线性代数06矩阵的秩PPT学习教案

证
因为
阵
( A E) (E A) 2E,
的
由性质6，有
秩 的
R( A E) R(E A)
性
R((A E) (E A)) R(2E) n,
质
的 证
而
所以
R(E A) R( A E),
明
R( A E) R( A E) n.
题
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21
关
于 矩 阵
例6 设 为 证明
一般地， 矩阵 的 阶子式共有
个.
mn A k
Cmk Cnk
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4
三、矩阵的秩
设定在义矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 称为矩阵的秩，记作 或 .
阶子式（如果存在的话）全等于零 ，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数
D
r
规定：零矩阵的秩等于0.
A
r 1
D
A
R( A) r( A)
，
位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在
中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵
的 阶子式.
mn A
A Ak
例如
2 4 5 3 A3 6 4 2
4 8 17 11
kk
k2
k
6 2 D
8 11
是 的一个2阶 子式， 的2阶子
D式共有
个.
(k m, k n)
A
A
C
32C
2 4
18
B
r
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
1 0
A
b
B
B
Ax b
0 1.
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18
五、矩阵的秩的性质
➢若 为
矩阵，则
A
mn
0 R( A) min{m, n};
➢
R(AT ) R(A), R(kA) R(A)(k 0);
➢
若
，则
A~ B
R( A) R(B).
➢
若
r3
4r1
0 0
2 0 0
6 14 7
4 10 5
r2
(
1 14
)
r3 7r2
1 0 0
2 0 0
6 1 0
4
5 7
0
1
r1 6r2
0
0
2 0 0
0 1 0
第1075页72/共3cccc64422页27572 cccc1133
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0
0 0
E2 0
A~ B
即两个等价矩阵的秩相等.
R( A) R(B).
证明
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9
例2 设
3 2 0 5 0
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 3 4
,
求矩阵 的秩，并求 的一个最高阶非零子式.
A
A
解
析：根据定理3，为求 的秩，只需将 化为 行阶梯形矩阵.
A
A
3
A
3 2 1
2 2 0 6
3 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1 43
r
1
0
0 0
6 4 0 0
4 3 0 0
1 1 4 0
4 1
8 0
3 2 5 1 6 1
A0
3
2 1
2 0 6
6 r
51
0
0 0
4 0 0
1
4 0
因此 在 中,找一个3阶非零子式是比较
容易的，另外注意到， 的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶 非零子 式
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
1 6 4 1 4
r4 r3 0 4 3 1 1
0 0
0 0
0 0
4 0
8 0
所以
R( A) 3.
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大多情况下只 用初等行变换 ，不用初等列
变换
11
再求 的一个最高阶非零子式.
A
3
A
r
例1 求矩阵 和 的秩.
AB
1 A 2
4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 0 31 00 00
3 2 4 0
2 5 03
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5
在 中，容易看出一个2阶 子式
A
的3阶子式只有一个
A
因此
由于它是行阶梯形 在 矩阵，中容，易看出它的4阶子式全为零， 而以三 个非零 行的首 非零元 为对角 元的3 阶子式 不等于 零，
❖矩阵的秩的性质.
❖可逆矩阵的特征刻画：
阶矩阵 可逆
n
A
存在B,使AB BA E
detA 0 ( A为非奇异矩阵）
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26
存在B,使AB E(或BA E) A的伴随矩阵A是可逆矩阵
A的行阶梯形矩阵有n个非零行 r
A的 行 最 简 形 是E( A ~ E) A的标准形是E( A ~ E) A的秩R(A) n( A是满知矩阵) A是若干个初等矩阵之积 齐次线性方程组Ax 0只有零解 非齐次线性方程组Ax b有唯一解 A的列向量组线性无关 ( 矩阵A的列秩 n) A的行向量组线性无关 ( 矩阵A的行秩 n) A的n个特征值均非零
在 中总能找到与 相对应
D
的 阶子式 ，且
r
D1
由于
因此
D 0,
D1 D或D1 D,
从而
D1 0,
0
,
T
(1,0,,0)Q
分别是非零列
0
的
性
向量和非零行向量.
质
的
证
明
题
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25
六、小结
❖矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式 的阶数 定义的；
❖矩阵的秩的求法：
▪根据定义，求最高阶非零子式的阶数 ，
▪根据初等变换不改变矩阵的秩这条性 质，用 初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶 梯形矩 阵的行数就是矩阵的秩；
时，
所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可 逆矩阵 又称满 秩矩阵 ，不可 逆矩阵 又称降 秩矩阵.
n
n
A
R( A) n.
A
A
A 0
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8
四、矩阵的秩的计算
定理3
说明
▪根据此定理，为求矩阵的秩，只要把 矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶 梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.
若
，则
3 1 4
6 5 1
1
3 4
30 0 3 3 1 0. 2 1 3
第12页/共36页
13
例3 设
已知
，求 与 的值.
解
1 A 3
5
R( A) 2
析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其 中参数
的值的题目.一般有两个途径，一是利 用行列
式，二是用初等变换.当
时， 的3阶
子式全为零，从而可以计算出参数的 值.下面
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27
作业：
P 9.(2)(3) 79
P 11. 80
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28
定 理 3 的 证 明
证 先证明：若 经过一次初等行变换变为 ， 则
A
R( A) R(B).
