【名校专用】新课标高考数学二轮复习专题六直线圆圆锥曲线专题能力训练16直线与圆理

专题能力训练16 直线与圆
能力突破训练
1.(2017内蒙古包头一模)已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()
A.+y2=
B.+y2=
C.+y2=
D.+y2=
2.(2017河南重点中学联考)若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF 的面积为()
A. B.2 C. D.
3.已知直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数k的取值范围是()
A. B.
C. D.
4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=a sin x+b cos x+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是()
A.1
B.2
C.+1
D.3
5.(2017中原名校联考)已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a=.
6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为.
7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.
8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为点M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.
9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;
(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的
取值范围.
10.
已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
思维提升训练
12.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆
上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()
A.3
B.2
C.
D.2
13.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b
的取值范围是() A.(0,1) B.
C. D.
14.(2017江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若
≤20,则点P的横坐标的取值范围是.
15.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于
C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=.
16.
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点
A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.
17.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原
点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
参考答案
专题能力训练16直线与圆
能力突破训练
1.C解析用排除法,因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.
2.B解析由题意,圆心为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h=d=,底边长为l=2=2=4,所以S△ECF=4=2,故选B.
3.B解析当|MN|=2时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为=1,即=1,解得k=-若使|MN|≥2,则k≤-
4.B解析由题意知φ(a,b)=+1,且(a,b)满足a2+b2-4a+3=0,即(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.
5.0或解析当a=0时,l1⊥l2,当a≠0时,由-2a2=-1,解得a=,所以a=0或a=
6.(x-1)2+y2=1解析因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据
=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.
7.x2+(y-1)2=10解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y-2=0的距离d==1.
∵圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,
∴圆的半径r=
∴圆方程为x2+(y-1)2=10.
8-1解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P 到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1.
9.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,
即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.
则圆心O到直线MN的距离d=
由垂径定理,得+()2=22,即m=±
所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,
得=x2+y2,
即x2-y2=2.
因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),
且点P在圆O内,所以由此得0≤y2<1.所以的取值范围为[-2,0).
10.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.
取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,
则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.
所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,故曲线Γ的方程为+y2=1.
(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,
则设B(x0,y0),
则x0(x0-)+=0.
又=1,解得x0=,y0=±
则k OB=±,k AB=,则直线AB的方程为y=±(x-),
即x-y-=0或x+y-=0.
11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以<1.
解得<k<
所以k的取值范围为
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=,x1x2=
=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.
由题设可得+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.
思维提升训练
12.A解析建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1).
设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,
即圆的方程是(x-2)2+y2=
易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).
由=+,
得所以μ=,λ=1-y,
所以λ+μ=x-y+1.
设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,
所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,
即,解得1≤z≤3,
所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
13.B解析
由题意可得,△ABC的面积为S=AB·OC=1,
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M,由-0可得点M在射线OA上.
设直线和BC的交点为N,又直线BC的方程为x+y=1,
则由可得点N的坐标为
①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-=-1,且,解得a=b=
②若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得△NMB的面积等于,即
|MB|·y N=,即,解得a=>0,则b<
③若点M在点A的左侧,则-<-1,b>a,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由求得点P的坐标为,
此时,NP=
=
=,
此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为,
由题意可得,△CPN的面积等于,
即,
化简,得2(1-b)2=|a2-1|.
由于此时0<a<1,
∴2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.
两边开方可得(1-b)=<1,则1-b<,即b>1-,
综合以上可得,b=符合题意,且b<,b>1-,即b的取值范围是
14.[-5,1]解析
设P(x,y),由20,易得x2+y2+12x-6y≤20.
把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0.
由可得由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-5,1].
15.4解析因为|AB|=2,且圆的半径R=2,
所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.
由=3,解得m=-
将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.
由平面几何知识知在梯形ABDC中,
|CD|==4.
16.解
圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
d=
因为BC=OA==2,
而MC2=d2+,
所以25=+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为A(2,4),T(t,0),,
所以①
因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. ②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,
从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,
所以5-55+5,
解得2-2t≤2+2
因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].
17.(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简,得x2-2tx+y2-y=0.当y=0
时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B,故S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|=4为定
值.
(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=,∴t=2或t=-2.
∴圆心为C(2,1)或(-2,-1),
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线
与圆相交,舍去,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(3)解点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.
又点B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|-r==3=2,
所以|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B'C的方程为y=x,则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为。