高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数

(【2)精已彩知点z1拨，】z2∈C(1，)先|z1写|＝出|z点2|＝A1，，B|z，1＋Cz的2|＝坐标3，，求利|z用1－向z量2|. A→B＝D→C 列方程求
解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决． 【自主解答】 (1)设 D(x，y)，类比向量的运算知 A→B ＝D→C ，所以有复数
对应的复数为
3－4i，则向量
Z→1Z2对应的复数为__________．
【解析】 Z→1Z2＝O→Z 2－O→Z 1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 【答案】 1－i
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
阶
阶
段
段
一
三
3.2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几
何意义
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点) 2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)
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[基础·初探]
教材整理 1 复数代数形式的加、减法
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[小组合作型]
复数的加、减法运算
(1)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝________. (2)已知复数 z 满足 z＋1－3i＝5－2i，求 z.
(3)已知复数 z 满足|z|＋z＝1＋3i，求 z.
【自主解答】 (1)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i
Байду номын сангаас
阅读教材 P107 的内容，完成下列问题． 1．运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝___(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)i___，z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__. 2．加法运算律
设 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝_z2_＋__z_1_， (z1＋z2)＋z3＝__z1_＋__(_z2_＋__z_3_) _．
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1．复数加、减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项． 2．当一个等式中同时含有|z|与 z 时，一般要用待定系数法， 设 z＝a＋bi(a，b∈R)．
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[再练一题]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( ) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×
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教材整理 2 复数加、减法的几何意义 阅读教材 P108 的内容，完成下列问题． 若复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2.
－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得 x＝3，y＝5，所以 D 对应的复数为 3＋5i. 【答案】 3＋5i
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(2)设复数 z1，z2，z1＋z2 在复平面上对应的点分别为 Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2| ＝1 知，以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理， 得
复数加法 复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为邻边的平 的几何意义 行四边形的对角线_O→_Z__所对应的复数
复数减法的 复数 z1－z2 是从向量O→Z2的终点指向向 几何意义 量O→Z1的终点的向量Z→2Z1所对应的复数
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已知向量
→ OZ1
对应的复数为
2－3i，向量
→ OZ2
＝1＋i.
【答案】 1＋i
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(2)法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 x＋yi＋(1－3i) ＝5－2i，即 x＋1＝5 且 y－3＝－2，解得 x＝4，y＝1，所以 z＝4＋i.
法二：因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，又|z|＋z＝1＋3i，所以 x2＋y2＋x ＋yi＝1＋3i，由复数相等得y＝x23＋，y2＋x＝1， 解得xy＝ ＝－ 3，4， 所以 z＝－4＋3i.
cos∠OZ1Z＝|z1|2＋|z22|z|21－||z2|z| 1＋z2|2 ＝－12， 所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°， 因此△OZ1Z2 是正三角形， 所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.
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利用复数加、减运算的几何意义解 题的技巧及常见结论
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选 A.
【答案】 A
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复数加、减法的几何意义
(1)在复平面内，平行四边形 ABCD(顶点顺序为 ABCD)的三个顶点 A，
B，C 对应的复数分别是 1＋3i，－i,2＋i，则点 D 对应的复数为__________．