计量经济学模型设定及数据问题

Cov xi* , i* Exi vi ui vi v2



此时用OLS方法得到的参数估计是有偏的和不一致的。偏差 的程度取决于测定误差方差的大小。 19
2、因变量存在测度误差
假定真实方程为
yi xi i
实际得到的Y的观测值则为
yi* yi vi
* ˆ E 1 1

14
包含不必要的解释变量
x y x x y x ˆ x x x x x u x x u x 0 x x x x
* 2 2i i 2 1i 1i i 2 1i 2 2i 2 1i 2i 2i i 2 1i 1i i 1i
16
三、随机误差项设定错误


如果模型的误差项出现设定错误，那么也将引起估计偏差。 设正确的回归模型为： Yi f X i ui 例如C-D函数。 式中误差项与f（.）是相乘关系，且假定有：


此时有 E u e 2 和 Var ui e 2 e 1 i 若将误差项错误地设为相加形式，即 Yi f X i ui 这时有：

ˆ*
1
x y x x y x x x x x
1i i 2 2i 2i i 2 1i 2 2i 2 1i 2 i
1i 2 i
x

13
包含不必要的解释变量

代入真实关系后有：
ˆ* 1
x x
1i 1 2 1i
5
一、遗漏必要的解释变量
设表示成离差形式的二元回归模型为： y=1x1+2x2+u 假定模型设定时遗漏了解释变量x2，回归方程变为: y 1* x1 u*


对此模型采用OLS估计，得到的系数估计值为:
ˆ* x y 1 1
2 x 1
6
遗漏必要的解释变量(续)

ห้องสมุดไป่ตู้
将真实关系式代入后得到：
x2 i x2 i
1i
ˆ* 0 E 2


2 1i
2 2i
2
1i
2i
即包含不必要的解释变量时，参数估计值仍然是无 偏和一致的。
15
包含不必要的解释变量

理论上估计参数的方差为： 2 2 * ˆ ) ˆ) Var( Var( 1 1 2 2 2
(1 r ) x1
18
四、变量含有测度误差
1、解释变量X含有测度误差

假定真实回归模型如 yi xi ui ，X的观测值与真实值关系 为 xi* xi vi
yi xi* ui vi xi* ui*
实际回归：

在此情况下，即使假定X的测度误差服从正态分布，E(vi)=0， 不存在序列相关，Cov(xi,vi)=0，采用OLS方法估计仍存在 xi* 与 ui* 相关的问题，有
若有 E vi 0 那么，方程的常数项会受到影响，即
ˆ 不同于真实参数
20
因变量存在测度误差(续)
然而，因变量存在观察误差会影响到回归方差的方差 估计。
2 此时的方差包括了两个来源，即Y的测度误差 v 2 和模型的随机误差 ，相应的参数方差为：
ˆ） var （
x
1 2 2 1 1 2 1

x x x
1 2 2 1
7
遗漏必要的解释变量(续)

当两个解释变量相关时，等号右边第二项不等于零。 因而当遗漏x2时有：
用OLS方法得到的
ˆ * 估计是模型真实参数的有偏估计 1
量； 此外，该项在样本容量无限增大时也不会趋近于零，即 对 1 的估计也不具有一致性特性； ˆ * 的偏差方向取决于 2 的符号和 Cov ( x1 x 2 ) 的符 1 号。 上述结论同样适用于多元回归模型。
2
2 i

2 2
x
2 i

2 x i
2
降低参数估计的有效性。
21
X和Y都含有测度误差

假定
y yi ui
* i
ui ~ N 0, u2
x xi vi
* i
vi ~ N 0, v2
ui与vi相互独立，并且均独立于X；误差项不存在序列相关。 离差的回归方程为 yi xi ；实际估计方程 yi* xi* ui vi 斜率的估计值为：

11

在应用工作中，除由于理论和数据原因而导致遗漏必要解释 变量的错误外，更经常出现的两种情况是采用错误的数学函 数形式和解释变量的定义发生改变。


模型数学形式错误主要是用线性方程表示非线性关系，而用 非线性方程表示线性关系一般不会造成问题。 假设正确的函数形式 Y f X u 为一个K阶可导函数， j Y X u近似。 可以用X的K阶多项式 0 j
2
2 2
Lnui ~ N 0, 2
ui* Yi f X i f X i ui f X i f X i ui 1
17
随机误差项设定错误(续)

于是有： E ui* f X i e
Var u
* i i

2
2
1
2 2
10
如何判断是否遗漏重要变量？
遗漏必要的解释变量可能出现以下症状： 某些估计参数的值与理论预期相矛盾（异常的符 号，不合理的数值大小）； 模型误差项表现异常（出现序列相关或异方差）。 如果由于无法获得数据等原因导致上述错误，在做 分析时应该利用前面介绍的知识，指出重要参数的 偏差方向，并讨论其含义。
x
1

利用样本数据得到的经验结果为：
2 s ˆ* Var 1 (1 r 2 ) x12


只有当两个解释变量完全无关时才会有r＝0，即得到关于 方差的无偏估计。 由上述分析可知，将不必要的解释变量引入模型，参数估 计值仍是无偏的，但估计参数的方差一般要增大，即估计 参数的有效性降低。