设
，且 的某个 阶子式
R( A) r A
r
下面分3种情况证明，
B
D 0.
(1) 当A B时， ri rj
6
说明
✓根据行列式的展开法则知，在 中当所有 阶 子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为零， 因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的 一个特 征；
r
A
✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
A A
A
r 1
r 1
A
s
R( A) s;
t
R( A) t;
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7
✓矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行 数，这 也可以 作为矩 阵的秩 定义， 但是这 样定义 矩阵的 秩不能 清楚表 明矩阵 的特征.
✓对于 阶矩阵 ，当 矩阵；否则称为降秩矩阵.
时， 称为满秩
n
A R( A) n
由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当
R( A B) R( A) R(B); 证明
秩
的
➢
（下节定理8）
R( AB) min{R( A), R(B)};
性
➢
若
则
质
AmnBnl O, R( A) R(B) n.
（下章例13）
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20
关
例5 设 为 阶矩阵，证明
An
于
R( A E) R( A E) n.
矩
00
2
问题: 在 的标准形中，左上角的单位矩阵的 阶数是否唯一呢？
A
E2 0
00
A
在第一节中，已经指出可以证明标准 形的左 上角的 单位阵 的阶数 是唯一 的，完 全由 确定. 这个数也就是 的行阶梯形中非零行的行数，这个便是 矩阵 的秩.
A A
A
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3
二、子式
定义
在 矩阵 中，任取 行与 列
有
(a1,a2,,am )T , T (b1, b2 ,, bn ) R( A) 1
秩
R( A) R( ) 1;
的 性
另一方面， 与 都非零，不妨设
T
a1 0, b1 0,
质 的
则的 元
有
于是
A (1,1) a1b1 0, R( A) 1,
证
R( A) 1.
明
题
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23
必要性：
因为
所以
的标准形为
关
R( A) 1,
A
于 矩 阵 的
根据矩阵等价理论知，存在可逆矩阵 和可逆 矩阵 ，使
A
~
1 O
O O
,
P
秩 的 性
Q
A
P
1 O
O O
Q,
质
于是
的
1
证 明 题
A
P
1 O
O O
Q
P
0 0
(1,0,,0)Q
T
第23页/共36页
24
关
于
1
矩 阵 的 秩
其中
P
B
12
D
1 0,
23
A
R( A) 2.
1 2 3 A 2 3 5,
4 7 1
0, B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
2 1 3
这里的两个行列
式分别A是B 和
0 3 2 24 0 00 4
的最高阶非零子 式
因此
R(B) 3. 第5页/共36页
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1
r1 r2
r4 r4
1 0
3 4
r3 r4
2r1 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4
1
1121
第9页/共36页
10
1 6 4 1 4
0 4 3 1 1
0 0
12 16
9 12
7 8
1121
1 6 4 1 4
矩阵， 为
矩阵，
A mn
B nm
AB 0.
的
证
根据性质7，有
秩
的
R( AB) n m,
性 质
而 为 阶矩阵，所以
AB
m
的
AB 0.
证
明
题
第21页/共36页
m n,
22
关 于
例7 证明
的充分必要条件是存在非零
列向量 和非零行向量 ，使
R( A) 1
T
A T .
矩 阵 的
证
充分性：
根据矩阵的秩的性质7，由
0
3
4
4
0 8 1 0
因为
，故
R( A) 2
5 0, 即 5,
1 0,
1.
说明
▪此方法就是，用初等变换，将矩阵化 为比较 简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨 论.
第14页/共36页
15
例4 设
1 2 2 1
1
A
2 2 3
4 4 6
8 2 0
0 3 6
A,
b)
2 2 3
4 4 6
8 2 0
0 3 6
2
3 4
1 2 2 1 1
r2 2r1
0
0
4
2 0
r3 2r1 r4 3r1
0 0
0 0
2 6
1 3
5 1
1 2 2 1 1
1 2 2 1 1
r2
r3 r4
2
3r2r2
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
5 1
r3
r4
5
r3
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
1 0
由此可见，
R( A) 2, R(B) 3.
第16页/共36页
17
注：
▪把此题中的 看作方程组的系数矩阵， 看作
常数项列，则 就是增广矩阵，由 的行阶梯
形矩阵知，这个方程组
无解，因为行
阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方 程
1 2 2 1 1
,
b
2 3 4
求矩阵 及矩阵
的秩.
A
B ( A, b)
解
析：此题中矩阵 的前4列与 的列相同，如
果用初等行变换将 化为行阶梯形
，
则 就是 的行阶梯形，故从 中可同时看出
及
A~ R( A)
B
B
A R(B).
A B~
B~ ( A~,b~)
第15页/共36页
16
1 2 2 1 1
B
(
用初等变换解答此题.
1
3
1 1
2 2, 6
R( A) 2 A
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3 8
4 5
4 4
第13页/共36页
14
1 1 1 2 0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
可逆，则
P、Q
R(PAQ) R( A);
➢
max{R( A), R(B)} R( A, B) R( A) R(B),
特别地，当为列向量时，有
即，分块矩阵的秩不小于每一个子块 的秩， 不 超过所有子块的秩之和.
R( A) R( A,b) R( A) 1;