哈工大断裂力学讲义(第三章 裂纹的断裂准则 )

r
(
r
3 2
)]
0
0
12
r 0
r
3 2
0
( r
3 2
|
0
0
KⅠcos
0
2
KⅡ
sin
0
2
0 0
2
arctan
KⅠ ) KⅡ
G0
1 2 E
(
KⅡ4 KⅠ2 KⅡ2
)
G0
1 2 E
(KⅠ2
KⅡ2 )
G0 G0 根不是解
起始裂纹方向取于
2 3
| 0
| 0 0
周向应力取平稳值的方向与能量释放率取平稳值的方向
]
KⅠc
7
3.几种特殊情况
a.Ⅰ型, 0 0, KⅡ 0, KⅠ KⅠc
b.Ⅱ型, KⅠ 0, KⅡ a KⅡ(3cos0 1) 0 0 70.5
KⅡ 0.87KⅠc
c.中心斜裂纹的单向拉伸 沿裂纹面: 1 cos sin 垂直裂纹面: 1 sin2
KⅠ a sin2 , KⅡ a sin cos
25
（3）确定 P 若在 P5 前,曲线各点小于 P5 ，则 P P5
若在 P5 前,曲线各点大于 P5 ，则 P Pmax （4）计算Pmax P 1.1 满足，则有效，否则加大试件
（5）计算 K I （6）计算
2.5( K )2 [a, B, (W a)]
S
26
1
2
r
[KⅠ(3
cos
) cos
2
KⅡ(3 cos
1)
sin
]
2
r 2
1
2 r
cos
2
[ KⅠsin
KⅡ(3 cos
1)]
因 r 0 ,各项均趋于无穷大
取 r r0 圆周上各点的
r r
0
2 0 2
6
cos
0
2
[ KⅠsin 0
KⅡ(3cos0
1)]
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无实际意义 KⅠsin0 KⅡ(3cos0 1) 0
(a W
)
BW 2
a
f1
( W
)
2.9( a W
1
)2
4.6( a W
3
)2
21.8( a W
5
)2
37.6( a W
7
)2
38.7( a W
9
)2
22
b.紧凑拉伸试件
KI
p
1
BW 2
f
2
(a W
)
a
f
2
( W
)
29.6( a W
1
)2
185.5( a W
3
)2
655.7( a W
5
)2
1017.0( a W
a33
1
4 G
3 4
k
3
1
平面应变 平面应力
S
r 应变能密度因子—表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度
S a11KⅠ2 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ2 a33KⅢ2
17
二.应变能密度因子判据
假定: ✓ 裂纹沿应变能密度因子最小方向(势能密度最大)开始扩展. ✓ 应变能密度因子达到临界值时,裂纹开始扩展.
加载试验，记录 P V 曲线 当试件不能承受更大载荷为止，记录最大 Pmax
24
4.试验数据分析
a.裂纹长度的确定
a
1 3
(a2
a3
a4
)
E399 74 要求： a ai 100% 5% (i 2,3,5)
a
b. K IC 的确定
（1）做切线OA （2）做割线OPS，斜率
比切线斜率小5%
开始扩展. 纽斯曼(Nuismer)利用连续性假设研究了能量释放率 与最大周向正应力之间的关系.
假设:沿 0方向产生支裂纹,
平面应变下,裂纹沿本身平面扩展时的能量释放率为
10
G0
1 2
E
(KⅠ2
KⅡ2 )
(沿裂纹方向扩展)
支裂纹的能量释放率为:
G0
1 2
E
(KⅠ2
KⅡ2 )
令 a 0 假设支裂纹尖端的应力场趋近于扩展开始的原有裂纹
又当
r
| 0
0
KⅡ0
1 2
cos 0
2
[ KⅠsin 0
KⅡ(3cos0
1)]
0
13
G0
1 2
E
KⅠ02
lim
r 0
1
E
2
[(2
r)
1 2
0
]2
周向应力绝对值最大的方向是能量释放率最大的方向
临界条件
G0
GⅠc
1 2
E
KⅠc2
(平面应变)
14
§3.4 应变能密度理论
S 判据,薛昌明提出的基于局部应变能密度场断裂概念的
S 2a [(k 1)(1 cos ) (1 cos )(3cos 1)]
16G
S 0
2S
2
0
0 0
0
arccos(k 1) 6
0
arccos(k
1) 6
S 0
2a 16G
(14k
k2
1) 1 12
SC
19
KII a KIIC
K2 IIC
16G
(14k
k2
1) 1 12
➢ 裂纹在什么条件下开始扩展 确定临界条件
二.最大周向正应力判据
1.假定: 裂纹初始扩展沿着周向正应力 为最大的方向. 当这个方向上的周向正应力的最大值 ( )max达到临界
时,裂纹开始扩展.
5
2.举例:Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹
2
1
2 r
cos
2
[ KⅠ(1
cos
)
3KⅡ sin ]
r 2
第三章 裂纹的断裂准则
1
裂纹的断裂准则:带裂纹的构件发生断裂的临界条件.
§3.1 单一型裂纹的断裂准则
一.阻力曲线法
以平面应力为例说明
1.裂纹扩展的推动力
GⅠ
KⅠ E
1 Y 2
E
2a
与试件的类型有关
E
E
E
1 2
(平面应力) (平面应变)
2
2.裂纹扩展阻力 裂纹扩展单位长度所需要消耗的能量.
