结合边缘检测算子和形态学方法的图像边缘检测

结合边缘检测算子和形态学方法的图像边缘检测
1 引言
图像边缘对人的视觉有很重要的意义，一般而言，当人看一个有边缘的物体时，首先感觉到的就是边缘。

需要特别指出的是，检测出的边缘并不等于实际目标的真实边缘。

由于图像数据是二维的，而实际物体是三维的，从三维到二维的投影必然会造成信息的丢失，再加上成像过程中的光照不均和噪声等因素的影响，使得有边缘的地方不一定能被检测出来，而检测出来的边缘也不一定代表实际的边缘。

图像边缘检测，它是图像预处理与分析的重要环节之一，并广泛应用于各种领域，如目标提取与识别、遥感、图像分割、医学图像处理等。

图像的边缘是指灰度变化较为明显且剧烈（也称灰度突变）的地方，即通过灰度不连续而得到的结果，本质上也表示一个区域的结束与另外一个区域的开始。

本文列举了边缘检测从传统方法到新兴的各种方法，并对这些方法的优缺点进行了详细的分析与总结。

2 算法原理
2.1 基于梯度的边缘检测算子
在图像处理中，最常用的一阶导数的算法就是本节所讲的梯度算子。

梯度的等效形式是在二维平面上的一阶导数，对应的梯度算子的等效形式即为一阶导数算子。

图像边缘的强度用梯度的幅值来表示，与边缘走向垂直的方向即为梯度的方向。

梯度算子是一介导数算子，图像),(y x f 在位置),(y x 的梯度定义为下列向量：
[]
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡==
∂∂∂∂x
y x f y y x f f f x
y
y x grad ),(),(),(
2
2
2
2),(),(),(⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+=y y x f x y x f f f y x grad y
x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂=''=x y x f y y x f f f y x
),()
,(arctan )arctan(22
θ
以上各式的偏导数需对每个像素的位置计算，实际应用中常用小区域模板进行卷积来近似计算。

对和各用一个模板，将两个结合起来就构成一个梯度算子。

根据模板的大小和元素值的不同，已提出许多不同的算子，常见的有Roberts 算子，Sober 算子, Prewitt 算子、Laplacian 算子和LoG 算子等。

2.1.1 Roberts 算子
Roberts 边缘检测算子用图 1所示的模板近似计算图像函数),(y x f 在点).(j i 对应x 和y 的偏导数,如式(2.1.1)所示。

用此方法可以计算得到图像中所有点的偏导数。

)1,(),1(),()
,()1,1(),(+-+=-++=j i f j i f j i G j i f j i f j i G y x （2.1.1）
-1 0 0 -1 0
1
1
图1 Roberts 模板 2.1.2 Prewitt 算子
Prewitt 边缘检测算子用图2所示的3x3模板来近似计算图像函数),(y x f 在),(j i 对x 和y 的偏导数，如式(2.1.2)、式(2.1.3)所示。

在这组公式中，3x3大小的图像区域的第3行和第1行间的差近似于x 方向上的导数，第3列和第1列之差近似于y 方向上的导数。

[][]
)1,1(),1()1,1()1,1(),1()1,1(),(+-+-+---
+++++-+=j i f j i f j i f j i f j i f j i f j i G x （2.1.2）
[][]
)1,1()1,()1,1()1,1()1,()1,1(-++-+---
++++++-=j i f j i f j i f j i f j i f j i f G y （2.1.3）
-1 -1 -1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 1
1
1
-1
1
图2 Prewitt 模板
2.1.3 Sober 算子
Sober 边缘检测算子用图3所示的3x3模板来近似计算图像函数),(y x f 在),(j i 对x 和y 的偏导数，如式(2.1.4)、式(2.1.5)所示。

