2023年山西省初中学业水平考试数学试题(含答案)

2023年山西省初中学业水平考试
数学
（满分120分，考试时间120分钟）
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.计算（-1）×（-3）的结果为（）
A.3
B.
3
1
C.-3
D.-4
2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）
3.下列计算正确的是（）
A.6
3
2a
a
a=
⋅ B.26
2
3)
(b
a
b
a-=
- C.2
3
6a
a
a=
÷ D.6
3
2)
(a
a=
4.山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）
A.1.464×108千瓦时
B.1464×108千瓦时
C.1.464×1011千瓦时
D.1.464×1012千瓦时
5.如图，四边形ABCD内接于☉O,AC、BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（）
A.40o
B.50o
C.60o
D.70o
6.新趋势跨学科问题一种弹簧秤（如图）最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）
A.x
y5.0
12-
= B.x
y5.0
12+
= C.x
y5.0
10+
= D.x
y5.0
=
7.新趋势跨学科问题如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光线相交于点P，点F为焦点，若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为（）（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）
A B C D
8.若点A（-3,a），B（-1,b），C（2，c）都在反比例函数
x
k
y=（0<k）的图象上，则a、b、c的大小关系用“<”连接的结果为（）
A.c
a
b<
< B.a
b
c<
< C.c
b
a<
< D.b
a
c<
<
9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径km
5.1
=
OA，则这段圆曲线AB的长为（）
A.km
4
π
B.km
2
π
C.km
4
3π
D.km
8
3π
10.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P、Q、M均为正六边形的顶点，若点P、Q的坐标分别为（3
2
-、3），（0、-3），则点M的坐标为（）
A.（3
3、-2） B.（3
3、2） C.（2、3
3
-） D.（-2、3
3
-）
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算)3
6
)(
3
6
(-
+的结果为.
12.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）
13.如图，在□ABCD中，∠D=60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，
连接AE.分别以点A、E为圆心，以大于AE
2
1
的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交
AE于点O，交边AD于点F，则
OE
OF
的值为.
14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核
（第9题）（第10题）
第1个第2个第3个第4个
（第12题）
心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是.
15.如图，在四边形ABCD 中，o 90=∠BCD ，对角线AC 、
BD
相交于点
O
.若5==AC AB ，
B 6=B
C ，CB
D ADB ∠=∠2，则AD 的长为.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：1
22)53()2
1
(8-⨯+---⨯-（2）计算：x
x x x 4)1()2(2-+++17.（本题7分）解方程：
2
23111-=+-x x 18.（本题9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者
站，有20名学生报名参加选拔，报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4:4:2的比例计算出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图.
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67、72、68、69、74、69、71.这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分.
（2）请你计算小涵的总评成绩.
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.
选手测试成绩/分
总评成绩/分
采访写作摄影小悦83728078小涵
86
84
▲
▲
（第13题）（第14题）（第15题）
19.（本题9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌（如图）显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由l 个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A 部件和2个B 部件的总质量为2.8吨，2个A 部件和3个B 部件的质量相等.
（1）1个A 部件和1个B 部件的质量分别是多少？
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备?
20.（本题8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022-2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流人选.在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC 和
AB 的长度（结果精确到0.1m.参考数据：73.13≈，41.12≈）
课题母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容功能
驳岸是用来保护河岸、阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸剖面图
材料相关数据及说明：图中，点A 、B 、C 、D 、E 在同一竖直平面内，AE 和CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE
于点A ，
o 135=∠BCD ,o 60=∠EDC ,m 6=ED ,m 5.1=AE ,m
5.3=CD 计算结果
交流展示
21.（本题7分）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图（1），在四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H 得到的四边形EFGH 是平行四边
形.
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形，瓦里尼翁（Varingnon ，Pierre l654—1722）是法国数学家、力学家，瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图（1）证明如下：
证明：如图(2)，连接AC ，分别交EH、FG 于点P、Q ,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,交HG 于点N .
