高中数学第三章导数应用1.1导数与函数的单调性教材基础北师大版选修2_2

第三章导数应用
走进学科思想
要想应用导数解决好实际问题,关键是先将实际问题转化为数学问题,再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题,导数在各类题型中的应用已越来越广泛了,已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具.此外,学习中还要注意数形结合.
导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的性质,诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图像等,它可以给中学里解决数学问题拓展新的思路,可以使得有些数学问题得到简化.
本章导读
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的许多性质,这节课我们就利用导数来研究函数的单调性.
高手支招1细品教材
一、函数的单调性
状元笔记
如何判断一个函数是增函数还是减函数呢？
可以根据定义,在区间内任取两个数x1,x2,先假设x1＜x2,然后比较f(x1)与f(x2)的大小,f(x1)＜f(x2)则是增函数;f(x1)＞f(x2)则是减函数.
1.增函数和减函数
(1)增函数:对于任意的两个数x 1,x 2∈I,如果当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＜f(x 2),那么函数f(x)就是区间I 上的增函数.
(2)减函数:对于任意的两个数x 1,x 2∈I,如果当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么函数f(x)就是区间I 上的减函数. 2.函数的单调性
如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说f(x)在这个区间上具有单调性. 二、用导数判断函数单调性的法则 状元笔记
一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”. 1.切线的斜率和f(x)的导数的关系
(1)切线的斜率为正,f′(x)＞0;切线的斜率为负,f′(x)＜0.
(2)用曲线的切线的斜率来理解法则.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于2
π
,函数曲线呈向上增加状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于
2
π
、小于π,函数曲线呈向下减小状态.
【示例】 证明函数f(x)=e x +e -x
在［0,+∞)上是增函数.
思路分析:只需证明f′(x)在［0,+∞)上大于等于零恒成立.
证明:f′(x)=(e x
)′+(x e 1)′=e x +(x e 1-)=e x -e -x =x
x e
e 1)(2
-, ∵当x∈［0,+∞)时,e x
≥1,∴f′(x)≥0.
∴f(x)=e x +e -x
在［0,+∞)上为增函数. 2.用导数判断函数的单调性 状元笔记
对于可导函数f(x)来说,f′(x)＞0是函数f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要
条件,f′(x)＜0是函数f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x 3
在R 上为增函数,但f′(0)=0,所以在x=0处不满足f′(x)＞0.
(1)一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)＞0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)＜0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减.
【示例】 f(x)=5x 2
-2x 的单调增区间为 …( )
A.(
51,+∞) B.(-∞,51) C.(5
1-,+∞) D.(-∞,5
1
-)
思路分析:求f′(x),解不等式f′(x)＞0.
答案:A
(2)利用导数判断函数单调性的一般步骤: ①求导数f′(x);
②在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0; ③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间.
【示例】求下列函数的单调区间.
(1)y=x 4-2x 2+6;(2)y=-lnx+2x 2
.
思路分析:求出导数y′,分别令y′＞0和y′＜0,解出x 的取值范围,便可得出单调区间.
解:(1)y′=4x 3-4x,令y′＞0,即4x 3
-4x ＞0,解得-1＜x ＜0或x ＞1,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+∞).
令y′＜0,解得x ＜-1或0＜x ＜1,因此单调减区间为(-∞,-1)和(0,1).
(2)y′=4x -x 1,令y′＞0,即4x-x 1＞0,解得21＜x ＜0或x ＞21;令y′＜0,即4x-x 1
＜0,解得x ＜2
1 或0＜x ＜21
.
∵定义域为x ＞0,∴单调增区间为(21,+∞),单调减区间为(0,2
1
).
高手支招2基础整理
本节是通过联系单调性的定义和斜率的结构式来得到函数的导数与单调性的关系的.利用导数解决含有参数的单调性问题,一般是将问题转化为不等式的恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。