2021年广东省肇庆市高考数学第二次检测试卷(二模) (解析版)

2021年广东省肇庆市高考数学第二次检测试卷（二模）
一、选择题（每题5分）.
1．图中阴影部分所对应的集合是（）
A．（A∪B）∩（∁U B）B．∁U（A∩B）
C．（∁U（A∩B））∩（A∪B）D．（∁U（A∪B））∪（A∩B）
2．在复平面内，复数＝（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A．（3，4）B．（﹣4，3）C．（，﹣）D．（﹣，﹣）3．已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝（）
A．﹣1B．C．D．1
4．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．明代曹昭在《格古要论•珍奇•鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为100πcm2和64πcm2的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接线段AB．若线段AB不穿过小球内部，则线段AB长度的最大值是（）
A．cm B．9cm C．3cm D．2cm
5．二项式（ax2﹣）6的展开式的常数项为60，则a的值为（）
A．2B．﹣2C．±2D．±3
6．曲线f（x）＝lnx﹣在（1，f（1））处的切线方程为（）
A．2x﹣y﹣3＝0B．2x﹣y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣1＝0 7．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆
心的单位圆相交于A点．若A的横坐标为，则（）
A．sinα＝B．cos2C．sin2D．tan2α＝
8．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，
在双曲线C上存在点M，使得2|OM|＝|F1F2|．设△F1MF2的面积为S．若16S＝（|MF1|+|MF2|）2，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：[90，91），[91，92），[92，93），[93，94），[94，95），[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）
A．b＝0.25
B．长度落在区间[93，94）内的个数为35
C．长度的众数一定落在区间[93，94）内
D．长度的中位数一定落在区间[93，94）内
10．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0）的部分图象如图所示，则f（x）＝（）
A．2sin（2x+）B．2sin（2x﹣）
C．2cos（2x）D．2cos（x）
11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布，X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．P（μ1﹣σ1＜X＜μ1+2σ1）≈0.8186
B．P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1）
C．P（X≤σ2）＜P（X≤σ1）
D．对于任意的正数t，有P（X≤t）＞P（Y≤t）
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的（）
A．A1P∥平面AD1C
B．A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是
C．A1P+PC的最小值为
D．以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．写出一个与向量＝（2，1）共线的向量：．
14．设函数f（x）＝，若f（f（））＝4，则a＝．
15．已知点P是抛物线x2＝8y上的一个动点，则点P到点A（2，0）的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为．
16．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代
物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n （n∈N*），则1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列{a n}中的第项．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sin A﹣sin B）+b sin B＝c sin C．（1）求角C；
（2）若c＝3，a+b＝6，求△ABC的面积．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，S n+1•（2﹣S n）＝1．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{}中最接近2020的数．
19．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；
（2）若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．
20．如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝．
（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；
（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q﹣BDC的余弦值为时，求此时三棱锥Q﹣BCD的体积．
21．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝2的直径．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C1的左焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交圆C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．
22．已知函数f（x）＝x2﹣a（xlnx﹣x）+（a+1）lnx．
（1）当a＝2时，讨论y＝f（x）的单调性；
（2）设y＝f′（x）是函数f（x）的导函数，讨论函数y＝f′（x）在[1，e]上的零点个数．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．图中阴影部分所对应的集合是（）
A．（A∪B）∩（∁U B）B．∁U（A∩B）
C．（∁U（A∩B））∩（A∪B）D．（∁U（A∪B））∪（A∩B）
