3.4.2 简单线性规划 课件(北师大版必修五)
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2017-2018学年北师大版数学必修5教学课件：第三章 不等式 3.4.2
探究一
探究二
思维辨析
正解:作出可行域(如图阴影部分),设z=x+2y,作l0:x+2y=0,把l0向 左下方平移到点(0,-1)时,z有最小值,此时zmin=0+2×(-1)=-2.把l0向 右上方平移到点(0,1)时,z有最大值,此时zmax=0+2×1=2. 答案:B
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得1.对于线性规划问题,正确作出可行域是解决问题的基 础. 2.对于可行域边界的虚实,及线性目标函数中直线的斜率与可行 域中直线的斜率的比较是问题的核心. 3.对于本题来说,未能分析好x+2y=0的斜率与x+y=1的斜率大小 关系,导致画图出错.
名师点拨线性约束条件和线性目标函数: (1)线性约束条件是指由变量x,y的一次不等式组构成的约束条件; (2)线性目标函数是指关于变量x,y的一次式.
2.简单的线性规划问题 (1)目标函数中y的系数大于0时的线性规划问题. 一般地,设目标函数为z=ax+by+c,当b>0时,把直线l0:ax+by=0向上 平移时,所对应的z随之增大;把l0向下平移时,所对应的z随之减小. 由此可得到,在约束条件下,当b>0时,求目标函数的最大值或最小值 的过程为: ①作出可行域; ②作出直线l0:ax+by=0; ③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; ④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.
(2)目标函数中y的系数小于0时的线性规划问题. 一般地,在线性约束条件下,当b<0时,把直线ax+by=0向下平移 时,z=ax+by+c的值增大;把直线ax+by=0向上平移时,z=ax+by+c的 值减小. 由此可得到,在约束条件下,当b<0时,求目标函数的最大值或最小值 的求解程序与b>0时相同,即为: ①作出可行域; ②作出直线l0:ax+by=0; ③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; ④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.
高中数学北师大版必修五3.4《简单线性规划》ppt参考课件2
例1画出直线2x＋ｙ－６＜0 表示的平面区域。
解：先画直线2x+y –6 =0（画成虚线）
Y
取原点（0，0）代入2x+y- 6
6
∵2×0+ 0 – 6= - 6＜0 ∴原点在2x+y –6 ＜0 表示
O
3X
平面区域 内
小结：以直线定出界，再以特殊点定出区域。
③巩固：
画出下列不等式表示的平面区域：
因为点Ｐ（ｘ０，ｙ０）是直线ｘ＋ｙ－ １＝０上任意点，所以对于直线ｘ＋ｙ
－１＝０右上方的任意点（ｘ，ｙ），
Y （x，y）
⊕⊕ P1
O1
X
ｘ＋ｙ－１＞０都成立
同理，对于直线ｘ＋ｙ－１＝0左下方的任意点（ｘ， ｙ），ｘ＋ｙ－１＜０都成立。
所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式ｘ＋ｙ－1＞0
的解为坐标的点的集合是在直线ｘ＋ｙ－1＝0右上方的平面
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
4
x
-2
Y
3
O 23
X
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
高中数学必修五北师大版 简单线性规划课件(36张)
[分析]
由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；
1 － y － 2y＋1 2 ②求 z＝ ＝2· 的取值范围． x＋1 x－－1
解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何 知识求最值．
[解析]
解析：由于 z＝ y＋1 y－－1 ＝ ，所以 z 的几何意义是点(x，y)与点 x＋1 x－－1
是多少？
当 x，y 取何值时，z＝3x－2y 取最值，其值
解析：本题是求目标函数 z＝3x－2y 的最值问题，应先画出可行域， 再将目标函数化成直线方程的斜截式，将问题转化为求这条直线经过可 行域时的纵截距的最大值、最小值问题． 3 z 3 作出可行域如图所示． 将目标函数改写成 y＝2x－2， 它表示斜率为2， z 纵截距为－2的平行直线系． 其中过 E 点的那条纵截距最小(这时 z 最大)， 过 B 点的那条纵截距最大(这时 z 最小)，
x＋y－6＝0， 24 6 由 得 E 5 ，5. 2x－3y－6＝0，
24 6 又 B(0,3)，因此当 x＝ 5 ，y＝5时，zmax＝12；当 x＝0，y＝3 时，zmin ＝－6.
求非线性目标函数最值
x－y＋2≥0， [例 2] 已知x＋y－4≥0， 求： 2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围． x＋1
M(1,1)，则 x＋y 的最小值为 2.
