数学人教A版(2019)必修第二册8.2立体图形的直观图(共21张ppt)
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使OA OB 1cm.利用椭圆模板椭圆，使其
经过A, B两点.
(3)画上底面.在Oz上截取点O ' , 使OO ' 3cm,
过点O '作平行于轴Ox的轴O ' x ' .
(4)成图.连接AA' , BB'，整理得到圆柱的直观图.
A
o
B
x
此外，还有圆锥和球体的直
观图应该怎么画？
圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助
D
y'
C'
D'
O'
B'
直观图
x'
例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
① 如图1， 取𝑨𝑫所在直线为𝒙轴，𝑨𝑫的垂直平分线𝑴𝑵为𝒚
轴，两轴相交于点𝑶.在图2中，画相应的𝒙’ 轴与𝒚’轴，两
轴相交于点𝑶′ ，使∠𝒙′𝑶′𝒚′ = 𝟒𝟓°.
② 在图2中，以𝑶′为中点，在𝒙’轴上取𝑨′𝑫′ = 𝑨𝑫，在𝒚’轴上
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直
线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的
线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各
个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的 2
4
倍.
2
S直
S原；S原 2 2 S直
4
课堂小结
1.通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生的数学抽象素养及提
升直观想象素养.
2.斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x 轴垂直的线段，在直观图中均
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长
不变。
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法
1
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
① 画轴：在已知图形中取互相垂直的𝒙轴和𝒚轴，
两轴相交于点𝑶。画直观图时，把它们画成对应
的𝒙′轴与𝒚′轴，两轴相交于点𝑶′，且使∠𝒙’𝑶𝒚′ =
上述现象与我们初中学习过的“投影”有关。
一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与
投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。
观察：三角板在不同光照投影下的投影效果
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影规律：
1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；
取𝑴′𝑵′ =
𝟏
𝑴𝑵.以点𝑵′为中点，画𝑩′𝑪′平行于𝒙’轴，并且
𝟐
等于𝑩𝑪；再以𝑴′为中点，画𝑭′𝑬′平行于𝒙’轴，并且等于
𝑭𝑬.
③ 连接𝑨′𝑩′， 𝑪′ 𝑫′，𝑫′𝑬′，𝑭′Βιβλιοθήκη Baidu′，并擦去辅助线𝒙’轴和𝒚’轴，
便获得正六边形𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭水平放置的直观图𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′.
画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题.
了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
3
直观图的还原与计算
直观图的还原与计算
例 4 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 直 观 图
△A′B′C′的面积为（
3 2
A. 4 a
3 2
B. 8 a
6 2
C. 8 a
6 2
于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条
母线.
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它
是一个圆，
同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直
观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
反思感悟
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该
记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加
𝟒𝟓° 或𝟏𝟑𝟓° ，它们确定的平面表示水平面。
y
② 画线：已知图形中平行于𝒙轴或𝒚轴的线段，在
直观图中分别画成平行于𝒙′轴与𝒚′轴的线段。
C
O
B x
已知图形
③ 取长度：已知图形中平行于𝒙轴的线段，在直观
图中保持原长度不变。平行于𝒚轴的线段，在直
观图中长度为原来的一半。
画轴，横不变，纵减半，平行重合不改变
生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们
一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图所示的椭圆模板.
在立体几何中，
还常用正等测画法
画水平放置的圆。
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系
是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，
以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴
例 4 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 直 观 图
△A′B′C′的面积为（
3 2
A. 4 a
6 2
C. 8 a
3 2
B. 8 a
6 2
D.√
a
16
）
方法二
3 2
S△ABC＝ 4 a ，
2
又 S△A′B′C′＝ 4 S△ABC，
2
3 2
6 2
∴S△A′B′C′＝ 4 × 4 a ＝ 16 a .
D. 16 a
）
解析
方法一：建立如图①所示的
平面直角坐标系.
如图②所示，建立坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观
1
3
图画法，知 A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝ 4 a.
2
6
过点 C′作 C′D′⊥O′x′于点 D′，则 C′D′＝ 2 O′C′＝ 8 a.
1
1
6
6 2
所以△A′B′C′的面积是 S＝2·A′B′·C′D′＝2·a·8 a＝ 16 a .
y'
（3）画侧棱，与z轴平行/重
合的线段长度不变；
（4）成图，去掉辅助线，被遮
挡部分改为虚线。
O'
x'
例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
A´
z
O´
B´
y
x
'
使xoz 90，xoy 45.
(2)画下底面以
. O为中心，在x轴上取线段AB,
8.2 立体图形的直观图
学习目标
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组
合体的直观图.
3.归纳直观图与原图之间面积存在的关系
观察以下两幅图，
①矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?
②眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助
于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
2
空间几何体的直观图的画法
画空间几何体的直观图
例2 已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出
它的直观图.
z
（1）画轴（x,y,z轴）
（2）画底面（斜二测画法）；
经过A, B两点.
