高中数学第二章平面向量2.1.1平面向量的实际背景及基本概念aa高一数学

已知两个非零向量(xiàngliàng)a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫 做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O
当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
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A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们(wǒ men)学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
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作1、 业(zu若 òyè|)：a||b|1,ab且2a3b与ka4b也 互 2、相 设 a是 垂非 直 k零 的 ，向 值 求量 。 b， c,求 且证：
abaca(bc)
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3、用向量(xiàngliàng)方法证明：直径所对的圆 周角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
=2
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a·b的几何(jǐ hé)意义：
bB
(3 )当 a 与 b 同向 a b |a 时 |b ||;
θ
O
A
B1 a
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b ||;，
特别(tèbié) 地
(4)cos
aa|a|2
ab | a||b|
或|a|
aa
a2
(5 )|ab| |a|b | |
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例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 (jiā jiǎo)θ=120°，求a·b。
证明(zhèngmíng)：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
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例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明(zhèngmíng)：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋
别是OM、MN、 ON, a a+b
则 (a + b) ·c = ON |c|
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
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例 3：求证(qiúzhèng)：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
数量(shùliàng)积的运算律：
(1)ab
ba
(2)(a)b
(ab)
a(b)
(3)(ab)c acbc
其注中：，a(a 、 b b)、 c c是a 任(b 意c 三)个向量，R
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证明(zhèngmíng)运算律(3)
向量a、b、a + b在c
b
上的射影(shèyǐng)的数量分
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再见(zàijiàn)
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内容(nèiróng)总结
2.1.1《平面向量的 物理背景及其含义》。2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。量，记作λa，它的长度和方向规定如下：。
No 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反。当θ＝90°时，称a与b垂直，。我们学过功的概念(gàiniàn)，即一个物体在
力F的作用下产生位移s（如图）。从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念(gàiniàn)。注意：向量 的数量积是一个数量。当90°＜θ ≤180°时a·b为负。平面向量的数量积的运算律：。再见
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12/12/2021
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2.4.1 平面向量数量积的物理(wùlǐ)背景及其 含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标(zuòbiāo)表示、模、 夹角
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定义 ： (dìngyì)
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度(chángdù)和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
• 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养(péiyǎng)学生认识客 观事物的数学本质的能力.
• 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共 线向量的概念，会表示向量.
• 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
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平面向量 的数量积 (xiàngliàng)
为⊙O上任意(rènyì)一点。求证∠ACB=90°
A 分析(fēnxī)：要证∠ACB=90°，只须证向
量AC CB，即 ACCB。0
B O
解：设 AOa,OCb
则 AC a b, CB a ，b
由此可得： ACCBabab
a2b2 |a| 2|b| 2 r2 r2 0
即 ACCB0 ，∠ACB=90°
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算(jìsuàn) W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发(chūfā)，我们引入向量 “数量积”的概念。
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定
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做
a与b的数量积（或内积），记作a·b
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
ab等于
a的长度
|
a
|与
b在a方向上的投
|b|cos的乘积。
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练习 ： (liànxí)
1．若a =0，则对任一向量(xiàngliàng)b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量(xiàngliàng)b ,有a ·b≠0． ×
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
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a单b 位设 | 向a a量| 、 | b ，b| 是c 是 o s 非 a与 零(( 向1 2 e) )e 量a 的 a ， 夹e b 角是 a ，e 则a 与 b|b a 方 |向c 0 相o 同的s
a·b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫做 (jiàozuò)向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
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思考 ： (sīkǎo)
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0 ×
4．若a ·b=0，则a ·b中至少有一个为0． ×
5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c ×
6．若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成
立．
×
7．对任意向量 a 有 a2 |a|2 √
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平面向量的数量(shùliàng)积的运b ＝a2－b2.
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a b ab 例4、 已 知 || 6 , || 4 , 与 的夹角为
60o ,
a ba b 求 （ 2 ) ( 3 ) 。
解:
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例 5 .已 知 |a| 3 ,|b| 4 ,当 且 仅 当 k 为 何 值 时 ， 向 量 a k b 与 a k b 互 相 垂 直 ？
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
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运算律： 设a,b为任意向量，λ,μ为
任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
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向量 的夹角 (xiàngliàng)
2.1.1《平面向量 的 (xiàngliàng) 物理背景及其含义》
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教学 目标 (jiāo xué)
• 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线 向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
• 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区 别.