江苏省苏州市2016届高三上学期期末数学试卷 含解析

2016年江苏省苏州市高考数学一模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．设全集U={x｜x≥2，x∈N}．集合A={x|x2≥5，x∈N}，则∁U A=______．
2．复数z=（a＜0),其中i为虚数单位,|z｜=，则a的值为______．
3．双曲线的离心率为______．
4．若一组样本数据9，8，x,10，11的平均数为10,则该组样本数据的方差为______．5．己知向量=（l，2)，=（x，﹣2)，且丄（﹣）,则实数x=______．
6．阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为______
7．函数f（x)=的值域为______．
8．连续2次抛掷﹣枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3,4,5，6）．则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为______．
9．将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1+r2+r3=______．
10．已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=______．
11．己知{a n}是等差数列,a5=15,a10=﹣10，记数列｛a n}的第n项到第n+5顶的和为T n；，则|T n|取得最小值时的n的值为______．
12．若直线l1:y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1)2+（y﹣2)2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2=______．
13．己知函数f（x）=|sinx丨一kx（x≥0,k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0,则
=______．
14．已知ab=，a,b∈（0，1），则+的最小值为______．
二、解答题：本大题共6小题，满分90分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，且满足=2cosC．
（1）求角C的大小；
（2)若△ABC的面积为2，a+b=6，求边c的长．
16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別AB，BC的中点，A1C1与B1D1
交于点O．
（1)求证：A1，C1，F,E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD丄平面A1C1FE．
17．图1是一段半圆柱形水渠的直观图,其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点,坝宽AB为2米．
（1)当渠中水深CD为0。

4米时，求水面的宽度；
(2）若把这条水渠改挖(不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
18．如图，已知椭圆O: +y2=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点
P是直线l：y=﹣2上的一个动点（与y轴交点除外）,直线PC交椭圆于另一点M．
（1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积；
（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1•k2为定值；
②求•的取值范围．
19．已知数列{a n｝满足：a1=，a n+1﹣a n=p•3n﹣1﹣nq，n∈N＊，p，q∈R．
（1)若q=0,且数列{a n｝为等比数列,求p的值；
（2)若p=1，且a4为数列｛a n}的最小项，求q的取值范围．
20．己知函数f（x）=e x(2x﹣1）﹣ax+a(a∈R），e为自然对数的底数．
(1）当a=1时，求函数f(x）的单调区间；
（2)①若存在实数x，满足f(x)＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．
选做题[选修4-1:几何证明选讲]
21．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．
(I）求证：∠EAC=2∠DCE;
(Ⅱ)若BD⊥AB,BC=BE，AE=2，求AB的长．
［选修4-4：坐标系与参数方程]
22．选修4﹣2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量=，并且M对应的变换将点（﹣1，2)变换成(9，15)，求矩阵M．
［选修4—4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是（t为参数），在以坐标原点
O为极点，x轴的正半轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．
［选修4-5：不等式选讲］
24．设函数f(x）=|x+｜+｜x﹣a｜（a＞0）．
（Ⅰ)证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f(3)＜5,求a的取值范围．
[必做题。

］第25、26题，每小题0分，共20分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
25．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后,对该店铺中的A，B,C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的槪率为，购买C种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立
（1）求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．
26．如图,由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推,第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1,x2，…x k，其中x i∈｛0，1｝（1≤i≤k)，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x0；
(1）当k=4时，若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
(2）当k=11时，若要求x0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？
