中考数学 压轴题函数梯形问题精选解析(二)

中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(二)
例3
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x +，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．
(1) 写出点M 的坐标；
(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．
① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；
② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．
图1
解析
(1)因为AB ＝OC ＝ 4，A 、B 关于y 轴对称，所以点A 的横坐标为2．将x ＝2代入y ＝2114
x +，得y ＝2．所以点M 的坐标为（0，2）． (2) ① 如图2，过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ，则HQ ＝y 2114
x =
+，HP ＝x – t ． 因为CM //PQ ，所以∠QPH ＝∠MCO ．因此tan ∠QPH ＝tan ∠MCO ，即12
HQ OM HP OC ==．所以2111()42x x t +=-．整理，得2122
t x x =-+-． 如图3，当P 与C 重合时，4t =-，解方程21422x x -=-+-，得15x =±． 如图4，当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝± 2．
因此自变量x 的取值范围是15x ≠±，且x ≠± 2的所有实数．
图2 图3 图4
②因为sin ∠QPH ＝sin ∠MCO ，所以HQ OM PQ CM
=，即PQ HQ CM OM =． 当
12PQ HQ CM OM ==时，112HQ OM ==．解方程21114
x +=，得0x =（如图5）．此时2t =-．
当2PQ HQ CM OM ==时，24HQ OM ==．解方程21144
x +=，得23x =±． 如图6，当23x =时，823t =-+；如图6，当23x =-时，823t =--．
图5 图6 图7
考点伸展
本题情境下，以Q 为圆心、QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？
设点Q 的坐标为21,14x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么222222111144QM x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 而点Q 到x 轴的距离为2114
x +． 因此圆Q 的半径QM 等于圆心Q 到x 轴的距离，圆Q 与x 轴相切．
例 4
已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐
标为)20(-，
，直线x y 3
2-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2
经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；
(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
解析
(1)因为BC //x 轴，点D 在BC 上，C (0,－2)，所以点D 的纵坐标为－2．把y ＝－2代入x y 3
2-=，求得x ＝3．所以点D 的坐标为(3,－2)． (2)由于抛物线与x 轴交于点O 、A (4,0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入D (3,
－2)，得23a =．所求的二次函数解析式为2228(4)333y x x x x =-=-． (3) 设点M 的坐标为228,3
3x
x
x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
． ①如图2，当OM //DA 时，作MN ⊥x 轴，DQ ⊥x 轴，垂足分别为N 、Q ．由tan ∠MON ＝tan
∠DAQ ，得2283
32x x x
-=． 因为x ＝0时点M 与O 重合，因此
28233
x -=，解得x ＝7．此时点M 的坐标为（7，14）． ②如图3，当AM //OD 时，由tan ∠MAN ＝tan ∠DOQ ，得22823
343
x x x -=-． 因为x ＝4时点M 与A 重合，因此2233x -=，解得x ＝－1．此时点M 的坐标为10(1,)3-． ③如图4，当DM //OA 时，点M 与点D 关于抛物线的对称轴对称，此时点M 的坐标为（1，－2）．
图2 图3 图4
考点伸展
第（3）题的①、②用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等． 如果用代数法进行，计算过程比较麻烦．以①为例，先求出直线AD 的解析式，再求出直线OM 的解析式，最后解由直线OM 和抛物线的解析式组成的二元二次方程组．
附：高考各科的答题技巧
一、掌握好基础知识掌握基础知识没有捷径，俗话说“巧妇难为无米之炊”，没有基础知识，再多的答题技巧也没有用，有了基础知识，才能在上面“玩一些复杂的花样”，让自己分数提高一个层次，其实很简单，上课认真听讲，放
学再温习一两遍足矣。