3

在应用研究中，我们在模型设定时通常包括以下 具体内容：
模型中解释变量的构成
模型的函数形式 有关随机误差项的假定

如果这些设定与客观实际不一致，利用计量经济 模型来描述经济变量关系时，就会产生误差（偏 差），我们把这种误差称为模型的设定误差。
4
模型变量设定错误
遗漏必要的解释变量
包括不必要的解释变量 变量含有测度误差 误差项不符合古典假定 回归方程函数形式错误
回归变量中的观测误差是数据问题，目前还提不 出有效的解决办法，只能忽略观测误差问题，希 望它足够小。
23
五、解释变量与误差项相关
假定真实模型的形式： yi 1 xi ui

利用OLS推导方法可以得出回归方程参数β 的计算公式如：
ˆ xy i i
i
2 x i xi xi ui i i
i
i
i
x v
2 i i i
i
2 i
2 xi vi
i
i
i
22

可以证明
ˆ P lim P lim
2 2 x v i i
xi2

Varx Varx v2 1 v2 Varx
即忽略测定误差时可能出现低估真实参数的情 况。
8
遗漏必要的解释变量(续)

遗漏必要的解释变量时，估计参数的方差也是有偏的，从而 造成统计检验失真。 ˆ * 的方差计算公式为： 模型仅包括两个解释变量时， 1 2 2 * ˆ ) ˆ) 2是x1和x2之间的相 Var( Var ( r 1 1 2 2 2
x
1
(1 r ) x1
2 1i 2 2i 2 1i 2 i 1i i 2 2i 1 1i 2 i 2i i 1i 2 i 2 1i 2 2i 2 1i 2 i 1i i 2 2i 2i i 1i 2 i 1 2 1i 2 2i 2 1i 2 i
1 1i
2 ui x2 i x2 i 1 x1i ui x1i x2 i
1 x12 2 x1 x2 x1u 1 2 ˆ* x y 1 1
2 x 1 x1 1 x1 2 x2 u 2 x 1 2 x 1

估计参数的期望值为
ˆ* E 1 1 2
x x x u x x
关系数
若总体方差已知，那么遗漏必要的解释变量造成低估参数方 差。 在应用工作中，总体方差需要由样本估计，即： ˆ 2 s 2 u ˆ i2 N K 1 由于丢失必要的解释变量一方面增大分子，另一方面也增大 分母，因而难以确定参数方差的偏差方向。
9
总结遗漏必要的解释变量后果： 参数估计量是有偏的； 参数估计量不具有一致性； 参数的方差估计也是有偏的。
2 x i i
xi2 xi ui i i

x
i
2 i
xi ui
i
2 i
x
i
2 i
当X与误差项相关时，有
E xi uu i
x 0 此时，参数估计量有偏。 i

若X为随机变量，此时，即使样本容量增大，估计参数仍然是 有偏的，因而OLS估计量不再具有一致性。参数的方差估计也 是有偏的。
第八章 计量经济学模型设定 及数据问题
1
学习计量经济学的目的，一方面是 发展计量经济学，另一方面是应用计量 经济学模型，后者更为重要。 ----------李子奈
2
模型设定错误
模型设定错误有广义和狭义两种情况 狭义的错误指模型设定出现丢失重要解释变量、 包括了不必要的解释变量及解释变量存在测度误 差等情况； 广义的错误还包括多重共线性、残差项出现异方 差或序列相关等情况。 当出现模型设定错误时，利用OLS方法得到的参数 估计不再具有最小方差和无偏性质。
x v y u x v x u ˆ x v x v x
* * x i yi i * 2 i i i i i i i i i i i 2 2 i i i i

xi2 xi vi xi ui ui vi
f X
2
e
e
2
1




此时误差项不满足均值为零和同方差假定，并且也不服从正 态分布，从而使估计参数出现偏差。 实际工作中，误差的真实分布形式常常是未知的，习惯上将 回归方程表示成参数线性形式，假定对应于这一形式的误差 项为正态分布。除非采用特殊估计技术，一般不需要对误差 分布形式专门做分析。 在完成研究报告时应正确说明所采取的误差分布形式。
x x x x x x u x x x x u x x x x x x x u x x u x x x x x x
当x与误差项正相关时，斜率会被高估
yi* xi ui vi xi i
其中， i i i 是一个合成误差项，包含着总体干扰项和观察误差项。 假定除观察误差外，满足古典假定，并且解释变量X与Y的测度误差
v
相互
独立，那么，用OLS方法估计该方程仍可以得到β的无偏和一致性估计。
ˆ ) E( x v / x2 ) E( i i i i
k
若将X的高次项看作独立的解释变量，那么上式为多元线性 回归方程。用一元线性方程进行估计相当于遗漏必要的解释 变量。
12
二、包含不必要的解释变量
设表示成离差形式的真实模型为 y 1x .1 u 在估计该模型时增加了一个不必要的解释变量x2， * 模型变成为 y 1* x1 2 x2 。 u* 应用OLS方法估计该模型得到：