2018-2019学年最新浙教版九年级数学上册：两个三角形相似的判定(1)同步导学练及答案-精编试题

4.4 两个三角形相似的判定（1）
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）有两个角对应相等的两个三角形相似．
1.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C).
A.都含有一个30°的内角
B.都含有一个45°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个80°的内角
2.如
ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC,DC 于点F ，G ，则下列结论中，
错误的是(D).
A.△ABE∽△DGE
B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF
D.△ACD∽△GCF （第2题）（第3题）（第4题）
3.如图所示，F 是△ABC 的边BC 上一点，DE∥BC 交AF 于点G ，若ADDB=34，则CF GE 等于(A). A.73 B.74 C.43 D.3
4
4.如
ABCD 中，F 是CD 上一点，BF 交AD 的延长线于点G ，则图中的相似三角形
有(B). A.8对 B.6对 C.4对 D.2对
5.如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EF⊥BE，交CD 于点F ，连结BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是(B).
A.△EFB
B.△DEF
C.△CFB
D.△EFB 和△DEF
（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）
6.如图所示，E 是的边AD 上一点，AE=2
1ED ，CE 与BD 相交于点F ，BD=10，则DF= 4 . 7.如图所示，已知△ABC 与△DEF 均为等边三角形，则图中的相似三角形有3 对．
8.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .
9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE ．
（第9题）
【答案】在△ABC 中，∵AB=AC，BD=CD ，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.
10.如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连结BD ，OB.
（1）求证：△AEC ∽△DEB.
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O 的半径.
（第10题）
【答案】(1)∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB.
(2)设⊙O 的半径为r ，则CE=2r-2.∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=2
1AB=4.∵△AEC∽△DEB ， ∴DE AE =BE CE ，即24=4
2r ，解得r=5. 11.如图所示，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．
（第11题）
（1）求证：△ABD ∽△DCF ．
（2）除了△ABD∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【答案】(1)∵△ABC ，△ADE 为等边三角形，∴∠B=∠C=∠ADE=60°.∵∠BDA+∠ADE=∠DFC+∠C,∴∠BDA=∠DFC.∴△ABD∽△DCF.
(2)△AEF∽△DCF ，△ABD∽△AEF ，△ABC∽△ADE ，△ADF∽△ACD.
12.如图所示，在锐角三角形ABC 中，∠A=60°，BE⊥AC 于点E ，CD⊥AB 于点D ，则DE ∶BC 等于(C)．
A.2∶3
B.1∶3
C.1∶2
D.3∶2
（第12题）（第13题）（第14题）
13.如图所示，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE=DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若DF AF =2，则BG
HF 的值为(B). A.32B.127 C.21D.12
5 14.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为(A).
A.3
B.4
C.5
D.6
15.如图所示，在矩形ABCD 中，BE⊥AC 分别交AC ，AD 于点F ，E ，若AD=1，AB=CF ，则AE=2
15 . （第15题）
（第16题） 16.如ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连结OE 交AD 于点F.若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= 9
16 . 17.如图所示，在正方形ABCD 中，H 为CD 的中点，延长AH 至点F ，使AH=3FH ，过点F 作FG⊥CD，垂足为点G ，过点F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点E.求证：
（1）△ADH∽△FGH.
（2）四边形CEFG 是正方形.
（第17题）
【答案】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADH=90°，AD=DC.∵FG⊥CD，∴∠FGH=90°. ∴∠ADH=∠FGH.又∠AHD=∠FHG，∴△ADH∽△FGH.
(2)∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG 是矩形.∵△ADH∽△FGH ，∴GF AD =GH
DH =FH
AH .∵AH=3FH，∴GF AD =GH DH =3.∴GF=31AD.又∵DH=CH，∴CG=2GH.∴CD=6GH.∴CG=31CD.∴GF=CG.∴矩形CEFG 是正方形.
（第18题）
18.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点D ，交AB 于点F ，弦AE⊥CD 于点H ，连结CE ，OH ．
（1）求证：△ACE ∽△CFB ．
（2）若AC=6，BC=4，求OH 的长．
（第18题答图）
【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCB=45°. ∵AE⊥CD，∴∠CAE=45°=∠FCB.∵∠E=∠ABC，∴△ACE∽△CFB.
(2)如答图所示，延长AE ，CB 交于点M.∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，∴∠M=45°=∠CAE. ∴HA=HC=HM，CM=CA=6.∵CB=4，∴BM=6-4=2.∵OA=OB，HA=HM ，∴OH 是△ABM 的中位线.∴OH=2
1BM=1.
19.【泰安】如图所示，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME⊥AM，ME 交AD 的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE 的长为(B). A.18B.5109C 596D.3
25 （第19题）
（第20题） 20.【锦州】如图所示，E ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB=2∶3，连结DE 交BC 于点F ，则CF ∶AD= 3∶5 .
21.如图所示，Rt△AB′C′是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E ，CC′的延长线交BB′于点F ．
（1）求证：△ACE ∽△FBE ．
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α，β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，请说明理由．
（第21题）
【答案】(1)∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′. ∴∠ACC′=∠ABB′.∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE.
(2)当β=2α时，△ACE ≌△FBE.∵AC=AC′，∴∠ACC′==2
180β-︒=90°-α. ∵∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，∴∠BCE=α.∵∠ABC=α
，∴∠ABC=∠BCE.∴CE=BE.∵△ACE∽△FBE ，∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE.∵CE=BE，∴△ACE ≌△FBE.。