答案：C
x＋y≥0， 3．若 x，y 满足约束条件x－y＋3≥0， 则 z＝2x－y 的最大值为 0≤x≤3， ________．
解析：作出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l0：2x－y＝0， 将l0平移至过点A时，函数z＝2x－y有最大值9.
高中数学 第三章 不等式 3.4.2 简单线性规划课件 北师大版必修5
解析： 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分(包括边界)
(1)将目标函数改写成 y＝－32x＋12z，表示斜率为－32，纵截距 为12z 的平行直线系，其中过点 B 时，纵截距最大，过点 A 时纵 截距最小．
3x＋y≥12
下的可行
域，包含边界：其中三条直线中 x＋3y＝12 与 3x＋y＝12 交于点 A(3,3)，x＋y＝10 与 x＋3y＝12 交于点 B(9,1)，
x＋y＝10 与 3x＋y＝12 交于点 C(1,9)， 作一组与直线 2x－y＝0 平行的直线 l：2x－y＝z 即 y＝2x－z， 然后平行移动直线 l，直线 l 在 y 轴上的截距为－z，当 l 经过点 B 时，－z 取最小值，此时 z 最大，即 zmax＝2×9－1＝17；当 l 经 过点 C 时，－z 取最大值，此时 z 最小，即 zmin＝2×1－9＝－7. ∴zmax＝17，zmin＝－7.
原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原
料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2 元．若病人每餐
至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质．
[问题 1] 设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g，为了满
足病人的营养需要．试列出 x，y 满足的不等关系．
A．(1,4) C．(5,0)
B．(0,5) D．(3,0)
解析： x＋y＝5，斜率为－1,2x＋y＝6 的斜率为－2,6x＋8y ＝z 的斜率为－34，∴过 y 轴目标函数取得最大值，
又∵x＋y＝5 在 y 轴交点(0,5)， ∴取得最大值的点为(0,5)． 答案： B
x＋2y≤4 3．设 x，y 满足约束条件x－y≤1
3x＋2y≤5
2018-2019学年高二数学北师大版必修5实用课件：第3章 4.2 简单线性规划
[答案] (1)× (2)× (3)×
x≥1， 2．设变量 x，y 满足约束条件x＋y－4≤0， x－3y＋4≤0， 大值为( A．－4 4 C．3 ) B．0 D．4
则目标函数 z＝3x－y 的最
x＋y－4＝0， 联立 x－3y＋4＝0，
x＝2， 解得 y＝2.
当目标函数 z＝3x－y 移到(2,2)时，z＝ 3x－y 有最大值 4.]
x＋y－2≥0 3．若实数 x，y 满足x≤4 y≤5
，则 s＝x＋y 的最小值为________.
[解析] 如图所示阴影部分为可行域，由 s＝x＋y 得 y＝－x＋s，由图可知，
当直线 y＝－x＋s 与直线 x＋y－2＝0 重合时，s 最小，即 x＝4，y＝－2 时， s 的最小值为 4－2＝2.
②解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的 步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图 形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的 平面区域．
(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过 或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (ⅳ)答：写出答案．
z＝x＋y 知 y＝－x＋z，当直线 y＝
－x＋z 经过
3 取最大值2.
[答案]
3 2
[规律方法]
用图解法解决线性规划问题的关键和注意点
图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直 线 ax＋by＝0， 看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域， 则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最 小值.
x≥1， 2．设变量 x，y 满足约束条件x＋y－4≤0， x－3y＋4≤0， 大值为( A．－4 4 C．3 ) B．0 D．4
则目标函数 z＝3x－y 的最
x＋y－4＝0， 联立 x－3y＋4＝0，
x＝2， 解得 y＝2.
当目标函数 z＝3x－y 移到(2,2)时，z＝ 3x－y 有最大值 4.]
x＋y－2≥0 3．若实数 x，y 满足x≤4 y≤5
，则 s＝x＋y 的最小值为________.
[解析] 如图所示阴影部分为可行域，由 s＝x＋y 得 y＝－x＋s，由图可知，
当直线 y＝－x＋s 与直线 x＋y－2＝0 重合时，s 最小，即 x＝4，y＝－2 时， s 的最小值为 4－2＝2.
②解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的 步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图 形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的 平面区域．
(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过 或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (ⅳ)答：写出答案．
z＝x＋y 知 y＝－x＋z，当直线 y＝
－x＋z 经过
3 取最大值2.
[答案]
3 2
[规律方法]
用图解法解决线性规划问题的关键和注意点
图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直 线 ax＋by＝0， 看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域， 则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最 小值.
