河南省新乡一中学2024届八上数学期末综合测试试题含解析

河南省新乡一中学2024届八上数学期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB AC 、于点D E 、若54AB AC ==，，则ADE ∆的周长为（ ）
A ．9
B ．15
C ．17
D ．20
2．已知不等式组1113x a x -<-
⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
3．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21
a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：
21113138⊗==--．则方程()2
214⊗-=--x x 的解是（ ）
A ．4x =
B ．5x =
C ．6x =
D ．7x =
4．如图，已知AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
5．点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于4，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A ．4PQ > B ．4PQ ≥ C ．4PQ < D ． 4PQ ≤
6．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知23a b =且2a ≠，那么15a b a b -++-等于（ ） A ．0 B ．15- C ．15
D ．没有意义 8．点M （1，2）关于y 轴对称点的坐标为（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，﹣2） C ．（1，﹣2） D ．（2，﹣1）
9．满足下列条件时，ABC 不是直角三角形的是（ ）
A ．41A
B =，4B
C =，5AC = B ．::3:4:5AB BC AC =
C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．22A B C ∠=∠=∠ 10．在△ABC 中和△DEF 中，已知BC=EF ，∠C=∠F ，增加下列条件后还不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AC=DF B ．∠B=∠
E C ．∠A=∠D D ．AB=DE
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在Rt △ABC 中，
平分交BC 于D 点，E ，F 分别是上
的动点，则的最小值为__________．
12．在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-4,2),若以A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形,则点D 的坐标为
________________．
13．已知关于的方程4333k x x x
-+=--有增根，则k 的值是__________． 14．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
15．在Rt ABC ∆中，Rt C ∠=∠，1BC =，2AC =，则AB =________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （2，1）、B （4，1）、C （1，3）．若△ABC 与△ABD 全等，则点D 坐标为
_____．
17．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =28°，则∠C =______．
18．如图，已知点()0,1A ．规定“把点A 先作关于x 轴对称，再向左平移1个单位”为一次变化．经过第一次变换后，点A 的坐标为_______；经过第二次变换后，点A 的坐标为_____；那么连续经过2019次变换后，点A 的坐标为_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，ABC ∆为等边三角形，D 为AC 上的一个动点，E 为BC 延长线上一点，且BD DE =．
（1）当D 是AC 的中点时，求证：AD CE =．
（2）如图1，若点D 在边AC 上，猜想线段AD 与CE 之间的关系，并说明理由．
（3）如图2，若点D 在AC 的延长线上，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
20．（6分）如图所示、△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°
，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；
（2）若AD=1，BD=2，求CD 的长．
21．（6分）计算：
（1）4﹣38
（2）（2-1）0﹣|1﹣23|(3)+-
22．（8分）已知在一个多边形中，除去一个内角外，其余内角和的度数是1125°，求这个多边形的边数．
23．（8分）已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
24．（8分）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．请解答下列问题：
（1）图中与∠DBE相等的角有：；（2）直接写出BE和CD的数量关系；
（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝1
2
∠C，DE
与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．
25．（10分）如图，四边形ABCD中，AC=5，AB=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．
（1）求BC边的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
26．（10分）建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BE C．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.
模型应用：
(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN ＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】由B 与C ∠的平分线交于点O ，DE ∥BC ，可得：DB=DO ，EO=EC ，进而即可求解．
【题目详解】∵BO 是∠ABC 的平分线，
∴∠OBC=∠DBO ，
∵DE //BC ，
∴∠OBC=∠DOB ，
∴∠DBO=∠DOB ，
∴DB=DO ，
同理：EO=EC ，
∴ADE ∆的周长=AD+AE+DO+EO= AD+AE+DB+EC=AB+AC=5+4=1．
故选A ．
【题目点拨】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键．
2、D
【分析】首先解不等式组，求得其解集，又由数轴知该不等式组有3个整数解即可得到关于a 的方程，解方程即可求得a 的值． 【题目详解】解：∵1113
x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩， 解不等式1x a -<-得：1x a <-， 解不等式113
x -≤得：2x ≥-， ∴不等式组的解集为：21x a -≤<-，
由数轴知该不等式组有3个整数解，
所以这3个整数解为-2、-1、0，
则11a -=，
解得：2a =，
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3、B
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【题目详解】解：211(2)(2)4
x x x ⊗-==--- ∴方程表达为：
12144
x x =--- 解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的解，
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法． 4、C
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD ＝70°，由平行线的性质可求解．
【题目详解】∵AD ＝CD ，∠1＝40°，
∴∠ACD ＝70°，
∵AB ∥CD ，
∴∠2＝∠ACD ＝70°，
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
5、B
【分析】根据角平分线的性质可知点P 到OB 边的距离等于4，再根据点到直线的距离垂线段最短即可得出结论．
【题目详解】解：∵点P 在∠AOB 的平分线上，
∴点P 到OA 边的距离等于点P 到OB 边的距离等于4，
∵点Q 是OB 边上的任意一点，
∴4PQ ≥（点到直线的距离，垂线段最短）．
【题目点拨】
本题考查角平分线的性质，点到直线的距离．理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键．
6、A
【解题分析】试题分析：根据轴对称图形的定义作答．
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：根据轴对称图形的概念，可知只有A 沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．
故选A ．
考点：轴对称图形．
7、B
【分析】根据a 、b 的比例关系式，用未知数表示出a 、b 的值，然后根据分式的基本性质把a 、b 的值代入化简即可．
【题目详解】解:设()2, 30,1 a k b k k ==≠, 则原式231235k k k k -++-()()
11515k k --==--， 故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了分式的基本性质，利用分式的性质进行化简时必须注意所乘的(或所除的)整式不为零．
8、A
【分析】关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.
