模拟退火算法思想在求解四色问题中的应用

2018年24期

应用科技

科技创新与应用

Technology Innovation and Application

模拟退火算法思想在求解四色问题中的应用*

黄仁帅

（百色学院，广西百色533000）

1概述

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。1852年，G.Frederick 在从事地图着色工作时发现的一个现象，即“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有

共同边界的国家被染上不同的颜色”

。四色问题从诞生开始，就因其简单的外表而神秘的内涵，引起无数数学家的研究兴趣。但直至1976年，才由Appel 与Haken 借助计算机给出一个并不十分完善的机器证明[1]，期间整整经历了一个多世纪。时至今日，虽然四色问题的正确性已经得到数学界公认，但对其非计算机证明的研究仍不得其解。而正是由于数学家对该问题非计算机证明的不懈探索，发展出了浩瀚的图的染色体理论，极大的促进了图论的发展。

模拟退火算法（Simulated Annea-ling ，SA ）的思想来

源于固体退火原理，于1953年由N.Metropolis 等人最先提出。经过半个多世纪的研究改进，目前已在生产调度、

机器学习、信号处理等工程领域中得到了广泛应用。近年来，众多学者围绕四色图问题的数值计算方法展开了研究，得到了许多不同的计算方法[2-4]

。而在众多算法中，模拟退火算法是求解四色图问题的有效算法之一。2算法设计

基于模拟退火算法的思想，针对四色图问题的特殊

性，设计求解四色图问题的快速算法。2.1地图模型的构建以10个连续地区着色问题为例，其简化地图如图1，

每个顶点表示一个地区，每根连线代表这两个地区相邻。

该地图模型还用下述邻接矩阵V 表示：

其中，v ij =1表示第i 个地区和第j 个地区相邻；反之，则表示不相邻。由于每个地区都仅限于4种颜色之一，故可用4个摘

要：四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。对四色问题的研究，促进了一系列数学新思维的产生，为推动数

学的发展起到了重要的作用。模拟退火算法是求解复杂工程问题的重要算法之一。文章基于模拟退火算法的思想，结合四色问题的特

殊性，给出了一种求解四色问题的快速算法。

关键词：模拟退火；四色问题；智能算法

中图分类号:O29

文献标志码:A

文章编号:2095-2945(2018)24-0164-02

Abstract :The four-color problem,also known as the four-color conjecture,is one of the three modern mathematical problems in

the world.The research on the four-color problem promotes a series of new mathematical thinking and plays an important role in promoting the development of mathematics.Simulated annealing is one of the most important algorithms for solving complex engineer 鄄

ing problems.Based on the idea of simulated annealing algorithm and the particularity of the four-color problem,a fast algorithm for solving the four-color problem is presented in this paper.

Keywords :simulated annealing;four-color problem;intelligent algorithm

*基金项目:广西高校中青年教师基础能力提升项目(编号:KY2016LX354)

作者简介：黄仁帅（1987-），男，广西贺州人，百色学院教师，

研究方向：应用数学

。图1简化地图

01110000001010100000110111100010100100000110001001V 00110011000010110100000001101100000001010000100110

164--

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十进制数字分别表示4种颜色，如表1。这样一来，对于n 个连续地区的着色问题，它的任意一个着色方案，都可用一个字符串表示：

C={c 1，c 2，…，c n }，其中，c i ∈{1，2，3，4}，i=1，2，…，n 。为判断该着色方案C 是否可行，构造评价函数：

其中，关于矩阵D=（d ij ）的元素，有：

即当i 地区和j 地区的颜色不同时，d ij =0；否则d ij =1。显然，若着色方案C 可行，即任意两个相邻区域的颜色都不同，则F （D ，V ）=0；否则，F （D ，V ）>0。

2.2模拟退火算法下面，基于模拟退火算法的思想，设计求解四色图问题的快速算法，步骤如下：

步骤1.导入数据，初始化相关参数。随机产生初始解C 0={c 1，c 2，…，c n }，计算初始解的评价函数值F 0，设置初始温度T 0，终止温度T ，降温速率α∈（0，1）；

步骤2.设置内循环迭代次数N=0，最大迭代次数N max ；

步骤3.随机交换当前解C 0与{1，2，3，4}中的任意两个位置的元素产生新解C 1，计算C 1的评价函数值F 1；

步骤4.令ΔF=F 1-F 0，若ΔF<0，则C 0:=C 1，F 0:=F 1，否则，按Metropolis 准则，以e -（ΔF/T 0）

的概率接受新解；步骤5.内循环次数N=N+1，若N ⩽N max ，则转步骤3；步骤6.若F 0=0，即得可行方案，则终止算法，否则，T 0:=αT 0；

步骤7.若T 0>T ，则转步骤2，否则，算法结束，没有得可行解，转到步骤1重新开始。

其中，初始温度T 0，终止温度T ，降温速率α∈（0，1）及

内循环最大迭代次数N max 等参数的设定，与着色问题的规模大小有关。

3实验结果

以图1中10个连续地区地图的邻接矩阵V 为基础，构造邻接矩阵序列：

在MATLAB 下进行编程实验，计算邻接矩阵为V k 时

获得100个可行着色方案的总时间（s ），获得每个可行着

色方案的平均时间（s ），运行结果如下（表2）。

当问题的规模n=160时，计算获得100个可行着色方案需花费大量时间，最后只统计获得一个可行方案的时间。另外，由于算法具有一定的随机性，故上述时间只是一个参考值。

4结束语

本文基于模拟退火算法的思想，设计了一种求解四色图问题新的快速算法，实验表明新算法是可行有效的.同时，随着问题规模的增大，每次计算所花费的时间也在不断的增加，希望在以后的研究中能加以改进。参考文献院

[1]AppelK ，Haken W.The Solution of the Four-color-map Prob -lem[J].Scientific American ，1997，10：108-121.

[2]宋宇航.基于混沌神经网络的四色图解法研究与优化[D].哈尔滨

理工大学，2011.

[3]火善栋.用遗传算法实现四色图问题[J].计算机时代，2015（3）：56-57.

[4]王宁.应用模拟退火算法求解四色图问题[J].电脑迷，2016（7）：

178.

表1

n

n

ij ij

i 1j 1F D,V d v i j ij i j

1,c c d 0,c c

k 101k 0k 1V 0V 0V V,V ,V ,0V 0V

表2

165--