高中数学北师大版必修5 简单线性规划 课件(38张)
4．2
简单线性规划
4．3 简单线性规划的应用• 学习导航1.了解可行域、可行解、约束条件、线性约束条 件、目标函数、线性目标函数、最优解等概念． 学习 2．掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定 目标 最优解的方法．(重点) 3．会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划 问题．(难点) 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行 学法 域，再作出目标函数对应的直线，然后根据题意 指导 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.
求线性目标函数的最值
2y≤x， 设 z＝ 2x＋ y 中的变量 x，y 满足条件x＋ y≤ 1， y≥－1， 求 z 的最大值和最小值． (链接教材 P101 例 6、 P103 例 7)
2y≤x， [解 ] 约束条件为x＋ y≤ 1， y≥－ 1， 作出可行域，如图所示的阴影部分．
视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
(链接教材P105例9)
[解 ] (1)模型建立． 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 钟和 y 分钟，总收益为 z 元， x＋ y≤ 300， 由题意得约束条件为500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥ 0. 目标函数为 z＝ 3 000x＋2 000y. (2)模型求解． x＋ y≤ 300， 二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤ 900， x≥0， y≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图， 3 z 把 z＝ 3 000x＋2 000y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ 2 2 000 3 z ，在 y 轴上的截距为 的一组平行直线． 2 2 000
简单线性规划
4．3 简单线性规划的应用• 学习导航1.了解可行域、可行解、约束条件、线性约束条 件、目标函数、线性目标函数、最优解等概念． 学习 2．掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定 目标 最优解的方法．(重点) 3．会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划 问题．(难点) 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行 学法 域，再作出目标函数对应的直线，然后根据题意 指导 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.
求线性目标函数的最值
2y≤x， 设 z＝ 2x＋ y 中的变量 x，y 满足条件x＋ y≤ 1， y≥－1， 求 z 的最大值和最小值． (链接教材 P101 例 6、 P103 例 7)
2y≤x， [解 ] 约束条件为x＋ y≤ 1， y≥－ 1， 作出可行域，如图所示的阴影部分．
视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
(链接教材P105例9)
[解 ] (1)模型建立． 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 钟和 y 分钟，总收益为 z 元， x＋ y≤ 300， 由题意得约束条件为500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥ 0. 目标函数为 z＝ 3 000x＋2 000y. (2)模型求解． x＋ y≤ 300， 二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤ 900， x≥0， y≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图， 3 z 把 z＝ 3 000x＋2 000y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ 2 2 000 3 z ，在 y 轴上的截距为 的一组平行直线． 2 2 000
3.4.2《简单线性规划》课件(北师大版必修5)
所以 zmin＝4＋3＝7.
x＋3y≥12 线性约束条件x＋y≤10 3x＋y≥12 最小值．
下， z＝2x－y 的最大值和 求
• 先画出可行域，利用直线z＝2x－y的平移来
寻求最优解，最先或最后通过的可行域顶点 坐标即为最优解，它可以使目标函数取得最 大值或最小值．
[解题过程] 如图作出线性约 x＋3y≥12 束条件 x＋y≤10 3x＋y≥12
2 3 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求a＋b的最小值．
解析： 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分． 作直线l：ax＋by＝0(a＞0，b＞0)向 上平移直线l，目标函数z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的值随之增大．由图可知当直线l过 直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函 数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值为12，
1 1－－2
7 2 7 kQA＝ ＝ ＝ . 1－－1 2 4
3 7 故z＝2k∈4，2.
1 3－－2
y－b [题后感悟] 若目标函数为形如z＝ ，可考虑(a，b) x－a 与(x，y)两点连线的斜率． 若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与 (a，b)两点距离的平方．
x－y－2＝0， 2y－3＝0，
得C
7 3 ， 2 2
7 3 ，所以当x＝ 2 ，y＝ 2
7 3 29 2 ＋ 2＝ . 时，目标函数z取最大值，zmax＝ 2 2 2
3 13 综上，当x＝1，y＝2时，z的最小值为 4 . 7 3 29 当x＝2，y＝2时，z的最大值为 2 .