这两个公式相对于Prewitt 算子的一个小小变化是在中心系数上使用一个权值2，权值2用于通过增加中心点的重要性而实现某种程度的平滑效果。

[][])1,1(),1(2)1,1()1,1(),1(2)1,1(),(+-+-+---
+++++-+=j i f j i f j i f j i f j i f j i f j i G x （2.1.4）
[][]
)1,1()1,(2)1,1()1,1()1,(2)1,1(-++-+---
++++++-=j i f j i f j i f j i f j i f j i f G y （2.1.5）
-1 -2 -1 -1 0 1 0 0 0 -2 0 2 1
2
1
-1
1
图3 Sober 模板
2.1.4 Laplacian 算子
拉普拉斯(Laplacian)算子定义图像),(y x f 梯度为：
222
22
y
f
x f f ∂∂+∂∂=∇ (2.1.6) 对于离散图，拉普拉斯算子为：
),(),(2
2
2y x f y x f f y x ∇+∇=∇ （2.1.7） 其中
)
,(2)1,()1,(),()1,(),(),(2),1(),1(),(),1(),(2
2
y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y y y x x x --++=∆-+∆=∆--++=∆-+∆=∆ (2.1.8)
因此，有
),(4)1,()1,(),1(),1(2y x f y x f y x f y x f y x f f --+++-++=∇
（2.1.9） 相当于原图像与模板⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-010141010的卷积。

2.2 数学形态学边缘检测
数学形态学在边缘检测预处理中主要用于去噪与二值化这两方面。

图像去噪既要尽可能地消除噪声又要能较好地保持轮廓信息。

数学形态学的基本运算包括膨胀、腐蚀、开运算、闭运算操作，主要应用于图像边缘检测中。

2.2.1 形态学的基本运算
膨胀：A 和B 是两个集合，A 被B 膨胀被定义为
})(|{φ≠⋂=⊕A B z B A z s
其中A 表示图像，B 为结构元。

膨胀使得图像变大，若图像出现局部断裂，可通过膨胀修复，选择不同的结构元对图像进行膨胀，会使得图像按不同的方式“长胖”。

选择形状和大小合适的结构元可以弥补图像中出现裂缝，但是在补齐裂缝的同时，会使原有的骨架变粗。

腐蚀：A 和B 是两个集合，A 被B 腐蚀被定义为： })(|{A B z B A z ⊆=Θ 其中A 表示图像，B 为结构元。

腐蚀使得图像缩小，结构元选择合适，常常可以用来消除图像中的某些毛刺，或将物体分开，选择不同的结构元对图像进行腐蚀，将使图像按不同方式“瘦身”，利用腐蚀变换客消除图像中的毛刺，也可用来将物体分开，但是，同时也会使图像缩小。

2.2.1 形态学的开闭运算 开运算
虽然腐蚀处理可以将粘连的目标物进行分离，膨胀处理可以将断开的目标物进行接续，
但同时都存在一个问题，就是经过腐蚀处理后，目标物的面积小于原有面积，而经过膨胀处理之后，目标物的面积大于原有面积。

开、闭运算就是为了解决这个问题而被提出的。

使用同一个结构元素对图像先腐蚀再进行膨胀的运算称为开运算。

使用结构元素B 对A 进行开运算，定义如下：
B B A B A ⊕Θ=)(
开运算通常用来消除小对象物、在纤细点处分离物体、平滑较大物体的边界的同时并不明显改变其面积。

开运算通常是在需要去除小颗粒噪声，以及断开目标物之间粘连时使用。

其主要作用与腐蚀相似，与腐蚀操作相比，具有可以基本保持目标原有大小不变的优点。

闭运算
使用同一个结构元素对图像先膨胀再进行腐蚀的运算称为闭运算。

闭合的算符为∙,使用结构元素B对A进行闭运算，定义如下：
⊕
=
∙)
(
B
AΘ
B
B
A
闭运算通常用来填充目标内细小空洞，连接断开的邻近目标，平滑其边界的同时并不明显改变其面积。

3 实验结果与分析
3.1 实验思路
对一幅图像（图1，记为I），采用2个2x2模板进行Roberts算子边缘提取（记为b），采用2个3x3模板进行Prewitt算子边缘提取（记为c）,采用2个3x3且权值为2
的模板,进行Sober算子边缘提取（记为d）,采用1个3x3模板,进行Laplacian算子边
缘提取（记为e），分别对比b、c、d、e（即图5），分析其优缺点。

采用3x3正方形作
为结构元，对b进行形态学的开闭运算，得到g和f（图6），分析可比较g和f。

3.2 实验步骤
1.读入一幅灰度图像cr00.bmp（记为I），显示原始图像；
2.调用卷积函数使得原图像与分别与不同的矩阵模板做卷积运算，提取图像边缘，得到（b）Roberts算子,（c）Prewitt算子,（d）Sober算子,（e）Laplacian算子四幅图像。