在此联想记忆法，将自己实在记不住的东西编成顺口溜，或者和自己感兴趣的东西联想在一起，很多东西都能顺利解决。

比如说：甲来借一本亮色书（8种必需氨基酸）。

二、选择性做题许多同学讨厌做题，认为自己一定做不出难题，索性放弃。

其实这些都出自一个原因：缺乏自信，没有耐心。

一旦我们有了自信与耐心，再多的难题我们都乐意去挑战。

这些方法可以增强自信与耐心：1.从简单题入手，这样做对的机率较大，信心也随之增长。

2.冷静分析，不能浮躁。

即使是清华北大的学生，也不是每道题拿来看一遍就会的。

一道题看个4、5遍不足为奇。

我们浮躁主要是由于看了几遍后题的大意，想考的知识点都没看透。

于是越来越急，越急越看不懂。

此时只要冷静下来，想想我看不懂，别人也看不懂就好。

再逐字逐句地看，就能看懂。

题要有选择性地做，类似题目只要选择几道来做其它题就不成问题，因为思路都差不多。

但是答案术语，答题规范在考试中有着极其重要的作用。

有时即使明白题意，不用术语，不用规范也得不到分。

平时做题时，一定要在这些方面下一些工夫。

三、合理分配时间平时做题与考试是大不相同的。

平时做题没有时间限制，也没有规定的答题顺序。

但考试就不一样。

考试经常会出现题做不完的现象，这一方面是由于做题速度不够快（在这方面平时做题要多练），一方面是由于没有合理分配做题时间。

理综的顺序是这样的：选择题：生物—化学—物理；大题：物理—化学—生物。

其中，物理120分，化学108分，生物72分。

大致上应该按照分数比来分配时间，但每人拿手科不同，因人而异。

我们可以先做我们拿手的科目，一方面有助于增强信心，另一方面这样做的话会让我们能拿到的分全拿到。

因为如果先做别的科的话，做不出来浪费时间，挤了拿手科的时间，致使拿不到分的没拿到，该拿到的也没拿到，得不偿失。

每个人都有自己的答题顺序，不要盲目模仿别人的
答题顺序，适合自己的才是最好的。

四、增强自信心由于理综是拿分大项，一个失误就有可能使10多分都丢掉。

这使得很多人都丧失信心。

所以在考前，不管发生什么事一定要保持愉悦心情，想一些高兴的事，考试题做不出时，不要想：完了，这回我可完了；要想：这回别人可完了。

因为你做不出别人也做不出。

答案每一科再做下一科时如果脑子转换不过来不要着急，让自己静半分钟，这样答题会顺手多了。

对于女生千万不要放弃理综，也千万不要认为女生理综不可能学好，或者学理综是男生的事。

女生学好理综也是大有可能的。

其实很多女生学不好理综是有一个根深蒂固的思想：我是一个女生，女生的理综从来都是弱项，只要把语文、英语学好就行，学好理综是男生的事。

这样不断暗示，致使理综越来越不好，这种思想是要不得的。

其实，女生在理综的学习上有一个最大的优势，那就是细心。

化学和生物只要肯背，再加上细心，是完全可以拿到一个很高的分数的。

这就占了理综分数的一大半。

此时只要想：物理再难也难不到哪去，问题就迎刃而解。

五、一些答题技巧这里再谈一个怎样答题的问题。

由于物理是不定项选择，高考理综选择扣分物理占了很大比例。

程度较好的同学当然可以选择确定的，有些多项的也尽全力选全，因为这些同学追求的是高分。

程度较弱的同学可以依自己的情况将物理选择当成单项选择来做。

因为如果一道题选BC，只选了B给3分，选AB就一分都拿不到了。

而这类同学就爱犯这种错误。

相比之下，选一个保准的选项能提高不少分。

大题中，如果这一题没想出来怎么做，要想到哪写到哪，这样会得一些步骤分。

当然，题目如果完整地做出来，公式步骤也要写全。

如果时间来不及，题目会，只是没时间算的话就不要算了，把用到的公式一一列出，也可以得到很高的分数，结果分在整道题中占的比例是很小的。

这些都是答题小技巧，让你在同一水平上尽可能地多拿几分。

二、由于目前只有一个人进行维护。

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