【题目详解】点M （1，2）关于y 轴对称点的坐标为(－1，2)
【题目点拨】
本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，牢记关于坐标轴对称的点的性质是解题的关键.
9、C
【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【题目详解】A
、2224+5符合勾股定理的逆定理，故A 选项是直角三角形，不符合题意；
B 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B 选项是直角三角形，不符合题意；
C 、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，故C 选项不是直角三角形，符合题意；
D 、根据三角形内角和定理，求得各角分别为90°，45°，45°，故D 选项是直角三角形，不符合题意.
故选：C.
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10、D
【解题分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理进行判断即可.
【题目详解】解：如图：
A, 根据SAS 即可推出△ABC≌△DEF,;
B. 根据ASA即可推出△ABC≌△DEF
C.根据AAS即可推出△ABC≌△DEF;
D, 不能推出△ABC≌△DEF;
故选D.
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定的应用, 注意: 全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】利用勾股定理先求出BA，再求到CH，由垂线段最短可得解.
【题目详解】如图，在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10，CH=．
∵EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为．
故答案为．
12、 (-3,0)或(5,0)或(-5,4)
【解题分析】根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质、A、B、C的坐标求出即可．【题目详解】解：
如图有三种情况：①平行四边形AD1CB，
∵A（1，0），B（ 0，2），C（-4，2），
∴AD1=BC=4，OD1=3，
则D的坐标是（-3，0）；
②平行四边形AD2BC，
∵A（1，0），B（ 0，2），C（-4，2），
∴AD2=BC=4，OD2=1+4=5，
则D的坐标是（5，0）；
③平行四边形ACD3B，
∵A（1，0），B（ 0，2），C（-4，2），
∴D3的纵坐标是2+2=4，横坐标是-（4+1）=-5，
则D的坐标是（-5，4），
故答案为（-3，0）或（5，0）或（-5，4）．
【题目点拨】
本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．
13、1
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，求出增根为x=3，再将分式方程化为整式方程，然后将x=3代入整式方程即可求出k的值．
【题目详解】解：∵原方程有增根，
∴x-3=0，
解得x=3，
方程两边都乘以（x-3），得
k+3（x-3）=4-x，
把x=3代入k+3（x-3）=4-x中，得
k=4-3=1．
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了分式方程无解（有增根）问题，依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤 ：①由题意求出增根；② 将分式方程转化为整式方程；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值．注意①和②的顺序可以颠倒．
14、49
【分析】先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【题目详解】∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【题目点拨】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
15【分析】根据勾股定理直接求出AB 长即可.
【题目详解】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴，
【题目点拨】
本题是对勾股定理的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.
16、（1，﹣1），（5，3）或（5，﹣1）．
【解题分析】试题分析：首先画出平面直角坐标系，然后根据三角形全等的性质进行求解.
考点：三角形全等的应用.
17、38°
【解题分析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算．
【题目详解】∵AB=AD=DC ，∠BAD=28°
∴∠B=∠ADB=（180°
-28°）÷2=76°．
∴∠C=∠CAD=76°
÷2=38°． 故答案为38°
． 【题目点拨】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键．
18、(1,1)-- (2,1)- (2019,1)--
【分析】根据轴对称判断出点A 关于x 轴对称后的位置，此时横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后再向左平移1个单位长度便可得到第一次变换后的点A 的坐标；按照同样的方式可以找到第二次变换后的点A 的坐标；然后再通过比较横纵坐标的数值，可以发现点A 在每一次变换后的规律，即可求出经过2019次变换后的点A 的坐标．
【题目详解】点A 原来的位置（0,1）
第一次变换： ()()0, 11,1→-→--（
0，1），此时A 坐标为(1,1)--； 第二次变换： →→（-1,-1）(-1,1)(-2,1)，此时A 坐标为(2,1)-
第三次变换： (2,1)-→
→（-2,-1）(-3,-1)，此时A 坐标为(3,1)-- ……
第n 次变换：点A 坐标为(,(1))n n --
所以第2019次变换后的点A 的坐标为(2019,1)--．
故答案为：(1,1)--；(2,1)-；(2019,1)--
【题目点拨】
本题考查的知识点是轴对称及平移的相关知识，平面直角坐标系中四个象限的点的横、纵坐标的符号是解题中的易错点，必须特别注意.