3.以Roberts算子提取的图像边缘为例，选取3x3正方形的结构元对边缘图像进行开闭运算，比较开闭运算的结果。

3.3 实验代码
I=imread('E:\大三下学期学习资料\图像处理\标准图像\cr00.bmp');
[hj,wj]=size(I);
figure;
imshow(I);
xlabel('(a)原始图像');
hx=[1 0;0 -1]; %Roberts
hy=[0 1;-1 0];
hx2=[-1 -1 -1;0 0 0;1 1 1]; %Prewitt
hy2=[-1 0 1;-1 0 1;-1 0 1];
hx3=[-1 -2 -1;0 0 0;1 2 1]; %Sobel
hy3=[-1 0 1;-2 0 2;-1 0 1];
hx4=[0 1 0;1 -4 1;0 1 0]; %Laplacian
I1=conv2(I,hx);
I1=conv2(I1,hy);
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(I1,[]);
xlabel('(b)Roberts算子');
I2=conv2(I,hx2);
I2=conv2(I2,hy2);
subplot(2,2,2);
imshow(I2,[]);
xlabel('(c)Prewitt算子');
I3=conv2(I,hx3);
I3=conv2(I3,hy3);
subplot(2,2,3);
imshow(I3,[]);
xlabel('(d)Sobel算子');
I4=conv2(I,hx4);
subplot(2,2,4);
imshow(I4,[]);
xlabel('(e)Laplacian算子');
S1=strel('square',3);
C1=imopen(I1,S1);
C2=imclose(I1,S1);
figure;
subplot(1,2,1);
imshow(C1);title('结构元为3x3方形')
xlabel('(f)开运算');
subplot(1,2,2);
imshow(C2);title('结构元为3x3方形')
xlabel('(g)闭运算');
3.4 实验结果分析
（1）根据上述步骤进行实验，得到实验结果如图4、5、6所示。

图 4
图 5
图 6
（2）根据图5进行分析得：
(a)Sobel算子和Prewitt算子,他们都是对图像先做加权平滑处理，然后再做微分运算，所不同的是平滑部分的权值有些差异，因此它们对噪声有一定的抑制能力。

Sobel算子比Prewitt算子在噪声抑制方面略胜一筹，但不能完全排除检测结果中出现虚假边缘，虽然这两个算子边缘定位效果不错，但检测出的边缘容易出现多像素宽度；
(b)Roberts算子利用局部差分算子寻找边缘，检测水平和垂直方向边缘的性能好于斜线方向,边缘定位精度较高，但容易丢失一部分边缘，同时由于图像没有经过平滑处理，因此不具备抑制噪音功能，该算子对具有陡峭边缘且噪音少的图像效果好；
(c)Laplacian是二阶微分算子，对图像中的阶跃性边缘点定位准确，获得的边界比较细致，包含了较多的细节信息，但所反映的边界不太清晰，对噪声非常敏感，易丢失一部分边缘方向信息，造成一些不连续的检测边缘。

（3）根据图6进行分析得：
开闭两种运算都可以去除比结构元素小的特定图像细节，同时保证不产生全局的几
何失真。

开启运算可以把比结构元素小的椒盐噪声滤除，切断细长搭接而起到分离作用。

闭合运算可使比结构元素小的缺口或孔填补上，搭接短的间断而起到连通作用
4.总结
综上所述，得到如下结论：
（1）基于边缘的梯度算子产生的边缘图像具有一定的相似性。

有一点值得特别说明的是
拉普拉斯(Laplacian)算子与原图像做卷积运算时，运算结果可能出现负值，需要再进行
防治溢出(灰度值大于255或小于0)处理。

（2）开运算一般使对象的轮廓变得光滑，断开狭窄的间断和消除细的突出物。

闭运算同
样是轮廓变得更光滑，但与开运算相反的是，它通常消弭狭窄的间断和长细的鸿沟，消
除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。

（3）在边缘检测中，边缘定位能力和抑噪能力是一对矛盾体，有的算法边缘定位能力比
较强，有的抑噪能力比较好。

因此，每种算子都具有各自的优缺点，不能笼统地说哪一
种算子好，哪一种算子不好。

5.参考文献
[1] 杨杰. 数字图像处理及MATLAB实现. 北京:电子工业出版社,2010.2。