光的衍射

k2
k3
红
紫 红
解：令第三级光谱中 400 nm 的光与第二级光谱中 波长为 的光对应的衍射角为 ，则
( a b ) sin 3 ( a b ) sin 2
2 3
600nm
第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm 780 nm


(a )

(b )
k=0,±1, ±2, ±3 · ·
( a +b)(sin sin )=k
表示衍射方向与法线之间夹角，均取正值 当 与 在法线同侧，记为+ sin 反之记为 - sin
四、光栅光谱 入射光为白光时，形成彩色光谱.
I
sin
ab
0
一级光谱 三级光谱 二级光谱
a sin 0
中央明纹中心
二. 光强分布
a sin 2 k

2
k
干涉相消（暗纹） 干涉加强（明纹）
a sin ( 2 k 1 )

2
I
3 a
2 a
a
o
a
2 a
3

a
sin
三. 条纹线宽度与角宽度
2 中央明纹线宽度 x f a 中央明纹角宽度 0 2
b
b：不透光部分的宽度
( a b ) sin
5
光栅常数 d 的数量级约为：10
~ 10 m
6
例：光栅1cm内有5000条刻痕则光栅常数为：
1 1 102 d ab 2 10 6 m N 5000
二.
光栅衍射条纹特点
(1)光栅的衍射条纹是衍射和干涉的总效果。 衍射图样是重叠在一起的，若光栅有N条缝，则衍射 图样中明条纹亮度增加 N 2 倍，多光束干涉的结果又
缝长
A
A1
C
Q
a sin 2 k

2
B
R
o
L
/2

a
A
B
P
A
A1
Q
C
a sin ( 2 k 1 )
k 1,2 ,3 ,

2
A2
o
/2
B
R
A
A1
A2

L
P
Q
光的衍射内容归纳：
C
o
/2
BC a sin m

2
B
m为奇数: 剩下一个半波带中的衍射光线未被抵消 对应的屏上相聚点为明纹中心 m为偶数：相邻两半波带中对应光线光程差 2 相位差 ,两两相消,屏上相聚点为暗纹中心
光谱分析的应用 由于不同元素（或化合物）各有自己特
定的光谱，所以由谱线的成分，可分析出发
光物质所含的元素或化合物；还可从谱线的 强度定量分析出元素的含量.
例2 在波长400 780nm 的白光 垂直照射在光栅上，在它的 衍射光谱中，第二级和第三 级发生重叠，求第二级光谱 紫 被重叠的波长范围。
a
其它明纹的角宽度 k 1 k

a 其它明纹的线宽度 l k 1 f k f f a
讨论1：衍射条纹分布与波长 的关系
越大，
越大，衍射效应越明显.
讨论2：衍射条纹分布与单缝宽度a关系
a 越小， 越大
a 越大， 越小
白光衍射
例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3 mm， 而在可见光中，人眼最敏感的波长为550 nm，问 (1)人眼的最小分辨角有多大？ (2)若物体放在距人眼25 cm（明视距离）处，则 两物点间距为多大时才能被分辨？
1.22 5.5 10 7 m 解 (1) 0 1.22 D 3 10 3 m
ab 1 10 m 6500
R
L1
L2
P
S
三.
惠更斯-菲涅耳原理
e
S：
S

r
P *
t 时刻波阵面
(子波波源)
S ：波阵面上面元
S
s 子波在 P点引起的振动振幅 并与 有关 r
点的相干叠加决定.
菲涅耳指出：波场中各点的强度由各子波在该
惠更斯-菲涅耳原理
(1) 对子波的振幅和相位作了定量描述。 (2) 空间任一点振动为所有子波在该点相干叠加
使两主极大明纹之间有(N-1)条暗纹，而各主极大的
亮度又受到单缝衍射的调制。 (2)衍射条纹特点是明条纹细且亮，两条纹之间存在 有很宽的暗区。
单缝衍射
光栅衍射
三、光栅方程
( a b ) sin
屏
x
f 光栅衍射明条纹位置满足：
( a b ) sin k
k=0,±1, ±2, ±3 · · ·
例1：波长为6000Å的单色光垂直入射在一光栅上， 第二级明纹出现在sin=0.2处，第4级为第一个缺级。 求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？(2)狭缝可能的 最小宽度是多少？(3)按上述选定的 值，实际上 a ,b 能观察到的全部明纹数是多少？
解: (1) ( a b ) sin k k 2 6000 10 10 (a b) 6 m sin 0.2 (a b) (2) k k k 4 , 取k 1 a ab amin 1.5 m b d amin 4.5 m 4
1.爱里斑的半角宽度 爱里斑半径 d 2 对透镜光心的张角
L
D
f