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）AD CE =，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AD CD =，30DBC ∠=︒，然后根据等边对等角可得30DBC E ∠=∠=︒，从而求出30∠=︒CDE ，然后利用等角对等边即可证出CD CE =，从而证出结论；
（2）过点D 作//DP BC ，交AB 于点P ，根据等边三角形的判定APD ∆也是等边三角形，然后利用AAS 即可证出BPD DCE ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得PD CE =，从而证出结论；
（3）过点D 作//DP BC ，交AB 的延长线于点P ,根据等边三角形的判定APD ∆也是等边三角形，然后利用AAS 即可证出BPD DCE ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得PD CE =，从而证出结论；
【题目详解】（1）证明：∵ABC ∆为等边三角形，D 是AC 的中点，
∴AD CD =，30DBC ∠=︒．
∵BD DE =，
∴30DBC E ∠=∠=︒．
∵60ACB E CDE ∠=∠+∠=︒，
∴30∠=︒CDE ，
∴CD CE =，
∴AD CE =．
（2）AD CE =．
理由：如图，过点D 作//DP BC ，交AB 于点P ．
∵ABC ∆是等边三角形，
∴APD ∆也是等边三角形，
∴AP PD AD ==，60APD ABC ACB ∠=∠=∠=︒．
∵DB DE =，
∴DBC DEC ∠=∠．
∵//DP BC ，
∴PDB CBD ∠=∠，
∴PDB DEC ∠=∠．
又∵120BPD A ADP ︒∠=∠+∠=，120DCE A ABC ︒∠=∠+∠=，
∴BPD DCE ∠=∠．
在BPD ∆和DCE ∆中，
PDB DEC BPD DCE DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD DCE ∆∆≌，
∴PD CE =，
∴AD CE =．
（3）如图，过点D 作//DP BC ，交AB 的延长线于点P ．
∵ABC ∆是等边三角形，
∴APD ∆也是等边三角形，
∴AP PD AD ==，60APD ABC ACB PDC ∠=∠=∠=∠=︒．
∵DB DE =，
∴DBC DEC ∠=∠．
∵//DP BC ，
∴PDB CBD ∠=∠，
∴PDB DEC ∠=∠，
在BPD ∆和DCE ∆中，
PDB DEC P DCE
DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD DCE ∆∆≌，
∴PD CE =，
∴AD CE =．
【题目点拨】
此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解决此题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）CD 5
【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC ，又因为△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则△AOC ≌△BOD ；
（2）由（1）可知△AOC ≌△BOD ，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则2222215CD AC AD =+=+=
【题目详解】（1）证明：∵∠DOB=90°
-∠AOD ，∠AOC=90°-∠AOD ， ∴∠BOD=∠AOC ，
又∵OC=OD ，OA=OB ，
在△AOC 和△BOD 中，
OC OD AOC BOD OA OB ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝
∴△AOC ≌△BOD （SAS ）；
（2）解：∵△AOC ≌△BOD ，
∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，
∴CD ===21、（1）0；（2）5
【分析】（1）先求算术平方根与立方根，再进行减法运算，即可；
（2）先求零次幂，绝对值和算术平方根，再进行加减法运算，即可求解．
【题目详解】（1）原式＝2﹣2
＝0；
（2）原式＝1+（1
+3
＝5
【题目点拨】
本题主要考查实数的混合运算，掌握求算术平方根，立方根，零次幂是解题的关键．
22、9
【分析】根据多边形的内角和公式列出关于边数的方程，再由减去的内角的范围结合不等式来分析即可得出结果．
【题目详解】设这个多边形的边数为x ，这个内角为α，根据题意，
得()21801125αx -⋅=+，
()2?1801125x α=-︒-︒
由0α180<<︒，
解得：8.259.25x <<．
则该多边形边数是9．
【题目点拨】
本体考查多边形的内角和及运用不等式求解，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
23、（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【题目详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角，
∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；
第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，
综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【题目点拨】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
24、（1）∠ACE 和∠BCD ；
（2）BE ＝12
CD ； （3）BE ＝12DF ，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠DBE ＝∠ACE ，根据角平分线的定义得到∠BCD ＝∠ACE ，得到答案； （2）延长BE 交CA 延长线于F ，证明△CEF ≌△CEB ，得到FE ＝BE ，证明△ACD ≌△ABF ，得到CD ＝BF ，证明结论；
