2019年高考数学一轮复习学案北师大版文科重点强化训练3不等式及其应用文_37

重点强化训练(三) 不等式及其应用
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列不等式一定成立的是( )
A ．lg ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2
＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．
1
x 2＋1
>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；
取x ＝0，则
1
x 2
＋1
＝1，排除D ．] 2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0，
则目标函数z ＝2x ＋
5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10
D ．17
B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋1
5
z ，在图中画出直线
y ＝－25
x ，
平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]
3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的
投影．由区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，
则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2
D ．6
C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．
因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝
＋
2
＋－2－
2
＝3 2.故选C ．]
4．不等式
4
x －2
≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)
D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)
B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2
≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2
≤4， 解得0≤x <2.
综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]
5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x
＋1
2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为
( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x
＋12－x －a ＝－2x
＋1
2x －a .化简可得a
＝1，则2x
＋12x －1＞3，即2x
＋12x －1－3＞0，即2x
＋1－x
－
2x
－1>0，故不等式可化为2x
－2
2x －1
＜0，
即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，
x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值
为________．
－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z
3
过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]
7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2
b
的最小值为________. 【导
学号：00090209】
22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b
ab
，
得ab ＝1， 则1a ＋2b
≥2
1a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝2
2
，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩
⎪⎨⎪⎧
f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋
＝2m 2
＋3m ＜0，
解得－
2
2
＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式
ax －1
x ＋1
>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；
(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分
①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；
②当a >0时，不等式化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.
解得x <－1或x >1
a
；
3分
③当a <0时，不等式化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；
若1a <－1，即－1<a <0，则1
a
<x <－1；
若1
a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a
>－1，即a <－1，则 －1<x <1a
.
5分
综上所述，当a <－1时，解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x | －1<x <1a ；
当a ＝－1时，原不等式无解；
当－1<a <0时，解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x | 1
a
<x <－1；
当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；
当a >0时，解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <－1或x >
1a . 6分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2
－1
－a ＋1
>0，即－a ＋1<0， 10分
∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞). 12分
10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
[解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，
36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .
作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，
R (15,6)．
由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z
2 400
最小，即z 取得最小值．
故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝
⎛⎭
⎪⎫a x ＋b
y
>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]
D ．(－∞，4)
D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y
≥a ＋b ＋2≥2ab ＋
2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx
y
，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]
2． 若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．
－5
2
[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－5
2
.
法二：设f (x )＝x 2
＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a
2
.
①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.
②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<1
2
，即－1<a ≤0时，
则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2
4－a
2
2
＋1＝1－a 2
4≥0恒成立，
故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－5
2
.]
3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，
f m ＋f n
m ＋n
>0.
(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；
(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x －1；
(3)若f (x )≤t 2
－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围.
【导学号：00090210】
[解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则
f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)
＝
f x 1＋f －x 2
x 1－x 2
·(x 1－x 2).
2分
∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知
f x 1＋f －x 2
x 1－x 2
>0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x )在[－1,1]上为增函数，
4分
(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ＋1
2
≤1，
－1≤1
x －1≤1，x ＋12<1x －1，
解得⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | －3
2≤x <－1.
8分
(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2
－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2
－2at ＋1≥1成立，
故t 2
－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2
.
10分
对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0，
∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.
∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}.12分。