2016年江苏省苏州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．设全集U={x|x≥2，x∈N｝．集合A=｛x｜x2≥5，x∈N}，则∁U A={2} ．
【考点】补集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U=｛x|x≥2，x∈N｝，A=｛x｜x2≥5，x∈N｝=｛x|x＞,x∈N}，∴∁U A=｛x｜2≤x≤，x∈N｝=｛2｝，
故答案为：｛2}．
2．复数z=（a＜0），其中i为虚数单位，｜z|=，则a的值为﹣5．
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z===，
∵｜z｜=，
∴=，化为:a2=25，（a＜0)．
解得a=﹣5．
故答案为：﹣5．
3．双曲线的离心率为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据事务性的方程可得a，b,c的数值，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解：因为双曲线的方程为，
所以a2=4，a=2，b2=5，
所以c2=9，c=3，
所以离心率e=．
故答案为．
4．若一组样本数据9，8,x,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为2．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】由已知条件先求出x，再利用方差公式求出该组样本数据的方差．
【解答】解：∵一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，
∴（9+8+x+10+11）=10，
解得x=12，
∴该组样本数据的方差S2= [(9﹣10)2+（8﹣10)2+（12﹣10）2+（10﹣10）2+(11﹣10）2]=2．故答案为：2．
5．己知向量=（l，2）,=（x,﹣2)，且丄（﹣），则实数x=9．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量的垂直关系，通过数量积求解即可．
【解答】解：向量=(l，2)，=（x，﹣2)，且丄（﹣），
可得（1,2）•（1﹣x，4）=0．即9﹣x=0,解得x=9．
故答案为：9．
6．阅读算法流程图，运行相应的程序,输出的结果为
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量z，y的值，并输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过
程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果．
【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示：
是否继续循环x y z
循环前/1 1 2
第一圈是 1 2 3
第二圈是 2 3 5
第三圈是 3 5 8
第六圈否
此时可得：=．
故答案为：．
7．函数f（x）=的值域为（﹣∞,1］．
【考点】函数的值域．
【分析】按分段函数分段求f（x）的取值范围,从而解得．
【解答】解：∵x≤0，
∴0＜f（x)=2x≤1，
∵x＞0，
∴f(x)=﹣x2+1＜1，
综上所述,f(x）≤1，
故答案为：(﹣∞，1］．
8．连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2,3，4，5，6）．则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5,6），先求出基本事件总数，再用列举法求出事件“两次向上的数字之和等于7”包含的基本事件的个数,由此能求出事件“两次向上的数字之和等于7”的概率．
【解答】解：连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2,3，4，5,6），
基本事件总数n=6×6=36，
事件“两次向上的数字之和等于7”，有：
（1，6），(6，1），(2，5）,(5，2），(3，4），（4，3），共6个,
∴事件“两次向上的数字之和等于7”的概率p===．
故答案为：．
9．将半径为5的圆分割成面积之比为1：2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2,r3，则r1+r2+r3=5．
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据已知,分别计算出r1，r2，r3,进而得到答案．
【解答】解：将半径为5的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，∴则2πr1=，
∴r1=×5，
同理：r2=×5，
r3=×5，
∴r1+r2+r3=（++）×5=5,
故答案为：5．
10．已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣,则sinθ+cosθ=﹣．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由已知得sin2θ+cos2θ=(2cosθ﹣）2+cos2θ=1，由此求出cosθ，进而求出sinθ,由此能求出结果．
【解答】解：∵θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，
∴sin2θ+cos2θ=（2cosθ﹣）2+cos2θ=1，
解得cosθ=﹣或cosθ=，（舍)
∴sinθ=﹣=﹣，
∴sinθ+cosθ=﹣．
故答案为:﹣．
11．己知｛a n｝是等差数列，a5=15，a10=﹣10，记数列{a n}的第n项到第n+5顶的和为T n；，则|T n｜取得最小值时的n的值为5或6．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列通项公式求出a n,a n+5，然后由前n项和公式可求得T n，根据其表达式由绝对值的最小值可得答案．
【解答】解：由a5=15，a10=﹣10,
公差d===﹣5，
则a n=a5+（﹣5）（n﹣5）=40﹣5n,
a n+5=40﹣5（n+5)=15﹣5n，
所以和T n==165﹣30n,
当n=5.5时,｜T n｜=0,
由于n为整数，所以n应取5或6，
|T n|取得最小值0．
故答案为：5或6．
12．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆(x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2=18．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心C到直线l1:y=x+a或l2:y=x+b
的距离相等，且为2，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：∵直线l1:y=x+a和直线l2：y=x+b为平行线,
