递推公式求通项公式的几种方

由递推公式求通项公式的常用方法
由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

方法一：累加法
形如a n+1－a n＝f(n)（n＝2,3,4,…）,且f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)可求，则用累加法求a n。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。

例1a1,a2,a3
（1
（2
（2
又a
形如
例2
由(n
得(a n＋1n n＋1n
因为a n＞0，则a n＋1＋a n≠0，所以=,将n＝1,2,…,n－1,分别代入得
=
=
……
=
将上面n－1个式子相乘得，＝××…×
又a1=1，则a n＝
点评：本题先由已知求出递推公式，化成了＝g(n)的类型，再利用累乘法求通项公式。

方法三：构造新数列法
构造新数列法：将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系（等差数列、等比数列、常数列或等差数列和等比数列的求和形式），以下类型均采用这种解法。

类型一:a n＋1＝A a n＋B(A,B∈R,A≠0)线性递推关系
当A≠0，B＝0时，a n＋1＝A a n是以A为公比的等比数列；
当A
a1＋
例3a n}的通项公式。

a n－
a n＋cq n 待入得p，而数列{a n＋·
例4
解：由n＝n＋·可变形为n＝(n＋),则数列{n}是以为1＝首项以为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得a n+＝（）n
因此a n＝－
类型三：a n＋2＝p a n＋1＋q a n(其中p,q均为常数)
方法：先把原递推公式转化为a n＋2－s a n＋1=t(a n＋1－s a n)，其中s,t满足，再利用等比数列来求解。

例5：已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n＋2＝a n＋1＋a n,求{a n}的通项公式。

解：由a n＋2＝a n＋1＋a n可转化为a n＋2－s a n＋1=t(a n＋1－s a n)
即a n＋2＝（s＋t）a n＋1－s·t a n,
∴,s·t＝－))解得))或,t＝1))这里不妨选用))（当然也可以选用,t＝1))）
a n＋
－a n＋1=－(a n＋1－a n)
2
所以{a n＋1－a n}是以a2－a1＝1为首项,－为公比的等比数列，
所以a n＋1－a n＝(－)n-1再用累加法a n－a1＝(－)0＋(－)1+…＋(－)n-2＝)n-1,1＋)又a1=1，因此a n＝－(－)n-1
上面给大家介绍了由递推公式求通项公式常用的三种方法（累加法、累乘法和构造新数列法）以及几种典型类型题。

构造新数列法比较简捷，但如果观察不到结构的特殊性，就想不到构造的新数列，所以仔细观察结构的
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