∵H、G 分别为AD、CD 的中点∴HG //AC ,AC HG 2
1
=,（依据1）
∴
GC DG
NM DN =∵GC
DG =∴DM
NM DN 2
1
==∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形∴HE //GF ，即HP //GQ 又 HG //AC ,即HG ∥/PQ
∴四边形HPQG 是平行四边形，（依据2）
∴S ☐=HPQG MN HG ⋅=DM
HG ⋅2
1
∵DM
HG DM AC S ADC ⋅=⋅=∆21
∴S ☐=HPQG ADC
S ∆2
1
同理……
任务：
（1）填空：
材料中的依据1是指.依据2是指.（2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，
使得四边形EFGH 为矩形.（要求同时画出四边形ABCD 的对角线）
（3）在图（1）中，分别连接AC、BD 得到图（3），请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与四边形ABCD 对角线AC、BD 长度的关系，并证明你的结论.
22.（本题12分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图（1）中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中
o 90=∠=∠DEF ACB ，D A ∠=∠.将△ABC 和△DFE 按图（2）所示方式摆放，其中点B 与点F
重合（标记为点B ）.当A ABE ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G .试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由.
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题.深入探究：
（2）老师将图（2）中的△DBE 绕点B 沿逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图（3），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明.请你解答此问题.
②“智慧小组”提出问题：如图（4），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，
若9=BC ，12=AC ，求AH 的长.请你思考此问题，直接写出结果.23.（本题13分）综合与探究
如图，二次函数x x y 42+-=的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B （1，3)，与y 轴交于点C
（1）求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标.
（2）点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m
①当OC PD 2
1
=时，求m 的值.
②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连
接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.
2023年山西省初中学业水平考试
数学（答案）
10~1题：
11题：312题：（22+n ）13题：314题：61
15题：3
9716题：
（1）原式=2
1
2418⨯-⨯1
12=-=（2）原式=124122222+=-++++x x x x x x 17题：原方程可化为
)
1(23111-=+-x x 方程两边同乘)1(2-x ，得3)1(22=-+x 解得2
3=
x 检验：当2
3
=
x 时，0)1(2≠-x ∴原方程的解是2
3
=
x 18题：（1）696970
（2）82
2
44270484486=++⨯+⨯+⨯答：小涵的总评成绩为82分.
（3）小涵能入选，小悦不一定能入选.
理由：由题中20名学生的总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且低于80分的学生有6名.小涵和小悦的总评成绩分别是82分、78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选.
12345678910A C D C B B C D B A
（1）设1个A 部件的质量为x 吨，1个B 部件的质量为y 吨.根据题意，得⎩⎨
⎧==+y x y x 328
.22（2）解得⎩⎨
⎧==8
.02
.1y x 答：1个A 部件的质量为1.2吨，1个B 部件的质量为0.8吨.（2）设该卡车一次可运输m 套这种设备通过此大桥根据题意得30
8)38.02.1(≤+⨯+m 解得9
59≤
m 因为m 为整数，所以m 的最大值为6
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.20题：
如图，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，则o 90=∠EFD 在Rt△EFD 中，o 60=∠EDF ，6=ED ,ED EF EDF =∠sin ，ED
FD
EDF =∠cos ∴332
3
660sin 6sin o =⨯
=⨯=∠⋅=EDF ED EF 32
1
660cos 6cos o =⨯