∴若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1)2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则圆心为C（1，2），半径为=2，
则圆心C到直线l1:y=x+a或l2：y=x+b的距离相等,且为2，
即d===2，
即|a﹣1|=2，
则a=2+1或a=1﹣2，
即a=2+1，b=1﹣2或b=2+1，a=1﹣2,
则a2+b2=（2+1）2+（1﹣2)2=9+4+9﹣4=18，
故答案为：18
13．己知函数f（x）=|sinx丨一kx（x≥0，k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则
=．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作函数y=｜sinx｜与y=kx的图象，从而可得x0∈（π，2π），y0=﹣sinx0，y′=﹣cosx，
从而可得x0=,从而化简即可．
【解答】解:作函数y=｜sinx|与y=kx的图象如下，
结合图象可知，x0∈（π，2π）,
此时，y0=﹣sinx0，y′=﹣cosx，
故=﹣cosx0，故x0=,
故=
==;
故答案为:．
14．已知ab=,a，b∈（0，1），则+的最小值为4+．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】先根据条件消掉b，即将b=代入原式得+,再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值．
【解答】解:因为ab=,所以，b=,
因此, +=+
=+=+
=++2=2（+)+2
=(+）［（4a﹣1）+（4﹣4a）]+2
= [1+2++］+2
≥(3+2）+2=4+,
当且仅当：a=，取“=”,
即, +的最小值为：4+，
故答案为：4+．
二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．在△ABC中,三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=2cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为2，a+b=6,求边c的长．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由已知及余弦定理可得：=1，可求cosC=，结合范围C∈（0，
π）可求C的值．
(2)利用三角形面积公式可得ab=8，又a+b=6，利用余弦定理即可求值得解．
【解答】解：（1)由余弦定理可得：acosB+bcosA=a×+b×
==c，…3分
∴=1,
∴cosC=，
又∵C∈（0,π），C=…7分
（2）∵S△ABC=absinC=2,∴ab=8，…10分
又∵a+b=6,
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b)2﹣3ab=12，…13分
∴c=2…14分
16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,E，F分別AB，BC的中点,A1C1与B1D1交于点O．
(1）求证：A1,C1，F,E四点共面；
(2）若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E，求证：OD丄平面A1C1FE．
【考点】直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论．
【分析】（1)连接AC，由EF是△ABC的中位线,可得EF∥AC，又AA1CC1，可证AC∥A1C1，从而可证EF∥A1C1,即A1，C1，F，E四点共面；
(2）连接BD，可证DD1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，可证A1C1⊥平面BB1DD1,可得OD⊥A1C1，结合OD⊥A1E，即可证明OD⊥平面A1C1FE．
【解答】（本题满分为14分)
解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC，
由直棱柱知：AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，…5分
所以EF∥A1C1，
故A1,C1，F，E四点共面；…7分，
(2)连接BD,因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1,
所以DD1⊥A1C1，
因为底面A1B1C1D1是菱形,所以A1C1⊥B1D1,
又DD1∩B1D1=D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1,…11分
因为OD⊂平面BB1DD1，
所以OD⊥A1C1,
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E=A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，
所以OD⊥平面A1C1FE…14分
17．图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点,坝宽AB为2米．
（1）当渠中水深CD为0。

4米时，求水面的宽度；
（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面平行,则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1)以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xoy，推导出半圆的半径为1米，求出半圆的方程、OD、DM，由此能求出水面的宽度．
（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，由此利用切线方程、导数性质能求出当渠底宽为米时，所挖的土最少．
【解答】解：（1)以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，
∵AB=2米,∴半圆的半径为1米,
则半圆的方程为x2+y2=1，（﹣1≤x≤1，y≤0)，
∵水深CD=0.4米，∴OD=0。

6米，
在Rt△ODM，DM===0。

8（米）,
∴MN=2DM=1.6米，
∴水面的宽度为1。

6米．
(2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，
设切点为P（cosθ，sinθ），(﹣＜θ＜0）为圆弧BC上的一点，
过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE,得切线EF的方程为xcosθ+ysinθ=1,
令y=0，得E（，0）,令y=﹣1，得F（，﹣1）,
设直线梯形OCFE的面积为S，
则S=(CF+OE)•OC=（+）×1=，（﹣＜θ＜0），