• [题后感悟] 这是一道线性规划的逆向思维
问题．解答此类问题必须明确线性目标函 数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．边界直线 斜率与目标函数斜率间的关系往往是解题 的关键．
2018学年高中数学北师大版必修5课件：3.4.2 简单线性规划 精品
[再练一题]
3．(2015·全国卷Ⅰ)若 x、y 满足约束条件xx－ －1y≤≥00，， x＋y－4≤0，
则yx的最大值为
________．
【解析】 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线 的斜率，
∴点(x，y)在点 A 处时yx最大． 由xx＋＝y1－，4＝0， 得yx＝＝31.， ∴A(1,3)． ∴yx的最大值为 3. 【答案】 3
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值．( ) (2)线性目标函数的最优解是唯一的．( ) (3)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴 上的截距．( )
【解析】 (1)最优解指的是使目标函数取得最值的可行解(x，y)． (2)最优解不一定唯一，可能有无穷多个． (3)z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上截距得 b 倍． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
[小组合作型]
求线性目标函数的最值
(2015·北京高考)若 x，y 满足xx－ ＋yy≤ ≤01， ， x≥0，
则 z＝x＋2y 的最大值为
() A．0
B．1C.32Fra bibliotekD．2
【精彩点拨】 作出可行域，观察目标函数何时取最小值．求出最优解代 入目标函数得最大值．
【尝试解答】 如图，先画出可行域，由于 z＝x＋2y，则 y＝－12x＋12z，令 z＝0，作直线 y＝－12x，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距 最大，z 取得最大值 2.
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我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
北师大版高中数学必修五课件§44.2简单线性规划
5x 6 y 30,
①
y 3x,
②
y
1.
③
求 z 2x y 的最小值和最大值。
可行域如图：
y
y 3x
1
y 1
x o
5x 6 y 30
问题转化为：
当点 (x, y) 在公共的平面区域中时，求 z 2x y 的最小值和最大值。
讨论当点 ( x, y) 在整个坐标平面上变化时， z 2x y 值的变化规律
1
3
z 4 2 1;
A
2
2
zB 4 2 2 0 8;
zC 4 3 2 1 10;
3
5
z 4 2 1.
D
2
2
4a 2b 0 a b 1
b
D
A
C B
o
ab 2
a
ab 4
ab 2
比较得到， z z 10; z z 1.
84 .
x 3
y
l1 : 4x 3y 12
D l : 4x 3y 0 0
2
A
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
由于直线 l 平行于直线 4x 3 y 12 ，因此当把直线 l 向上平移到 l 时，
0
0
1
l 与可行域的交点不止一个，而是线段 AD 上的所有点. 1
满足约束条件的解（x,y）叫可行解, 由所有可行解构成的集合，叫作可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解,叫作最优解.
例 6 设 x, y 满足约束条件
x 3,
高中数学 第一部分 第三章 §4 4.2 简单线性规划课件 北师大版必修5
目标函数的最优解一般在可行域的边界或顶点
处取得．由于最优解是通过图形来观察的，故作图
要准确，否则观察的结果可能有误．
[ 例 1]
(2011· 天津高考 ) 设变量 x ， y 满足约束条件
x≥1， x＋y－4≤0， x－3y＋4≤0， A．－4 4 C. 3
则目标函数 z＝3x－y 的最大值为 B． 0 D．4
第 三 章 不 等 式
§4 简 单 线 性 规 划
理解教材新知 4.2 简 单 线 性 规 划 考点一 把握热点考向 考点二
考点三
应用创新演练
§4
简单线性规划
4.2 简单线性规划
x－y＋5≥0， 已知不等式组x＋y＋1≥0， x≤3. 表示的平面区域如图所示
问题1：在平面区域中，点A、B、C的坐标分别是什么？
2 2
28 2 4 ＋ ＝ 3
2
928 . 9
928 故 x ＋y 的最小值为 18，最大值为 . 9
[一点通] 1．对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的目标函数 求最值的问题，可转化为求可行域内的点(x，y) 与点(a，b)间的距离的最值问题．
ay＋b 2．对形如 z＝ (ac≠0)的目标函数求最值的问 cx＋d b y－－a a 题，可先变形为 z＝c · d 的形式，再将问题转化为 x－－c b b a 求可行域内的点(x，y)与(－c ，－a)连线斜率的c 倍的最 值问题．
y y (1)令 z＝x，则 y＝zx.故求x 的最大值与最小值就是求不 等式组所表示的平面区域内 的点与原点连线的斜率的最 大值与最小值，由图易知， kOC 最小，kOA 最大．
x＋y－6＝0， 由 x＝4， x＝4， 得 y＝2.
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由于直线 l0 平行于直线 4 x 3 y 12 ， 因此当把直线 l0 向上平移到 l1 时，
l1 与可行域的交点不止一个，而是线段 AD 上的所有点.
顶点 C 为直线 4 x 3 y 36 与直线 y 4 的交点， 解方程组
y 4, 4 x 3 y 36.
