中南大学复变函数考试卷试题及答案

中南大学考试试卷(B)

2020--2009学年第二学期 时刻110分钟

复变函数与积分变换课程40学时学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每题3分）

1． 设()2

,0

0,0z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

，那么()f z 的持续点集合为（ ）。

（A ）单连通区域 （B ）多连通区域 （C ）开集非区域 （D ）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点

000z x iy =+可微的（ ）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件

充分必要条件既非充分也非必要条件

3． 以下命题中，不正确的选项是（ ）。

()()()()()()()()()0Res ,0

Im 1.

z z A f z f z B f z D z f z D C e i

D z e i

ωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆

4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，那么arg d c

z z ⎰（ ）

。 ()

()

()()

()114

4

4

A B i

C i

D i π

π

π

++

5． 设()f z 在01z <<内解析且()0

lim 1z zf z →=，那么()()

Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A i B i C D ππ--

二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

3．罗朗级数的()()1

1211133n

n

n

n n n z z ∞

∞

==⎛⎫

⎛⎫-+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑收敛域为 。

4． 映射1

w z

=，将圆域11z -<映射为 。

5．

1

1

cos z dz z ==⎰ 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知2

2

,()1u x y xy f i i =-+=-+。

四．(20分)求以下积分的值 1．

()

2

2

4

1z z e dz z

z =-⎰

2．

()20

sin 0x x

dx a x a

+∞

>+⎰

五．(15分)假设函数()z ϕ在点0z 解析，试分析在以下情形： 1．0z 为函数()f z 的m 阶零点； 2．0z 为函数()f z 的m 阶极点； 求()

()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤

'⎢⎥⎣

⎦

。 六．（15分）写出函数2

cos z

e z

的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。

七．（10分）求函数()()()13sin 2f t tu t t t δ=++-+傅氏变换。

中南大学考试试卷答案(B)

2020--2020学年第二学期 时刻110分钟

复变函数与积分变换 课程40学时学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班0701 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 三、单项选择题（15分，每题3分） 1．A 。2． B 。3． A 。4． C 。5．C 。 四、填空题（15分，每空3分） 1

．4

i π

。2． i - 。3． 233z <-<。4． 半平面()1

Re 2

w >

R 。5．0。 三．(10分)解:容易验证u 是全平面的调和函数。利用C-R 条件，先求出v 的两个偏导数。

()()()

()

()(),0,00

222,2(,)22211

222

x y x

y v u v u y x x y x y y x v x y y x dx x y dy C

x dx x y dy C x xy y C

∂∂∂∂=-=-==+∂∂∂∂=-+++=-+++=-+++⎰

⎰⎰则

四．(20分)求以下积分的值 1．()23e i π-

2．那个地址m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因此所求的积分是存在的

22

e d 2πRes[()e ,]ix iz

x x i R z ai x a

+∞

-∞

=+⎰

e

2lim

2ππ2

iz a

a

z ia ze i i ie z ia π--→==⋅=+

22220

sin 11d Im().22

ix

a x x x x e dx e x a x a π+∞

+∞--∞==++⎰

⎰因此

五．(15分)

()()()()()()()

()

()()()()()()00000000000!

(1)0,n n

m

z z z z z z z z z z z n z f z m z f z z z z z z z z ϕϕϕϕϕψψψ'=+-+

+

-+

=-≠解:函数在点解析等价于在的一个邻域内

为的阶零点等价于在的一个邻域内其中在点解析,于是在的去心领域

()()()()()()()()()()()()()()()()()

()()()()()1001000000!,Res ,2Res ,n n f z m z z m z m z z z z m z z z f z z z z z z n z f z z z m z f z f z z z m z f z ϕψϕϕψϕϕϕψψϕϕϕϕ∞-=⎧⎫'''⎪⎪

=+=+-+⎨⎬

--⎪⎪⎩⎭⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎡⎤

'=-⎢⎥⎣⎦

∑由此可知与上面类似六．