S′==，
令S′=0，解得θ=﹣，
当﹣时，S′＜0,函数单调递减；当﹣＜θ＜0时,S′＞0，函数单调递增．∴时，面积S取得最小值，最小值为，
此时CF==，
即当渠底宽为米时，所挖的土最少．
18．如图,已知椭圆O： +y2=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点
P是直线l:y=﹣2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积;
(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2,求证：k1•k2为定值；
②求•的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
【分析】(1）求得椭圆的a，b，c，可得B，C，F的坐标，求得PM的方程代入椭圆方程，可得M,再由BF的方程,求得M到直线BF的距离，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值；
（2）①设P(m，﹣2）（m≠0)，求得PM的方程,代入椭圆方程求得M的坐标，运用直线的斜率公式计算即可得到k1•k2为定值;
②求得向量PB，PM的坐标，运用向量的数量积的坐标表示,可得•=，令t=4+m2＞4，由函数的单调性，可得所求范围．
【解答】解:（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=2，b=1，c=，
即有B（0，1）,C（0，﹣1），F（，0），
直线PM： +=1,即为y=x﹣1，
代入椭圆方程可得，M（，），
连接BF，可得BF： +y=1,即为x+y﹣=0，
而BF=a=2，M到直线BF的距离为d==，
即有S△MBF=BF•d=•2•=;
(2）①设P（m,﹣2）（m≠0），k PM==﹣,
PM：y=﹣x﹣1,代入椭圆方程可得（4+m2）x2+8mx=0，
解得M（﹣,），k1==m，k2==﹣，
则k1k2=m•(﹣)=﹣为定值；
②由①知，=(﹣m,3），=（﹣﹣m， +2）=（﹣,），
•=﹣m•(﹣）+3•=，
令t=4+m2＞4，即有•==t﹣+7，
由y=t﹣+7在（4，+∞)单调递增，则•=t﹣+7＞4﹣+7=9,
故•的取值范围为（9，+∞）．
19．已知数列｛a n}满足：a1=，a n+1﹣a n=p•3n﹣1﹣nq,n∈N＊，p，q∈R．
(1）若q=0，且数列｛a n｝为等比数列,求p的值;
(2）若p=1,且a4为数列｛a n｝的最小项，求q的取值范围．
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】(1)把q=0代入数列递推式，求出a2，a3的值,由求得p的值；
（2）把p=1代入数列递推式,a2，a3，a4，a5的值，由a1≥a4，a2≥a4，a3≥a4，解得q≥3；再由a n+1﹣a n=3n﹣1﹣nq＞0在n≥4时成立可得q的取值范围．
【解答】解:（1）当q=0时，a n+1﹣a n=p•3n﹣1﹣nq=p•3n﹣1，
∵a1=，∴，a3=a2+3p=，
由数列｛a n}为等比数列，得，
即，解得：p=0或p=1；
（2)由p=1,得a n+1﹣a n=3n﹣1﹣nq，
又a1=，∴，,．
由a1≥a4，a2≥a4，a3≥a4，解得：q≥3;
又a n+1﹣a n=3n﹣1﹣nq≥0对于任意的n≥4恒成立，
∴在n≥4时恒成立，
求导可知，f(x）=在x≥4时为增函数，
∴．
∴3．
20．己知函数f（x)=e x（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R)，e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，求函数f(x）的单调区间；
（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0,满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得f（x)的导数，讨论x＞0，x＜0，结合指数函数的单调性，可得导数的符号，进而得到单调区间;
（2）①讨论x=1，x＞1．x＜1，运用参数分离,记g（x）=，求出导数，求出单调区间，可得最值，可得a的范围；
②由①可得0＜a＜1时，以及当a＞4e,运用g（x)的单调性，可得不等式组，解不等式
即可得到所求a的范围．
【解答】解：（1)当a=1时，f（x)=e x（2x﹣1）﹣x+1，导数f′（x)=e x（2x+1)﹣1，
当x＞0时，e x＞1，2x+1＞1,可得f′（x)＞0；
当x＜0时，0＜e x＜1,2x+1＜1，可得f′（x）＜0．
即有f（x）的增区间为(0,+∞），减区间为（﹣∞,0）；
（2）①由f(x）＜0可得e x（2x﹣1）＜a(x﹣1),当x=1时，不等式显然不成立;
当x＞1时,a＞；当x＜1时,a＜；
记g（x）=，g′（x）=,
可得g（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上递增；在（0，1），（1,)递减;
可得当a＞1时，a＞g（)=4e；当x＜1时,a＜g（0)=1，
综上可得，a的取值范围是（﹣∞，1）∪(4e,+∞）；
②由①可得0＜a＜1时,x0∈（﹣∞，1）,由f（x0）＜0，得g(x0）＞a，
又g(x）在（﹣∞，0)递增，在（0，1）递减，且g(0）=1＞a，
则g(﹣1）≤a，即a≥,故≤a＜1；
当a＞4e，x0∈（1，+∞），由f（x0）＜0，得g（x0)＜a．
又g（x）在（1，)递减，(，+∞）上递增,且g（）=4e＜a,
可得，解得3e2＜a＜e3．
综上可得，实数a的取值范围是[,1)∪（3e2，e3]．
选做题［选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD,过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；
（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．
【考点】与圆有关的比例线段;弦切角．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．
（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE,由此能求出AB的长．
【解答】（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．
因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…
（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．
因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．
由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即
AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．选修4﹣2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量=，并且M对应的变换将点(﹣
1,2）变换成（9,15），求矩阵M．
【考点】特征向量的意义;二阶行列式与逆矩阵．
【分析】设M=，得到，，由此能求出矩阵M．
【解答】解：设M=，则=3=，
故，…
=，
故，…
联立以上两方程组解得a=﹣1，b=4，c=﹣3,d=6，
故M=．…
[选修4—4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程是（t为参数)，在以坐标原点O
为极点，x轴的正半轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】分别把曲线C1的参数方程化为直角坐标方程，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程,联立解出即可得出．
【解答】解：曲线C1的参数方程是（t为参数)，化为直角坐标方程:y=x．（x
≥0)．
曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为x2+y2=4．
联立，解得
∴曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标为．
［选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+|+｜x﹣a｜（a＞0）．
（Ⅰ)证明：f（x）≥2；
(Ⅱ）若f(3)＜5，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】(Ⅰ）由a＞0，f（x）=｜x+｜+｜x﹣a｜,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=｜3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集,再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明:∵a＞0，f（x）=｜x+|+｜x﹣a｜≥｜（x+)﹣(x﹣a）|=｜a+｜=a+≥2=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+｜3﹣a｜＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5,即a2﹣5a+1＜0,解得3＜a＜．
当0＜a≤3时,不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（,）．
[必做题。

]第25、26题，每小题0分,共20分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
25．一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后，对该店铺中的A，B,C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的槪率为，购买C种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立
（1)求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1)记“记网民购买i种商品”为事件A i，i=2，3，分别求出P(A3)和P（A2）,由此能求出该网民至少购买2种商品的概率．
（2）随机变量η的可能取值为0，1,2，3，分别求出相应的概率,由此能求出随机变量η的分布列和Eη．
【解答】解：（1)记“记网民购买i种商品”为事件A i，i=2,3，
则P(A3)=,
P（A2）=+=，
∴该网民至少购买2种商品的概率:
p=p(A1）+P（A2）==．
（2）随机变量η的可能取值为0，1，2,3,
P（η=0）=（1﹣）×（1﹣)×(1﹣）=，
P（η=2)=P（A2）=，
P（η=3）=P（A3)=，
∴P（η=1)=1﹣=,
∴随机变量η的分布列为：
η0 1 2 3
P
Eη==．
26．如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵,第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依
次记为x1，x2,…x k，其中x i∈｛0，1｝（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0；
（1）当k=4时,若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求x0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法？
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】（1）确定x0=x1+3x2+3x3+x4．因为x0为2的倍数,所以x1+x2+x3+x4是2的倍数，则x1,x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，即可得到标注方法；
（2）确定只要x1+C101x2+C109x10+x11是3的倍数，即只要x1+x2+x10+x11是3的倍数,所以x1、x2、x10、x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，即可得到标注方法．
【解答】解：（1）当k=4时，第4层标注数字依次为x1，x2，x3，x4,第3层标注数字依次为x1+x2,x2+x3，x3+x4，第2层标注数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4，所以x0=x1+3x2+3x3+x4．因为x0为2的倍数,所以x1+x2+x3+x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+C42+1=8种标注方法．
（2）当k=11时，第11层标注数字依次为x1，x2，…，x11,第10层标注数字依次为x1+x2,x2+x3,…，x10+x11，第9层标注数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4，…,x9+2x10+x11,以此类推,可得
x0=x1+C101x2+…+C109x10+x11．
因为C102=C108=45，C103=C107=120，C104=C106=210，C105=252均为3的倍数，所以只要
x1+C101x2+C109x10+x11是3的倍数，即只要x1+x2+x10+x11是3的倍数，
所以x1、x2、x10、x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+C43）×27=640种标注方法．
2016年9月19日。