，
曲线C 是以,E F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22
22 1x y a b
+=，因此22422a c ==，，解得22a b c ===，，
椭圆C 的方程为22
142
x y +=.【小问2详解】
存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||
=QA PA QB PB 恒成立．理由如下：当直线l 与x 轴平行时，由椭圆的对称性可知PA PB =，又因为||||||||
=QA PA QB PB 得，则QA QB =，从而点Q 必在y 轴上，可设0(0,)Q y ，当直线l 与x 轴垂直时，则((2,0,2A B -，如果存在定点Q 满足条件，由||||||||=QA PA QB PB 0022|2|21
y =++，解得01y =或02y =，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)；
当直线l 不平行于x 轴且不垂直与x 轴时，可设直线l 的方程为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得：()
2212420k x kx ++-=，
22(4)8(12)0k k ∆=++>，设A 、B 的坐标分别为()11,A x y 、()22,B x y ，
122412k x x k
∴+=-+，122212x x k =-+，又点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为2(x -，2)y ，又11111
211AQ y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，121220AQ QB x x k k k x x '+-=-
=AQ QB k k '∴=，则Q 、A 、B '三点共线，∴12||||||||||||||||
x QA QA PA QB QB x PB ==='；故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得
||||||||
=QA PA QB PB 恒成立．【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。