解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中，
故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B），
故选：C．
2．在复平面内，复数＝（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A．（3，4）B．（﹣4，3）C．（，﹣）D．（﹣，﹣）解：因为＝＝＝，
所以z＝，对应的点（）．
故选：D．
3．已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝（）
A．﹣1B．C．D．1
解：根据题意，函数f（x）＝为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即＝﹣，变形可得：（a﹣1）x＝0，
必有a＝﹣1，
故选：D．
4．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．明代曹昭在《格古要论•珍奇•鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数
重，皆可转动，故谓之鬼工毬”．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为100πcm2和64πcm2的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接线段AB．若线段AB不穿过小球内部，则线段AB长度的最大值是（）
A．cm B．9cm C．3cm D．2cm
解：过球心作截面圆如图，
∵外层与内层的表面积分别为100πcm2和64πcm2，∴大球与小球的半径分别为5与4，则|AB|的最大值为cm．
故选：C．
5．二项式（ax2﹣）6的展开式的常数项为60，则a的值为（）
A．2B．﹣2C．±2D．±3
解：∵二项式（ax2﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r a6﹣r•x12﹣r，
令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得常数项为•a2＝60，则a＝±2，
故选：C．
6．曲线f（x）＝lnx﹣在（1，f（1））处的切线方程为（）
A．2x﹣y﹣3＝0B．2x﹣y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣1＝0
解：由f（x）＝lnx﹣，得f′（x）＝，所以f′（1）＝2，f（1）＝﹣1，所以曲线f（x）＝lnx﹣在（1，f（1））处的切线方程为y+1＝2（x﹣1），
即2x﹣y﹣3＝0．
故选：A．
7．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆
心的单位圆相交于A点．若A的横坐标为，则（）
A．sinα＝B．cos2C．sin2D．tan2α＝
解：由三角函数的定义可知cosα＝，sinα＝±，故A错误；
则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故B正确；
sin2α＝2sinαcosα＝±，故C错误；
tan2α＝＝±．故D错误．
故选：B．
8．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，
在双曲线C上存在点M，使得2|OM|＝|F1F2|．设△F1MF2的面积为S．若16S＝（|MF1|+|MF2|）2，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
解：由2|OM|＝|F1F2|可得∠F1AF2＝，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由16S＝（|MF1|+|MF2|）2可得：8mn＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4a2+4mn，
所以mn＝a2，
又因为m2+n2＝4c2，即（m﹣n）2+2mn＝4c2，
所以4a2+2a2＝4c2，
可得离心率e＝＝，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：[90，91），[91，92），[92，93），[93，94），[94，95），[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）
A．b＝0.25
B．长度落在区间[93，94）内的个数为35
C．长度的众数一定落在区间[93，94）内
D．长度的中位数一定落在区间[93，94）内
解：对于A：由频率之和为1，得（0.35+b+0.15+0.1×2+0.05）×1＝1，解得b＝0.25，所以选项A正确，
对于选项B：长度落在区间[93，94）内的个数为100×0.35＝35，所以选项B正确，对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间[93，94）内，所以选项C错误，
对于选项D：对这100件产品，因为0.1+0.1+0.25＜0.5，而0.1+0.1+0.25+0.35＞0.5，所以长度的中位数一定落在区间[93，94）内，所以选项D正确，
故选：ABD．
10．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0）的部分图象如图所示，则f（x）＝（）
A．2sin（2x+）B．2sin（2x﹣）
C．2cos（2x）D．2cos（x）
解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0）的部分图象知，A＝2，
设f（x）的最小正周期为T，则T＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，
将最低点的坐标（，﹣2）代入f（x）＝2sin（2x+φ）中，得2sin（2×+φ）＝
﹣2，
所以+φ＝2kπ﹣，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，
所以f（x）＝2sin（2x+2kπ﹣），k＝0，
即f（x）＝2sin（2x﹣）
＝2sin（2x﹣﹣）
＝﹣2cos（2x﹣）
＝2cos（2x﹣）．
故选：BC．
11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布，X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．P（μ1﹣σ1＜X＜μ1+2σ1）≈0.8186
B．P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1）
C．P（X≤σ2）＜P（X≤σ1）
D．对于任意的正数t，有P（X≤t）＞P（Y≤t）