（3）过点D 作DG ∥CA ，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，分别证明△BGH ≌△DFH 、△BDE ≌△GDE ，根据全等三角形的性质解答即可．
【题目详解】解：（1）∵BE ⊥CD ，
∴∠E ＝90°，
∴∠E ＝∠BAC ，又∠EDB ＝∠ADC ，
∴∠DBE ＝∠ACE ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
∴∠DBE ＝∠BCD ，
故答案为：∠ACE 和∠BCD ；
（2）延长BE 交CA 延长线于F ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠FCE ＝∠BCE ，
在△CEF 和△CEB 中，
FCE BCE CE CE
CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△CEF ≌△CEB （ASA ），
∴FE ＝BE ，
在△ACD 和△ABF 中，
CAD BAF 90︒⎪∠=∠=⎩
∴△ACD ≌△ABF （ASA ），
∴CD ＝BF ，
∴BE ＝12
CD ； （3）BE ＝12DF 证明：过点D 作DG ∥CA ，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，
∵DG ∥AC ，
∴∠GDB ＝∠C ，∠BHD ＝∠A ＝90°，
∵∠EDB ＝
12
∠C ， ∴∠EDB ＝∠EDG ＝12∠C ， ∵BE ⊥ED ，
∴∠BED ＝90°，
∴∠BED ＝∠BHD ，
∵∠EFB ＝∠HFD ，
∴∠EBF ＝∠HDF ，
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠C ＝∠ABC ＝45°，
∵GD ∥AC ，
∴∠GDB ＝∠C ＝45°，
∴∠GDB ＝∠ABC ＝45°，
∴BH ＝DH ，
在△BGH 和△DFH 中，
BHG DHF 90︒⎪∠=∠=⎩
∴△BGH ≌△DFH （ASA ）
∴BG ＝DF ，
∵在△BDE 和△GDE 中，
BDE GDE DE DE
BED GED 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△BDE ≌△GDE （ASA ）
∴BE ＝EG ，
∴BE ＝11BG DP 22
=． 【题目点拨】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的意义，三角形全等的判定和性质等相关知识，解决本题的关键是：①熟练掌握三角形内角和定理，理清角与角之间存在的关系；②正确理解角平分线的性质③熟练掌握三角形全等的判定方法。

25、（1）3；（2）1．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BC 的长度；
（2）根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 是直角三角形，四边形ABCD 的面积等于△ABC 和△ACD 的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可．
【题目详解】解：（1）∵∠ABC=90°，AC=5，AB=4
∴
BC= 3=，
（2）在△ACD 中，AC 2+CD 2= 52+122=169
AD 2 =132=169，
∴AC 2+CD 2= AD 2,
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠ACD=90°；
由图形可知：S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =
12AB•BC+ 12AC•CD ， = 12×3×4+ 12
×5×12， =1．
【题目点拨】
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状是解答此题的关键．
26、（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、2022(,)33
. 【分析】（1）①过C 作CD 垂直于x 轴构造“一线三垂直”，再根据全等三角形的性质求解即可；②点C 有四处，分别作出图形，根据“一线三垂直”或对称求解即可；（2）当点G 为直角顶点时，分点G 在矩形MFNO 的内部与外部两种情况构造“一线三垂直”求解即可．
【题目详解】（1）①如图，过C 作CD 垂直于x 轴，
根据“一线三垂直”可得△AOB ≌△BDC ，∴AO=BD ，OB=CD ，
∵点A （0，4)，点B (3，0），∴AO=4，OB=3 ，
∴OD=3+4=7，
∴点C 的坐标为（7,3）；
②如图，若AB 为直角边，点C 的位置可有4处，
a 、若点C 在①的位置处，则点C 的坐标为（7,3）；
b 、若点C 在1C 的位置处，同理可得，则点1C 的坐标为（4,7）；
c 、若点C 在2C 的位置处，则1C 、1C 关于点A 对称，
∵点A （0，4)，点1C （4,7），∴点2C 的坐标为（-4,1）；
d 、若点C 在3C 的位置处，则3C 、C 关于点B 对称，
∵点B (3，0），点C （7,3），∴点3C 的坐标为（-1,-3）；
综上，点C 的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；
（2）当点G 位于直线y=2x-6上时，分两种情况：
①当点G 在矩形MFNO 的内部时，如图，过G 作x 轴的平行线AB ，交y 轴于A ，交直线NF 于点B ，设G （x ，2x-6）；
则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；
则△MAG≌△GBP，得AM =BG，
即：12-2x=8-x，解得x=4，
∴G（4，2）；
当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF的延长线于点B，设G（x，2x-6）；
则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；
则△MAG≌△GBP，得AM =BG，
即：2x-12=8-x，解得
20
3
x ，
∴G
2022 (,) 33
；
综上，G点的坐标为（4，2）、
2022 (,) 33
.
【题目点拨】
本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．。