P
d
sin 1.22 D
f d sin tg
1.22 r f f D
2.爱里斑的半线宽度 爱里斑半径 r d 2
3. 瑞利判据
能够分辨 恰能分辨 不能分辨
0.8I 0
一个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一点光源 衍射图样的第一极小相重合，这时两个点光源（或 物点）恰为这一光学仪器所分辨。
缺级现象 某一级多狭缝干涉主极大值恰好位于单狭缝衍射极 小值的位置，在应该出现亮纹的地方，不再出现亮 纹的现象。 缺极时衍射角同时满足： 单缝衍射极小条件和缝间光束干涉极大条件。
asin =k' (a+b)sin =k
k'=0,±1, ±2,· · ·
(a b) k k k 就是所缺的级次 a
( k 0 ,1,2 , ) k 1 , sin k 1 sin k ab
( a b ) sin k
( 一定， a b ) 减少， k 1 k 增大．
条纹最高级数
k sin k ab
π , 2
ab k kmax
例3: 用白光( 400 ~ 760 nm) 垂直照射在每厘 米有6500条刻痕的平面光栅上，求第三级光谱的张 角. 1 10 2 m 解： 400 ~ 760 nm a b 6500 k1 3 4 10 7 m 紫光 sin 1 0.78 1 51.26 2
c 1 1.36 103 m 解 (1) 1 1 2.44 0.006 03 rad D1 2 0.016 4 rad (2) 2 2.44 D2
17-8
衍射光栅
等宽度、等距离的狭缝排列起来的光学元件.
衍射角
L
P
Q

o
f
a
ab
光栅常数
a ：透光部分的宽度
单色光衍射
注意：
双缝干涉、单缝衍射明暗纹条件刚好相反。 双缝干涉中

k
( 2k 1)
( 2k 1)
明

2
k 0、 2、 1、
暗 明 暗

2
单缝衍射中

k 1、、 2
k
例1 ：一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个 单缝上。(1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角1=300， 求该单缝的宽度a=? (2)如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a)中 央明条纹的角宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第一
x sin tg f
a sin ( 2k 1 )
ax 1 k 3 f 2

(b)当k=3时，光程差

2 2 狭缝处波阵面可分成7个半波带。
7
17-7
圆孔夫琅和费衍射
一.圆孔夫琅和费衍射
H
L
P
爱 里 斑
d
条纹：明暗相间同心圆环第一暗环所围成的中央 光斑称为爱里斑，集中大部分能量(占80%)
(b) x0 f 0 2 10 3 m 2mm
2 3 3 (c) x21 f ( ) 1 (2 10 110 )m 1mm a a
例2：一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个 单缝上。 a=0.5mm，f=1m 如果在屏幕上离中央亮纹 中心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求(a)该P处亮 纹的级数；(b)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波 阵面可分割成几个半波带？ ( a ) a sin ( 2k 1 ) 亮纹 2
m 整数： 对应非明、暗纹中心的其余位置
R

C
L
P
A
A1
A2
Q
BC a sin m 2 o
（ m 个半波带）
B
/2
偶数个半波带 a sin 2 k 干涉相消(暗纹) 2 a sin ( 2 k 1 ) 干涉加强(明纹) 奇数个半波带 2 a sin k （介于明暗之间） (k 1,2,3,) 2
几点讨论:
光强分布 ( a b ) sin k
( k 0 ,1,2 , )
I
( a b ) sin
3 2
0

2
3
光栅中狭缝条数越多(N越大),明纹越细.
(a)1条缝 (d)5条缝
(b)2条缝
(e)6条缝
(c)3条缝
(f)20条缝
光栅常数越小，明纹越窄，明纹间相隔越远.
17-5
一
光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理
光的衍射现象
光在传播过程中若遇到尺寸比光的波长大得 不多的障碍物时，光会传到障碍物的阴影区并形 成明暗变化的光强分布的现象
二.菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
菲涅耳衍射 缝 夫琅禾费 衍射
S
P
缝
光源、屏与缝相距有限远
光源、屏与缝相距无限远
在夫 实琅 验禾 中费 实衍 现射
级与第二级暗纹的距离；
解： (1) a sin k (k 1,2,3) 第一级暗纹 k=1,1=300
a

sin 1
0.5 2 1.0m
(a)

a
sin

a
2 0.5m 3 0 2 2 10 rad 3 a 0.5 10 m
(3) 由光栅方程 ( a b ) sin k 当
sin 1，k kmax
k max ab

6 m 10 0.6 m
在-900<sin<900范围内可观察到的明纹级数为
k=0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,共15条明纹
斜入射光栅方程
二.光学仪器的分辨本领
1.最小分辨角 恰好能够被人眼分辨的角距离的极限 m sin 1.22 D 光学仪器的通光孔径 D
s1 * s 2*
0
d
2
f
2.光学仪器的分辨本领
D R 1.220
提高分辨率途径
1
D ,
哈勃太空望远镜 物镜的直径为2.4 m 最小分辨角 0 0.01
的结果。
有限个分立相干波叠加 —— 干涉 无限多个连续分布子波源相干叠加 —— 衍射
17-6
夫 琅 禾 费 单 缝 衍 射
单缝夫琅禾费衍射
R
a
A
源自文库
衍射角
L
f
P
Q
o
B
C
a sin
（衍射角： 向上为正，向下为负）
菲涅耳半波带法 BC a sin m 2
一. 半波带法
A
R

L
P
a
B
例： 若( a b ) 3a
缺级：K=3,6,9,...
单缝衍射第一级 ( k 1 ) 极小值位置
则 a b k 3 6 9
a
k
1
2
3
缺级现象
光栅衍射第三级 (k=3) 极大值 位置
k=-6
k=-4 k=-2 k=0 k=2 k=4 k=6 k=-1 k=3 k=-5 k=1 k=5 k=-3

2.2 10 rad
4
(2) d l 25 cm 2.2 104 0
0.005 5 cm 0.055 mm
例2 毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄， 这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击. (1)毫米波雷达，其圆形天线直径为55 cm，发射频 率为220 GHz的毫米波，计算其波束的角宽度； (2)船用雷达波长为1.57 cm，圆形天线直径为2.33 m . 计算其波束的角宽度