解：对于A，P（μ1﹣σ1＜X＜μ1+2σ1）≈（0.6827+0.9545）×＝0.8186，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1＜μ2，则P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1＜σ2，则P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），故C错误；
对于D，对于任意的正数t，有P（X≤t）＞P（Y≤t），故D正确．
故选：ABD．
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下
列说法中正确的（）
A．A1P∥平面AD1C
B．A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是
C．A1P+PC的最小值为
D．以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是
解：对于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，所以A正确；
对于B，当B1P⊥BC1时，A1P与BCC1B1所成角的正切值最大，最大值是，所以B 正确；
对于C，将△A1C1B沿BC1翻折与△BCC1在同一个平面，且点A1，C在直线BC1的异侧，此时cos∠A1C1C＝﹣，此时A1C＝，所以A1P+PC的最小值为，所以C
正确；
对于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交线为以D为圆心，半径为1的四分之一圆周，
所以交线长为，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．写出一个与向量＝（2，1）共线的向量：（4，2）．
解：与向量＝（2，1）共线的向量可以表示为λ＝λ（2，1）＝（2λ，λ），λ∈R，λ＝2时，λ＝（4，2）．
故答案为：（4，2）．（答案不唯一，写出其中一个即可）．
14．设函数f（x）＝，若f（f（））＝4，则a＝．解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（）＝2×﹣a＝﹣a，
当﹣a＜1，即a＞﹣，则f（f（））＝f（﹣a）＝2×（﹣a）﹣a＝1﹣3a＝4，解可得：a＝﹣1，不符合题意，
当﹣a≥1，即a≤﹣，则f（f（））＝f（﹣a）＝＝4，
解可得：a＝﹣，符合题意，
综合可得：a＝﹣，
故答案为：﹣．
15．已知点P是抛物线x2＝8y上的一个动点，则点P到点A（2，0）的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为2．
解：设点P在抛物线的准线的投影为点M，
抛物线的焦点F的坐标为（0，2），
由抛物线的定义可知点P到抛物线的准线的距离为|PM|＝|PF|，
则点P到点A（2，0）的距离与到准线的距离之和为d＝|PA|+|PF|≥|AF|＝，当且仅当点P，A，F三点共线时取等号，
故答案为：2．
16．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n （n∈N*），则1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列{a n}中的第2022项．
解：依题意，得1+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a2+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a4+a5+a7+a9+…+a2021
＝a6+a7+a9+…+a2021
＝…＝a2020+a2021
＝a2022，
故答案为：2022．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sin A﹣sin B）+b sin B＝c sin C．（1）求角C；
（2）若c＝3，a+b＝6，求△ABC的面积．
解：（1）由正弦定理知，＝＝，
∵a（sin A﹣sin B）+b sin B＝c sin C，
∴a（a﹣b）+b2＝c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理知，cos C＝＝＝，
∵C∈（0，π），
∴C＝．
（2）由（1）知，a2+b2﹣c2＝ab，即（a+b）2﹣2ab﹣c2＝ab，
∵c＝3，a+b＝6，
∴36﹣9＝3ab，解得ab＝9，
∴a＝b＝3，
∴△ABC的面积S＝ab sin C＝×3×3×sin＝．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，S n+1•（2﹣S n）＝1．（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{}中最接近2020的数．
【解答】（1）证明：＝＝﹣2，
由S n+1•（2﹣S n）＝1，得S n+1＝，
因为﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，所以{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得＝﹣2+（n﹣1）（﹣1）＝﹣（n+1），即S n＝，
则a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝（n≥2），
当n＝1时，a n＝也成立，
所以a n＝（n∈N*），
则＝n（n+1），
当n＝44时，＝44×45＝1980；
当n＝45时，＝45×46＝2070，
所以数列{}中最接近2020的数是1980．
19．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；
（2）若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．
解：（1）恰好打了7局小明获胜的概率是P1＝＝，
恰好打了7局小亮获胜的概率为P2＝＝，
∴比赛结束时恰好打了7局的概率为P＝P1+P2＝＝，
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝+＝，
P（X＝5）＝＝，
∴X的分布列如下：
X2345
P
E（X）＝2×+4×+5×＝．
20．如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝．
（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；
（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q﹣BDC的余弦值为时，求此时三棱锥Q﹣BCD的体积．
解：（1）如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.