可以求得顶点 C 的坐标为 12, 4 ．
x 3
y D
2
l1 : 4 x 3 y 12 l0 : 4 x 3 y 0
A
y 4 B
1 5 从而可得，zmin 2 1 ; 3 3 24 53 zmax 2 1 . 5 5
y
l0
y 3x
C
1
y 1
B
o
A
x
5 x 6 y 30
与前面例题类似，如果两个变量x,y满足一组一次不等 式，例如①②③，求这两个变量的一个线性函数（例如
z=zx+y）的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函
2
l1 : 4 x 3 y 12 l0 : 4 x 3 y 0
A
y 4 B
o
Cห้องสมุดไป่ตู้
x
4 x 3 y 36
令 z 0 ，作直线 l0 : 4 x 3 y 0 .
把直线 l0 向下平移时， 所对应的 z 4 x 3 y 的函数值随之减小， 即 z=-4x+3y-24 的函数值随之减小。所以，当直线 l0 经过可行域的顶点Ｃ时， z 4 x 3 y 取得 最小值，即 z 4 x 3 y 24 取得最小值.
确定区域步骤： 特殊点定域 直线定界 、____________ __________
原点定域 若C≠0，则 直线定界 _________、_________.
设 x, y 满足以下条件
5 x 6 y 30, y 3 x, y 1.
① ② ③
求 z 2 x y 的最小值和最大值。
顶点 D 为直线 4 x 3 y 12 与直线 4 x 3 y 36 的交点， 解方程组
y D4 x 3 y 12
4 x 3 y 12, 4 x 3 y 36.
l : 2x 3 y 0
4 2
A
y 4 B
可以求得顶点 D 的坐标为 3,8 ．
4.2
简单线性规划
1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、 可行域、最优解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单
的实际问题.
二元一次不等式表示的区域及判定方法： 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. _________________________________________
数为目标函数，称一次不等式组为约束条件,像这样的问 题叫作二元线性规划问题.
满足约束条件的解（x,y）叫可行解, 由所有可行解构成的集合，叫作可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解,叫作最优解.
例 6 设 x, y 满足约束条件
x 3, y 4, 4 x 3 y 12, 4 x 3 y 36.
o
C
x
此时，顶点Ｂ 3, 4 和顶点 D 3,8 为最优解．
4 x 3 y 36
x 3
所以
zmin 2 (3) 3 (4) 18, zmax 2 3 3 8 30.
（２） 作出可行域 （如图阴影部分） .
x 3
y D
可行域如图：
y
1
y 3x y 1
o
问题转化为：
x
5 x 6 y 30
当点 ( x, y ) 在公共的平面区域中时，求 z 2 x y 的最小值和最大值。
讨论当点 ( x, y ) 在整个坐标平面上变化时， z 2 x y 值的变化规律
y
直线 lo 向上平移时，所对应的 z 随之增大： 直线 lo 向下平移时，所对应的 z 随之减小.
o
x
l2 : 2 x y 4 l1 : 2 x y 2 l0 : 2 x y 0 l1 : 2 x y 1 : 2 x y 3 l2
如图可得，把直线 lo 向上平移过程中，
1 （ ,1 ） 直线与平面区域首先相交的顶点 A 所对应的 z 最小； 3 24 （ ,1 ） 最后相交的顶点 B 所对应的 z 最大． 5
令 z 0 ，作直线 l : 2 x 3 y 0 .
x 3
当把直线 l 向下平移时， 所对应的 z 2 x 3 y 的函数值随之减小， 所以，当直线 l 经过可行域的顶点 B 时， z 2 x 3 y 取得最小值.
顶点 B 为直线 x 3 与直线 y 4 的交点， 其坐标为 3, 4 ；
o
C
x
代入目标函数z=-4x+3y-24,得
4 x 3 y 36
zmin 4 12 3 (4) 24 84 .
x 3
y D
2
l1 : 4 x 3 y 12 l0 : 4 x 3 y 0
A
y 4 B
o
C
x
4 x 3 y 36
（1） 求目标函数 z 2 x 3 y 的最小值与最大值； （2） 求目标函数 z 4 x 3 y 24 的最小值与最大值；
解 （1）作出可行域（如图阴影 部分）.
l : 2x 3 y 0
4
y
D
4 x 3 y 12
A
y 4 B
2
o
C
x
4 x 3 y 36
y
4 2
D
4 x 3 y 12
l : 2x 3 y 0
A
y 4 B
o
C
x
4 x 3 y 36
x 3
当把直线 l 向上平移时，所对应的 z 2 x 3 y 的函数值随之增大， 所以，当直线 l 经过可行域的顶点 D 时， z 2 x 3 y 取得最大值.