新沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.3一般锐角的三角函数值同步练习

23.1.3. 一般锐角的三角函数值
一、选择题
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A ＝5
13
，则sin B 的值是( )
A. 512
B. 1213
C. 23
D. 513
2．若α是锐角，sin α＝cos50°，则α等于() A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 3．已知cos A ＞1
2
，则锐角A 的取值范围是( )
A ．0°＜∠A ＜30°
B ．30°＜∠A ＜90°
C ．0°＜∠A ＜60°
D ．60°＜∠A ＜90° 4．［2017·威海］为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道，如图33－K －1所示，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A.2ndF sin 0·25＝
B.sin 2ndF 0·25＝
C.sin 0·25＝
D.2ndF cos 0·25＝
图33－K －1
5．三角函数sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( ) A ．cos43°＞cos16°＞sin30° B ．cos16°＞sin30°＞cos43° C ．cos16°＞cos43°＞ sin30° D ．cos43°＞sin30°＞cos16° 6．［2016·永州］下列式子错误的是( )
A ．cos40°＝sin50°
B ．tan15°·tan75°＝1
C ．sin 225°＋cos 2
25°＝1 D ．sin60°＝2sin30° 二、填空题
7．已知α为锐角，sin(90°－α)＝
3
3
，则cos α＝________． 8．已知sin42°54′＝0.6807，若cos α＝0.6807，则α＝________． 9．用“＞”或“＜”连接下面的式子：
(1)tan19°______tan21°；(2)cos18°______sin18°.
10．如图33－K －2，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
图33－K －2
11．观察下列等式： ①sin30°＝12，cos60°＝1
2；
②sin45°＝22，cos45°＝22； ③sin60°＝
32，cos30°＝32
. 根据上述规律，计算sin 2
α＋sin 2
(90°－α)＝________．
12．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＋sin B ＝7
5，则sin A －sin B ＝________．
三、解答题
13．用计算器求下列各组三角函数值，并从中总结规律(精确到0.0001)： (1)sin40°，cos50°；(2)sin23°37′，cos66°23′.
14．计算：cos45°－sin30°cos45°＋sin30°－cos40°
sin50°
.
15．已知三角函数值，用计算器求锐角A (精确到1″)． (1)sin A ＝0.3035； (2)cos A ＝0.1078； (3)tan A ＝7.5031.
16．如图33－K－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD.
(1)求∠D的度数；
(2)求tan D；
(3)利用(2)的结果计算：tan22.5°×cos45°＋（sin45°－tan22.5°）2.
图33－K－3
17．已知：如图33－K－4，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.
求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；
(2)∠B的度数(精确到1′)．
图33－K－4
18规律探索(1)如图33－K－5①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；
(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，点B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；
(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
图33－K－5
1．[解析] D ∵∠C＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∴sin B ＝cos A ＝5
13
.
2．[解析] C 由sin α＝cos (90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°，应选C .
3．[解析] C ∵cos 60°＝12且锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴当cos A ＞1
2时，0°＜∠A＜60°，
故选C .
4．[解析] A sin A ＝BC AC ＝10
40
＝0.25，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为2ndF
sin 0·25＝.
5．[解析] C 根据互余两角的三角函数之间的关系，可知sin 30°＝ cos 60°.因为余弦值随着锐角的增大而减小，所以cos 16°＞cos 43°＞cos 60°，即cos 16°＞cos 43°＞sin 30°.
6．[解析] D cos 40°＝sin (90°－40°)＝sin 50°，选项A 正确；
tan 15°·tan 75°＝tan 15°·1
tan 15°＝1，选项B 正确；
sin 225°＋cos 225°＝1，选项C 正确； sin 60°＝
32，sin 30°＝1
2，则sin 60°≠2sin 30°，选项D 错误． 7．[答案]
33
[解析] ∵sin (90°－α)＝cos α，sin (90°－α)＝
33，∴cos α＝33
. 8．[答案] 47°6′
[解析] 根据互余两个锐角的正弦、余弦的关系可知α＋42°54′＝90°，∴α＝90°－42°54′＝47°6′.
9．[答案] (1)＜ (2)＞
[解析] (1)正切值随锐角的增大而增大，19°＜21°，所以tan 19°＜tan 21°，故应填“＜”．(2)由cos 18°＝sin (90°－18°)＝sin 72°，72°＞18°，得sin 72°＞sin 18°，即cos 18°＞sin 18°.
10．27.8° 11． [答案] 1
[解析] 由题意得sin 230°＋sin 2(90°－30°)＝1；sin 245°＋sin 2(90°－45°)＝1；sin 2
60°＋sin 2(90°－60°)＝1.可得sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.
12． [答案] ±1
5
[解析] 因为∠A ，∠B 互余，所以cos A ＝sin B ， 所以sin A ＋cos A ＝7
5.
又因为sin 2
A ＋cos 2
A ＝1， 所以2sin A ·cos A ＝24
25
，
所以(sin A －cos A)2＝sin 2A ＋cos 2
A －2sin A ·cos A ＝1－2425＝125，
即sin A －cos A ＝±（sin A －cos A ）2
＝±
125＝±15
，
即sin A －sin B ＝±1
5
.
13．解：(1)sin 40°≈0.6428，cos 50°≈0.6428. (2)sin 23°37′≈0.4006，cos 66°23′≈0.4006. 规律：若锐角A ，B 满足∠A＋∠B＝90°， 则sin A ＝cos B.
14．[解析] 计算时要注意根据互余两角三角函数之间的关系，有cos 40°＝ sin 50°. 解：原式＝22－
1222＋12－sin 50°
sin 50°＝2－2 2.
15．解：(1)锐角A≈17°40′5″. (2)锐角A≈83°48′41″. (3)锐角A≈82°24′30″.
16．解：(1)由题意知△ABC 是等腰直角三角形， 所以∠CAB＝∠ABC＝45°.
又因为AD ＝AB ，且∠CAB＝∠D＋∠ABD＝45°， 所以∠D＝∠ABD＝22.5°. (2)由BC ＝AC ＝a ，
根据勾股定理，得AD ＝AB ＝2a ，CD ＝AD ＋AC ＝(2＋1)a.
在Rt △BCD 中，tan D ＝BC CD ＝a
（2＋1）a ＝2－1，即tan D ＝2－1.
(3)由(1)(2)知tan 22.5°＝tan D ＝2－1，
原式＝tan 22.5°×cos 45°＋||sin 45°－tan 22.5° ＝(2－1)×22＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪22－（2－1） ＝1－
22＋2
2
－2＋1 ＝2－ 2.
[点评] 解答本题的关键是利用直角三角形求一般锐角的三角函数值． 17．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH
AC ，
∴CH ＝AC·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝
AH AC
， ∴AH ＝AC·cos A ＝9cos 48°. ∴在Rt △BCH 中，
tan B ＝CH BH ＝
CH AB －AH ＝9sin 48°
8－9cos 48°
≈3.382，
∴∠B ≈73°32′.
18解：(1)由图可知B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3.
∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2，sin ∠B 3AC ＝B 3C 3
AB 3，AB 1＝AB 2＝AB 3，
∴
B 1
C 1AB 1＞B 2C 2AB 2＞B 3C 3
AB 3
，
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC.
(2)∵Rt△ACB3中，∠C＝90°，
∴cos∠B1AC＝AC
AB1
，cos∠B2AC＝
AC
AB2
，
cos∠B3AC＝AC
AB3
，∵AB3＞AB2＞AB1，
∴AC
AB1
＞
AC
AB2
＞
AC
AB3
，
即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC.
(3)结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．由结论可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°.。