=⨯=∠⋅=EDF ED FD 延长AB 、DC 交于点H ，由题意得，o 90=∠H ，四边形AEFH 是矩形∴33==EF AH ，5.1==AE HF ∵5.035.3=-=-=FD CD CF ∴1
5.05.1=-=-=CF HF CH 在Rt△BCH 中，o 90=∠H ,o o o o 45135180180=-=∠-=∠BCD BCH ，BC
CH
BCH =
∠cos ，CH
BH BCH =
∠tan ∴4.122
2
1
45cos 1cos o
≈===∠=
BCH CH BC 1
45tan 1tan o =⨯=∠⋅=BCH CH BH ∴2.4173.13133≈-⨯≈-=-=BH AH AB 答：BC 的长约为1.4m ，AB 的长约为4.2m
（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）如图即为所求.（答案不唯一，只要符合题意均可得分）
例如：
（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.证明：
∵点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点
∴AC EF 21=，AC
GH 2
1
=∴AC GH EF =+同理BD
FG EH =+∴四边形EFGH 的周长BD
AC FG EH GH EF +=+++=即瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.22题：
（1）四边形BCGE 为正方形.理由：∵o
90=∠BED ∴o o 90180=∠-=∠BED BEG ∵A ABE ∠=∠∴AC//BE
∴o 90=∠=∠BED CGE 又 o 90=∠，o 90=∠BEG ∴四边形BCGE 为矩形.∵△ACB ≌△DEB ∴BE
BC =∴矩形BCGE 为正方形.（2）①BE AM =证明：
∵AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ∴C
M ∠==∠o 90又∵BAC ABE ∠=∠,BA AB =∴△BAM ≌△ABC
∴BC
AM =又∵BC
BE =∴BE
AM =②AH 的长为527解答提示：如图，设AB 、DE 的交点为M ，过点M 作MG ⊥BD 于点G ∵△ACB ≌△DEB
∴9==BC BE ，12==AC DE ,D BAC ∠=∠,DBE
ABC ∠=∠∴DBM
CBE ∠=∠又∵BAC
CBE ∠=∠∴DBM
D ∠=∠∴MB MD =（等角对等边）
又∵MG ⊥BD
∴点G 是BD 的中点（等腰三角形三线合一）
由勾股定理得15
22=+=DE BE BD ∴21521==
BD DG ∵BD DE DM DG D ==∠cos ∴875121525=⨯=⋅=DE BD DG DM ∴875==DM BM ∴8
4587515=-=-=BM AB AM ∵AH ⊥DE ,BE ⊥DE ,BME
AMH ∠=∠∴△AMH ∽△BME
∴53==BM AM BE AH ∴5
2795353=⨯==BE AM 23题：（1）对于x x y 42+-=，当y =0时，042=+-x x ，解得01=x ,42=x ∵点A 在x 轴正半轴上
∴点A 的坐标为（4，0）
设直线AB 的函数表达式为)
0(≠+=k b kx y 将A、B 两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入b kx y +=得⎩⎨⎧=-=4
1b k ∴直线AB 的函数表达式为4
+-=x y
将x =0代入4+-=x y ，得y =4
∴点C 的坐标为（0，4）
（2）①∵点P 在第一象限内二次函数x x y 42+-=的图象上，且PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，其横坐标为m
∴点P、D 的坐标分别为P（m ，m m 42+-）、D （m ，4+-m ）
∴m m PE 42+-=,4+-=m DE ,m
OE =∵点C 的坐标为（0，4）
∴4
=OC ∵OC PD 21=∴2=PD 如图（1），当点P 在直线AB 上方时，45)4(422-+-=+--+-=-=m m m m m DE PE PD ∵2
=PD ∴2452=-+-m m ，解得21=m ，3
2=m 如图（2），当点P 在直线AB 下方时，45)4(422+-=+--+-=-=m m m m m PE DE PD ∵2
=PD ∴2452=+-m m ，解得275±=
m ∵1
0<<m ∴2
17
5-=m 综上所述，m 的值为2、3或
217
5-②如图（3），由①得m OE =,m m PE 42+-=,4
+-=m DE ∵BQ ⊥x 轴于点Q ,交OP 于点F ，点B 的坐标为（1，3）
∴1=OQ ,o
90=∠OQF ∵点P 在直线AB 上方
∴1
-=m EQ ∵PE ⊥x 轴于点E
∴o
90=∠=∠OEP OQF
∵FQ //DE
∴△FOQ ∽△POE ∴OE OQ PE FQ =∴m
m m FQ 142=+-∴442+-=+-=m m
m m FQ ∴四边形FQED 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵PE ⊥x 轴
∴四边形FQED 为矩形
∴4
5)4)(1(2-+-=+--=⋅=m m m m FQ EQ S ∵49)25(4522+--=-+-=m m m S ,01<-,41<<m ∴当25=m 时，S 取最大值，最大值为4
9。