(3)画上底面.在Oz上截取点O ' , 使OO ' 3cm,
过点O '作平行于轴Ox的轴O ' x ' .
(4)成图.连接AA' , BB'，整理得到圆柱的直观图.
A
o
B
x
此外，还有圆锥和球体的直
观图应该怎么画？
圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助
D
y'
C'
D'
O'
B'
直观图
x'
例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
① 如图1， 取𝑨𝑫所在直线为𝒙轴，𝑨𝑫的垂直平分线𝑴𝑵为𝒚
轴，两轴相交于点𝑶.在图2中，画相应的𝒙’ 轴与𝒚’轴，两
轴相交于点𝑶′ ，使∠𝒙′𝑶′𝒚′ = 𝟒𝟓°.
② 在图2中，以𝑶′为中点，在𝒙’轴上取𝑨′𝑫′ = 𝑨𝑫，在𝒚’轴上
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直
线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的
线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各
个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的 2
4
倍.
2
S直
S原；S原 2 2 S直
4
课堂小结
1.通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生的数学抽象素养及提
升直观想象素养.
2.斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x 轴垂直的线段，在直观图中均
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长
不变。
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法
1
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
① 画轴：在已知图形中取互相垂直的𝒙轴和𝒚轴，
两轴相交于点𝑶。画直观图时，把它们画成对应
的𝒙′轴与𝒚′轴，两轴相交于点𝑶′，且使∠𝒙’𝑶𝒚′ =
上述现象与我们初中学习过的“投影”有关。
一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与
投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。
观察：三角板在不同光照投影下的投影效果
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影规律：
1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；
取𝑴′𝑵′ =
𝟏
𝑴𝑵.以点𝑵′为中点，画𝑩′𝑪′平行于𝒙’轴，并且
𝟐
等于𝑩𝑪；再以𝑴′为中点，画𝑭′𝑬′平行于𝒙’轴，并且等于
𝑭𝑬.
③ 连接𝑨′𝑩′， 𝑪′ 𝑫′，𝑫′𝑬′，𝑭′Βιβλιοθήκη Baidu′，并擦去辅助线𝒙’轴和𝒚’轴，
便获得正六边形𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭水平放置的直观图𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′.
画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题.
了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
3
直观图的还原与计算
直观图的还原与计算
例 4 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 直 观 图
△A′B′C′的面积为（
3 2
A. 4 a
3 2
B. 8 a
6 2
C. 8 a
6 2
于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条
母线.
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它
是一个圆，
同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直
观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
反思感悟
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该
记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加
𝟒𝟓° 或𝟏𝟑𝟓° ，它们确定的平面表示水平面。
y
② 画线：已知图形中平行于𝒙轴或𝒚轴的线段，在
直观图中分别画成平行于𝒙′轴与𝒚′轴的线段。
C
O
B x
已知图形
③ 取长度：已知图形中平行于𝒙轴的线段，在直观
图中保持原长度不变。平行于𝒚轴的线段，在直
观图中长度为原来的一半。
画轴，横不变，纵减半，平行重合不改变
生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们
一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图所示的椭圆模板.
在立体几何中，
还常用正等测画法
画水平放置的圆。
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系
是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，
以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴
例 4 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 直 观 图
△A′B′C′的面积为（
3 2
A. 4 a
6 2
C. 8 a
3 2
B. 8 a
6 2
D.√
a
16
）
方法二
3 2
S△ABC＝ 4 a ，
2
又 S△A′B′C′＝ 4 S△ABC，
2
3 2
6 2
∴S△A′B′C′＝ 4 × 4 a ＝ 16 a .
D. 16 a
）
解析
方法一：建立如图①所示的
平面直角坐标系.
如图②所示，建立坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观
1
3
图画法，知 A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝ 4 a.
2
6
过点 C′作 C′D′⊥O′x′于点 D′，则 C′D′＝ 2 O′C′＝ 8 a.
1
1
6
6 2
所以△A′B′C′的面积是 S＝2·A′B′·C′D′＝2·a·8 a＝ 16 a .
y'
（3）画侧棱，与z轴平行/重
合的线段长度不变；
（4）成图，去掉辅助线，被遮
挡部分改为虚线。
O'
x'
例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
A´
z
O´
B´
y
x
'
使xoz 90，xoy 45.
(2)画下底面以
. O为中心，在x轴上取线段AB,
8.2 立体图形的直观图
学习目标
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组
合体的直观图.
3.归纳直观图与原图之间面积存在的关系
观察以下两幅图，
①矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?
②眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助
于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
2
空间几何体的直观图的画法
画空间几何体的直观图
例2 已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出
它的直观图.
z
（1）画轴（x,y,z轴）
（2）画底面（斜二测画法）；