0
arccos 3KⅡ2
KⅠ4 8KⅠ2KⅡ2 KⅠ2 9KⅡ2
开裂条件:
( )max 2
1
2 r0
cos 0
2
[KⅠ(1 cos0)
3KⅡsin0]
c
c :由Ⅰ型裂纹的断裂韧性来确定.
0 0, KⅠ KⅠc, KⅡ 0
临界失稳条件
1 2
cos
0
2
[ KⅠ(1
cos0
)
3KⅡ
sin 0
复合型判据.
一.应变能密度因子
平面应变:Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型复合型裂纹尖端附近的应力场, 利用叠加原理
x
KⅠ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
KⅡ sin (2 cos cos 3 )
2 r 2
22
y
KⅠ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
KⅡ sin cos cos 3 2 r 2 2 2
SC
平面应变：
SC
K2 IIC
12G
(2 2
2)
Ⅲ型裂纹 KI KII 0 KIII a
S
K2 III
4 G
SC
K2 IIIC
4 G
20
§3.5 平面应变断裂韧度测定 一.定义
平面应变断裂韧度：弹性介质中，具有Ⅰ型裂纹的构件 抵抗裂纹扩展的能力，或者说线弹性介质中，Ⅰ型裂 纹前端附件应力场强度因子的临界值.
尖端应力场.
lim
a0
y
| 0
lim
a0
xy
| 0
KⅠ
lim
r 0
2 r y
KⅡ
lim
r 0
2 r xy
2
1
2 r
cos
2
[ KⅠ(1
cos )
3KⅡ sin ]
r 2
1
2
r
cos
2
[ KⅠsin
KⅡ(3 cos
1)]
11
KⅠ0
lim
a0
KⅠ
1 cos 0
22
[KⅠ(1 cos0 ) 3KⅡsin0 ]
z x )
1
2
( xy2
xz2
yz2 )]dv
应变能密度
dU dV
1 r
(a11KⅠ2
2a12 KⅠKⅡ
a22 KⅡ2
a33KⅢ2
)
a11
1
16 G
(1
cos
)(k
cos
)
a12
1
16 G
sin (2cos
k
1)
16
a22
1
16 G
[(k
1)(1
cos )
(1
cos )(3cos
1)]
8
tan 1 3cos0 sin 0
给定 0
1 2
cos
0
2
[ KⅠ(1
cos0
)
3KⅡ
sin
0
]
KⅠc
确定临界应力
9
§3.3 能量释放率理论
G 判据,由帕立.尼斯威米(K.Palaniswamy)提出. 假设: 裂纹沿产生最大能量释放率的方向扩展. 当在上述确定的方向上,能量释放率达到临界值时,裂纹
S
0,
2S
2
0.
S Sc
Ⅰ型裂纹
KⅠ a KⅡ KⅢ 0
S
a11KⅠ2
2a
16G
(1
cos
)(k
cos )
S
0,0
0
Smin
c2a
8G
(k
1)
Sc
18
应力强度因子理论：
SC
K
2 IC
8 G
(k
1)
KI a KIC
材料常数
Ⅱ型裂纹 KI 0 KIII 0 KII a
KⅡ0
lim
r 0
KⅡ
r
1 cos 0
22
[ KⅠsin 0
KⅡ(3cos0
1)]
支裂纹沿 0方向开始从原有裂纹扩展时的能量
释放率
G 0
1 2
E
(KⅠ2 0
KⅡ2 0 )
G 0 0
（2 1 2） E (KⅠ0
KⅠ0 0
KⅡ0
KⅡ0 ) 0 0
(
r
r
) | 0 0
3 2
r
[
7
)2
638.9( a W
9
)2
美国 E399 74标准中的标准试件
c．四点弯曲试件 拱形三点弯曲试件 单边切口拉伸试件 中心切口拉伸试件 圆周切口杆状拉伸
23
2.测试原理
3.测试方法步骤
载荷 裂纹张开位移
加工并预制裂纹
在试件切开张开端安装位移传感器
将试件放于试验机上
连接 x y 记录仪
裂纹扩展
R
GⅠ
KⅠ E
1 E
a
2Y 2
测定ai i
计算 R R a 阻力曲线
3.临界条件
只有 A3 点是失稳的扩展条件
G R G R
a a
3
二.能量判据
GⅠ GⅠC
三.应力强度因子判据
KⅠ KⅠC
4
§3.2 最大周向正应力理论 一.复合型裂纹断裂判据需要解决的问题
➢ 裂纹沿什么方向扩展 确定开裂角;
K
是
IC
K I 中的最小值且趋于常值
.
K IC是材料固有性能指标，是材料常数.
KIC只适用于线弹性，材料必须在小范围屈服下失稳.
21
二.试验
E3997702 标准：金属材料平面应变断裂韧度标准测试方法 （美国材料试验协会）
Gb416`84 :中国标准 1.试件
a.三点弯曲试件
KI
p S
3
f1
15
xy
KⅠ
sin
cos
cos
3
2 r 2 2 2
KⅡ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
xz
KⅢ sin 2 r 2
yz
KⅢ cos 2 r 2
弹性条件下:微元体 dv dxdydz 储存的应变能为
dU
[ 1 2E
( x2
y2
z2)
E
( x y
y z