证明：在△SAD中，SA＝1，AD＝，SD＝，则SA2+AD2＝SD2，∴SA⊥AD，
由SA⊥AD，AD⊥AB，SA∩AB＝A，得AD⊥平面SAB，
又BC∥AD，∴BC⊥平面SAB，则BC⊥SE，
由PD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝，得AE＝1，
∴AE＝AB＝SA，可得SE⊥SB，
又∵BC∩SB＝B，∴SE⊥平面CSB，
即l⊥平面CSB；
（2）由（1）知，SA⊥AB，AD⊥AB，AD⊥SA．
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1），，设（0＜λ＜1），则Q（λ，λ，1﹣λ），
，
设是平面QBD的一个法向量，
则，取x＝2，可得，
是平面CBD的一个法向量，
由|cos＜＞|＝，
解得，∴点Q是SC的中点，
∴＝．
21．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝2的直径．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C1的左焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交圆C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．
解：（1）由2a＝2，得a＝，
由e＝＝，得c＝1，所以b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）由（1）可得F（﹣1，0），
①当过点F的直线l1的斜率不存在时，|MN|＝2，|PQ|＝，
所以S四边形PMQN＝|MN||PQ|＝×2×＝2，
②当过点F的直线l1的斜率为0时，|MN|＝2，|PQ|＝2，
这是S四边形PMQN＝|MN||PQ|＝×2×2＝2，
③当过点F的直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），
Q（x2，y2），
由，得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，
所以y1+y2＝，y1y2＝，
|PQ|＝＝，
所以S四边形PMQN＝|MN||PQ|＝×2×＝2，
直线l2的方程为mx+y+m＝0，
坐标原点O到直线l2的距离d＝，
则|MN|＝2＝2，
所以S四边形PMQN＝|MN||PQ|＝2×＝2，
由2+m2＞2，得2＞2，
即S四边形PMQN∈（2，2），
综上所述，四边形PMQN的面积的最小值为2．
22．已知函数f（x）＝x2﹣a（xlnx﹣x）+（a+1）lnx．
（1）当a＝2时，讨论y＝f（x）的单调性；
（2）设y＝f′（x）是函数f（x）的导函数，讨论函数y＝f′（x）在[1，e]上的零点个数．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝x﹣alnx+，
令h（x）＝f′（x）＝x﹣alnx+，
则h′（x）＝，
当a＝2时，h′（x）＝，
令h′（x）＝0，解得x＝3，
所以函数h（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，且h（3）＝4﹣2ln3＞0，
所以f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）①当a＞e﹣1，即a+1＞e时，
当x∈（1，e）时，h′（x）＜0，故h（x）在（1，e）上单调递减，
h（1）＝2+a＞0，h（e）＝e+﹣a＝a（﹣1）+e+，
当h（e）＞0，即a（﹣1）+e+＞0，即a＜时，h（x）＞0在[1，e]上恒成立，所以e﹣1＜a＜时，h（x）在[1，e]上无零点，
当h（e）≤0，即a（﹣1）+e+≤0，即a≥时，h（1）•h（e）≤0，
由零点存在性定理可知，此时h（x）在[1，e]上有零点，
又因为函数h（x）在[1，e]上单调递减，所以此时h（x）在[1，e]上有一个零点．
②当a≤0，即a+1≤1时，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0，所以h（x）在（1，e）上单调递增，
h（1）＝2+a，h（e）＝a（﹣1）+e+＞0，
当h（1）＝2+a≤0，即a≤﹣2时，h（1）h（e）≤0，
由零点存在性定理，知此时h（x）在[1，e]上有零点，
因为h（x）在[1，e]上单调递增，故h（x）在[1，e]上仅有1个两点．
当﹣2＜a≤0时，h（x）min＝h（1）＞0，此时h（x）在[1，e]上无零点．
③当0＜a≤e﹣1，即1＜a+1≤e时，
当x∈（1，a+1）时，h′（x）＜0，当x∈（a+1，e）时，h′（x）＞0，
则函数h（x）在（1，a+1）上单调递减，在（a+1，e）上单调递增，
故h（x）min＝h（a+1）＝a+2﹣aln（a+1）．
令g（a）＝h（a+1）＝a+2﹣aln（a+1），则g′（a）＝﹣ln（a+1），
所以g′（a）在（0，e﹣1]上单调递减，且g′（0）＝1＞0，g′（e﹣1）＝﹣1＜0，所以g（a）在（0，e﹣1]上先增后减，
又g（0）＝g（e﹣1）＝2，
所以h（x）min＝h（a+1）≥2，故h（x）＞0，此时h（x）在[1，e]上无零点．
综上所述，当a≤﹣2或a≥时，y＝f′（x）在[1，e]上有1个零点；
当﹣2＜a＜时，y＝f′（x）在[1，e]上无零点．。